Часть I

Часть I

Двойные интегралы

П усть имеется некоторая функция , непрерывная в области

– замкнутая область на координатной плоскости x0y.

Пример (здесь по осям отложена , а по оси ):

Двойной интеграл равен объему тела, заключенного между областью и множеством значений функции

Важнейшие свойства двойного интеграла:

1. 

2. 

3. 

4. 

Ниже без строгого обоснования будет приведен метод расстановки пределов в двойных интегралах.

Пусть заданы область и функция Изобразим на графике:

«Зажмем» область между двумя прямыми, параллельными оси , пересекающими ось абсцисс в точках - максимальный и минимальный из области . Если любая прямая, параллельная , пересекает область не более, чем в двух точках (крайний случай пересечения в бесконечном количестве точек можно отбросить), то эта область называется правильной в направлении .

Пусть область правильная в направлении а прямые, параллельные и проходящие через , пересекают её в первый раз в точках и второй раз в точках

Тогда можно записать:

и перейти к повторному интегралу:

Рассмотрим важные замечания:

1. Запись повторного интеграла – лишь упрощенная запись данного: Будьте внимательны: между в выражении (1) не стоит знак умножения!¹

2. В задачах, рассматриваемых в данном конспекте, двойной интеграл по области после вычисления дает число. Это значит, что внешний интеграл своими пределами всегда имеет числа, а переменная интегрирования внешнего интеграла всегда совпадает с переменной, от которой зависят функции, являющиеся пределами внутреннего интеграла:

3. Если или непредставимы в виде одной функции, область надо разбивать на несколько частей и воспитывать их по отдельности:

4. Аналогично правильности в направлении можно ввести правильность в направлении Чтобы не загромождать конспект я опущу рассуждения (они полностью аналогичны приведенным выше), показав лишь результат:

5. Обратите внимание: на иллюстрации к пункту (d) изображена область , являющаяся правильной в направлении , но не являющаяся правильной в направлении . Тем не менее, понятие правильности в определенном направлении не должно никого путать: от одного случая к другому можно перейти простой заменой переменных , после которой правильность в направлении станет правильностью в направлении и напротив: правильность в направлении станет правильностью в направлении .

6. Совет: старайтесь избегать разбиения области на несколько других областей. Чаще всего можно либо сделать замену из пункта (е), либо (что в сущности то же самое) попробовать поменять направление.

7. Области, которые были «зажаты» между двумя иксами, будут сначала интегрироваться по , затем по : , между игреками – напротив . Можно запоминать по более общему правилу (b).

8. Если область оказалась неправильной в некотором направлении, разбить ее на несколько правильных не получится! Верным действием в этом случае будет попытка интегрировать в другом направлении (сделать замену (е)) или поиск удачной замены переменных. Поэтому перед тем, как расставлять пределы, бывает полезно проанализировать область на правильность в направлениях проверить необходимость разбиения области на подобласти. Я предлагаю примерно такой алгоритм: проверяем правильность в обоих направлениях. Если в обоих правильная – выбираем то, при котором нужно будет разбить на наименьшее число подобластей. Если только одно из направлений правильное, расставляем пределы по нему. Если оба неправильные – ищем замену переменных (в частности – пробуем полярную замену). В дальнейшем алгоритм будет усовершенствован и расписан чуть подробнее.

Пример 1: расставить пределы интегрирования и вычислить интеграл двумя способами.

Для начала изобразим область:

1. Область правильная в обоих направлениях. Действительно: параллельные прямые пересекают не более, чем в двух точках.

2. «Зажмем» область между прямыми :

3. Заметим, что нижний предел : проводим прямые из минус бесконечности, параллельные оси и определяем точки их пересечения с областью. Первое пересечение всегда в , значит это и есть искомый нижний предел

4. Верхний предел выразить одной функцией не удастся: при прямые, параллельные пересекут второй раз в точках, лежащих на прямой то есть верхним пределом на будет при прямые, параллельные пересекут второй раз в точках, лежащих уже на прямой верхним пределом на будет . Итак, область пришлось разбить на две части: Тогда интеграл будет иметь вид:

5. Теперь «зажмем» область прямыми . Тогда нижняя граница (точка «входа», если двигаться вдоль оси из минус бесконечности) а верхняя (точка «выхода») - . Интеграл будет иметь вид: Обратите внимание: в данном случае область не пришлось разбивать на две, что существенно упростило расстановку пределов и в дальнейшем существенно упростило расчёты (см замечание f)

Немного про системы координат.

1. Декартова система координат

Положение точки в пространстве определяется двумя координатами: координатой по оси и координатой по оси .

