Тройные_Интегралы_v1
.5.pdf
3)Сферическая система координат.
Ивот выясняется, что это тот пример, где сферическая система координат на коне (не придумал шутку про сферического коня в вакууме, pardon). меняется от нуля до радиуса сферы:
Все оранжевые радиус-векторы пересекают сферу не более двух раз: при = 0 (точки «входа»), и при= 2 (точки «выхода»).
Углы меняются от 0 до 4:
z
0
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поверхность «зажата» между углами |
||||||
4 |
|
|||||||
|
|
− |
|
и |
|
, однако, по замечанию к |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
4 |
|
|
|
||
|
|
сферической системе координат, углы |
||||||
|
|
будут меняться от 0 до |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Углы определяются по проекции на плоскость, перпендикулярную оси направления (нашем случае по проекции 0 ). Но эта проекция – окружность. Значит принимает все возможные значения: 0 ≤ ≤ 2 .
Осталось перевести ( , , ) в сферические координаты:
( , , ) = 2(cos2( ) sin2( ) + sin2( ) sin2( ) + cos2( )) = 2
Тогда интеграл будет иметь вид
|
2 |
|
2 |
|
∫4 |
||
( , , ) = ∫ |
∫ 2 2 sin( ) . |
||
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
Попробуйте расставить пределы интегрирования в примере 2, используя сферическую и цилиндрическую системы координат, для закрепления материала.