Часть II

Часть II

Тройные интегралы.

Вспомним, как мы определили двойной интеграл: объем под поверхностью, заданной уравнением . Тогда можно было бы сказать, что тройной интеграл – гиперобъем «под» поверхностью Однако, проще сделать несколько иначе.

Вернемся к двойным интегралам: пусть теперь функция на множестве (в области) задает распределение плотности (например, означает, что в точке с координатами плотность равна ). Тогда двойной интеграл от вернет массу области . Это называется физическим смыслом двойного интеграла: – масса пластины с распределением плотности

И вот экстраполяция физического смысла двойного интеграла на тройной интеграл уже понятна: тройной интеграл по поверхности от функции равен массе тела

( – функция распределения плотности, только теперь не на плоскости а внутри поверхности ).

– масса тела с распределением плотности

Замечание: здесь и далее: поверхность записывается как однако общепринятого обозначения нет, что может вызвать некоторые трудности. – не объем! Буква выбрана так лишь чтобы подчеркнуть, что интегрирование происходит по трехмерной замкнутой поверхности.

Свойства двойных интегралов полностью переносятся и на тройные, поэтому расписывать их нет смысла.

Перейдем к расчетам.

Чтобы взять двойной интеграл, мы сводили его к повторному. Для того, чтобы взять тройной интеграл – сначала надо его свести к двойному, а затем двойной свести к повторному.

Пусть имеется поверхность и функция распределения плотности внутри этой поверхности

О братите внимание: оси не подписаны, поскольку их можно поменять местами заменой переменных. Без ограничений общности будем считать, что вверх направлена ось , а «тень» поверхность отбрасывает на плоскость .

План расстановки пределов тройных интегралов в декартовой системе координат тривиален:

1. Выбрать ось «направления» - то есть ось высоты. Повторюсь: эта ось может быть любой, и и и . Выбирается исходя из ситуации. (см пример 2).

2. Найти пределы по данной оси. Поступаем по аналогии с двойными интегралами: нужно провести прямую, параллельную выбранной оси (в нашем случае ), из минус бесконечности, и найти количество точек пересечения с поверхностью (Поверхность называется правильной в выбранном направлении, если пересечений не больше двух). Далее всевозможные точки первого пересечения будут некоторой поверхностью ( в нашем случае), а вторые - ( в нашем случае) Грубо говоря, поверхность разбивается на две половины – нижнюю и верхнюю. Можно придумать ассоциацию: если поверхность – это орех, то нижняя граница интегрирования по ореху – нижняя половина скорлупы, а верхняя граница – верхняя.

3. Найти проекцию поверхности на плоскость, перпендикулярную оси, выбранной в пункте 1 Например если в пункте 1 была выбрана ось , то надо найти проекцию на плоскость .

4. Перейти к двойному интегралу: где уравнение «входа», уравнение «выхода»

Замечания:

1. Аналогично замечанию (a) из предыдущего конспекта: в выражении (7) между и не стоит знак умножения:

2. А налогично замечанию (b): Результатом тройного интеграла является масса, то есть число. Значит пределы интегрирования внутреннего интеграла – функции от тех же переменных, по которым берется внешний двойной интеграл

3. Не стоит забывать, что в трехмерном пространстве есть выбор из трех осей, соответственно, за направляющую ось можно выбрать как , так и или . Для удобства пара рекомендаций: 1. Выбирайте ось, в направлении которой поверхность правильная 2. Если поверхность правильна в нескольких направлениях – выбирайте то, при котором проекция на перпендикулярную ему плоскость представляет собой простейшую область .

Пример 1:

(Сложность - АВ)

Расставить пределы интегрирования в декартовой системе координат для нахождения массы тела , заданного функцией с распределением плотности

Решение:

поверхность второго рода. Для таких поверхностей есть золотое правило – если сразу непонятно, какая именно перед нами поверхность – смотрим сечения плоскостями, параллельными

1. Сечение плоскостью – это уравнения окружностей

2. Сечение плоскостью – уравнения окружностей

3. Сечение плоскостью – тоже уравнения окружностей

- во всех сечениях окружности - сфера с радиусом и центром в

Изобразим ее:

О чевидно, что сфера правильна во всех трех направлениях. Выберем, например, направление . Тогда внутренний интеграл по а меняется от нижней половины сферы до верхней:

Проекция на плоскость, перпендикулярную представляет из себя - окружность радиуса 2

Получаем

Теперь надо расставить пределы интегрирования по (по проекции на ось, перпендикулярной выбранному направлению), а это мы уже делать умеем. Например, будем интегрировать сначала по затем по . Значит

Если вы не понимаете, почему это так – обратитесь к первой части конспекта, сейчас я полагаюсь на то, что материал по двойным интегралам усвоен.