2. Полярная система координат.

Положение точки в пространстве определяется расстоянием до нее от центра координат и углом между радиус-вектором в эту точку и ортом . (рис A)

Из определения понятно, что

Нетрудно показать, что формулы перехода между декартовыми и полярными системами координат имеют вид:

, (3)²

При смене системы координат происходит деформация пространства, при которой площади и объемы тел могут меняться. Например, изобразить поверхность земли на плоской карте без потери пропорций не так уж и просто (рис. B)

Когда производится замена переменных (или, в частности, переход к полярной системе координат), вводится некоторая функция, которая позволяет получать одинаковый результат в разных системах.

Без лишней теории покажу, как считать эту функцию, называемую якобианом.

Пусть интегрируемая функция а область интегрирования

Произведем замену переменных³

,

Полезный факт: то есть якобиан замены равен выражению, обратному якобиану обратной замены:

Пример 2 (переход в полярную систему координат):

Пусть интегрируемая функция область интегрирования (это может быть любая замкнутая кривая на плоскости. Вспомните, Александр Владимирович давал нам уши слона, треугольники, прямоугольники и т. п.). Произведем полярную замену (то есть перейдем к полярной системе координат):

Тогда функция примет вид – просто вместо x и y подставляем новые выражения из системы выше. Важно: если область тоже задана как функция то и в ней необходимо произвести замену. Например, если область была то .

Посчитаем якобиан замены:

Теперь, используя формулу (5) выводим:

Д ля того, чтобы расставить пределы интегрирования в полярной системе координат, поступают так же, как и в декартовой, только «зажимают» область крайними углами, а уравнения верхнего и нижнего пределов выражают как функции от :

В данном примере

То есть смотрим, в каких точках всевозможные радиус-векторы пересекают : уравнением «входа» будет уравнением «выхода» -

Соответственно, пользуясь формулой расстановки пределов в полярной системе координат, получаем

Просто чтобы не оставлять пустой половину страницы:

Пример 3 (обобщение и демонстрация расстановки пределов в полярной системе координат):

Вычислить

Страшно, да?

Решение:

Когда видим уравнение с квадратами обеих переменных, у нас в голове загорается лампочка: скорее всего, где-то тут окружность неподалёку, может быть будет удобно перейти к полярной системе координат.

Для начала преобразуем и построим область .

Оставшиеся два уравнения представляют из себя прямые.

Построим область:

С разу перейдем к полярной системе координат:

Окружность с центром в и радиусом имеет уравнение⁴

Окружность с центром в и радиусом имеет уравнение⁵

Прямая в полянах координатах имеет уравнение⁶

Уравнение же интегрируемой функции примет вид

«Зажмем» между углами : ясно, что радиус будет меняться от до

Тогда

*простите, не хочется сюда выписывать все решение, и так объем немаленький

Подведем итоги, усовершенствовав алгоритм из первой части конспекта:

Проверяем область на правильность в направлениях и . Далее возможны варианты:

1. Область неправильная во всех направлениях. Худший случай. Надо искать замены переменных, пробовать полярную систему координат. Не забывайте про лампочки 😊

2. В одном из направлений область правильная. Если – то шаблон интеграла будет , в случае - Пробуем расставить пределы: «зажимаем» область по оси, перпендикулярной направлению правильности (например, если область правильная в направлении то зажимать надо по оси . Если Вы не понимаете, почему так – сюда), разбиваем область на элементарные подобласти, выписываем уравнения верхнего и нижнего предела (как функций, ограничивающих область сверху и снизу). Если областей получается слишком много – можно провести замену переменных.

3. Область правильная в обоих направлениях. Выбираем то направление, при котором область разбивается на наименьшее число подобластей. Например, в задаче из примера 1 проще всего будет выбрать направление .

Другие варианты:

1. В уравнениях области (интегрируемой функции) присутствуют квадраты обеих переменных или область представляет из себя окружность (комбинацию окружностей) – велика вероятность, что поможет полярная замена.

2. Область задана несколькими функциями от , ограниченными константами. (например, ). Можно попробовать данную функцию целиком принять за новую переменную. Тогда область может стать прямоугольной:

1 Запись будет серьёзной ошибкой

2 Про якобиан будет написано позднее, здесь он указан для общности.

3 Ради простоты я не упоминаю, важный факт: пусть после замены переменных область интегрирования переходит в область Тогда функции должны иметь непрерывные частные производные 1-го порядка в области . Иначе, замена некорректна.

4 : просто в уравнения подставляем полярную замену

5 Аналогично сноске 6, только вместо «4» - «8».

6 в силу того, что