Запишем окончательно:

Предлагаю обратить особое внимание на замечания (b) из обоих конспектов: это может спасти вас от ошибок. Например, произведем проверку в нашем решении: пределы внутреннего интеграла зависят от и дальнейшее интегрирование производится по Пределы внутреннего повторного интеграла зависят только от и внешний интеграл берется по . Пределы же внешнего интеграла – числа. Задание алгебраически решено верно.

Пример 2:

(Сложность – )

Расставить пределы интегрирования и найти массу тела С распределением плотности

Для начала найдем сечения поверхности второго порядка (необходимо по очереди построить все уравнения, которыми задано затем найти замкнутую область).

1. Сечение плоскостью – внутренние области парабол

2. Сечение плоскостью – внутренняя область окружностей радиуса

3. Сечение плоскостью – внутренняя область парабол.

В сечениях имеются две параболы и окружности. Перед нами эллиптический параболоид¹.

положительные полупространства, отсекаемые плоскостями Изобразим

Из построения (рис 1) видно, что поверхность - светло – зеленая часть эллиптического параболоида. (рис 2)

Теперь надо выбрать направляющую ось.

Понятно, правильна во всех трех направлениях (прямые, параллельные любой из осей пересекают не более, чем в двух точках. Замечание: бесконечное количество точек в пересечении отсекаем открытым промежутком)

Все проекции эллиптического цилиндра на координатные плоскости мы уже рассмотрели – это параболы и окружности. Однако, плоскости «отрежут» часть проекции:

Здесь не все так просто. В этом и прелесть данных задач – нужно найти оптимальный вариант. Посмотрите внимательно: если мы выберем за направляющую ось , расставить пределы по будет проблематично. Действительно, будет меняться от левой (на рис 2) части до правой: , и интеграл будет иметь вид

Если же выбрать за направляющую ось , то , но расставлять пределы по окружности неприятно:

А теперь я смело заявляю: первый интеграл вы возьмёте за минуту, а второй не возьмёте.

Очень важно обращать внимание на интегрируемую функцию: в данном случае она подозрительно похожа на пределы интегрирования во внутреннем интеграле первого выражения…

Пример 3 (для самостоятельного решения)

(Сложность – )

замкнутая поверхность, ограниченная следующими уравнениями:

Распределение плотности

Р асставить пределы интегрирования оптимальным способом и найти массу .

Замена переменных в тройном интеграле. Сферическая и цилиндрическая замены.

Предупреждение: если вы еще не прочитали и не усвоили замену в двойном интеграле – самое время прочитать конспект №1. Здесь будет много ссылок на уже объясненный материал.

Пусть функция распределения плотности интегрируема внутри поверхности .

Произведем замену переменных:

( функции от трех переменных).

Так же, как и в двойных интегралах, придется считать якобиан, который так же не должен быть вырожденным:

Свойство обратимости:

Формула замены переменных²:

Системы координат

1. Декартова система координат в трехмерном пространстве всем хорошо известна – точка задается радиус-вектором, имеющим три координаты – длины проекций на оси .

2. Ц илиндрическая система координат. По сути – это полярная система координат, с добавлением третьей координаты – «высоты» над плоскостью полярных координат. Таким образом точка пространства задаётся при помощи 1. Расстояния от центра координат до проекции точки на плоскость 2. Углом между осью и проекцией радиус–вектора на плоскость 3. Высоты точки над плоскостью Обратите внимание: точно так же, как и в полярной системе

3. С ферическая система координат Точка в пространстве определяется с помощью 1. Расстояния до нее от центра координат 2. Угла между осью и проекцией радиус-вектора точки на плоскость 3. Угла между остью и радиус-вектором. Важное замечание: Очевидно, что Но есть еще одно ограничение: Объясняется этот факт достаточно несложно, (но в первый раз может взорвать мозг): точка, с координатой ), если , это то же самое, что и точка Поэтому, чтобы избежать неоднозначности, вводится ограничение

4. Я понимаю, что понять материал по сухому тесту и паре картинок невозможно. Поэтому предлагаю опробовать системы координат туть. Особо важным является замечание в предыдущем пункте, его необходимо осознать. Если непонятно – бейте тревогу.

5. Еще один крайне важный момент: следует понимать, что, например, замена вида – тоже будет цилиндрической заменой. Совершенно все равно, какую плоскость мы выберем в качестве полярной. Но как только мы выбрали плоскость – ось, перпендикулярная ей, становится остью «высоты». В сферической системе координат то же самое – никакой привязки к декартовым осям на самом деле нет! Замена - тоже сферическая.

Расставлять пределы в цилиндрической системе координат не сложнее, чем в декартовой: сначала необходимо произвести цилиндрическую замену (пользуясь (10)), затем перейти к двойному интегралу точно так же, как и в декартовой системе координат. Отличие в том, что расставлять пределы в двойном интеграле нужно будет уже в полярной системе координат.

В сферической же системе необходимо найти всевозможные точки «входа» и «выхода» радиус векторов (обратите внимание, не прямых, параллельных направляющей оси, а радиус-векторов), затем «зажать» поверхность между крайними углами после найти предельные углы Подробнее это будет рассмотрено в следующем примере.

Итак,

Пример 3: (нет, я не украл у АВ, я реквизировал)

Расставить пределы интегрирования тремя способами (в трех системах координат)

Решение:

По уже отработанной схеме, сначала рассматриваем сечения

1. Сечение плоскостью – внутренняя области гипербол с асимптотами .

*напоминаю, как находятся сечения: фиксируем переменную, заменяем ее на и строим кривые. const – это зафиксированная переменная.

2. Сечение плоскостью – внутренняя область окружностей радиуса

3. Сечение плоскостью – внутренняя область гипербол с асимптотами .

Уравнение соответствует внутренней части конуса. Однако, каноническое уравнение конуса (у нас он повернут). В таких случаях, чтобы не путаться, я рекомендую сделать замену переменных таким образом, чтобы свести поверхность к каноническому виду. Таким образом оси надо поменять местами.

Очевидно, что якобиан такой замены тождественно равен единице (поворот ничего не меняет). Поэтому можно записать новую поверхность .

Я намеренно переставил местами и в уравнении распределения плотности, чтобы подчеркнуть, что замена производится и в ней. И еще напоминаю, что поменять местами переменные надо будет и в сечениях.

Полагаю, что уравнение всем известно – это сфера радиуса 2. В данном случае ее поверхность будет «шапкой» конуса. Теперь изобразим поверхность. Сначала все проекции, затем аккуратно объединяем³:

Полагаю, требуется некоторое пояснение к проекциям. Проекцией на будет окружность, по которой пересекаются сфера и конус. Ее уравнение можно найти аналитически:

Это означает, что пересечение происходит на «высоте» . Уравнение пересечения или .

Проекции на плоскости одинаковы, и получаются путем подстановки в полученных на первом этапе решения сечениях 0 вместо

Здесь можно пощупать поверхность. Теперь расставим пределы интегрирования.

1. Декартова система координат.

З аметим, что поверхность симметрична относительно плоскости , а функция плотности четна относительно всех осей и координатных плоскостей. Значит достаточно посчитать массу только левой половины: Здесь будет меняться от левой половины конуса до шапки:

.

Т еперь надо расставить пределы двойного интеграла:

поскольку проекция половины поверхности на плоскость есть полуокружность (уравнение окружности было найдено здесь) то

В результате

2. Цилиндрическая система координат

Все отличие от декартовой в том, что пределы двойного интеграла расставляются полярной системе координат.

Все уравнения должны быть переведены в цилиндрические координаты:

– уравнение сферы

– уравнение конуса

уравнение распределения плотности

все так же меняется от левой половины конуса до сферы: .

Пределы двойного интеграла по проекции на :

(левая половина полуокружности, см изображение выше), .

Теперь

3. Сферическая система координат.

И вот выясняется, что это тот пример, где сферическая система координат на коне (не придумал шутку про сферического коня в вакууме, pardon). меняется от нуля до радиуса сферы: Углы

Углы определяются по проекции на плоскость, перпендикулярную оси направления (нашем случае по проекции Но эта проекция – окружность. Значит принимает все возможные значения: .

Осталось перевести в сферические координаты:

Тогда интеграл будет иметь вид

Попробуйте расставить пределы интегрирования в примере 2, используя сферическую и цилиндрическую системы координат, для закрепления материала.

1 Если такие рассуждения Вам непонятны – вот еще подсказка:

2 Для тренировки рекомендую доказать, что якобиан цилиндрической замены равен , а сферической

3 Когда это будет происходить автоматически – так подробно расписывать будет не нужно. В решении просто указаны все шаги, чтобы читатель смог полностью уловить суть.