Двойные_Интегралы_v2.3
.pdf
Подведем итоги, усовершенствовав алгоритм из первой части конспекта:
Проверяем область на правильность в направлениях 0 и 0. Далее возможны варианты:
1)Область неправильная во всех направлениях.
Худший случай. Надо искать замены переменных, пробовать полярную систему координат. Не забывайте про лампочки
2)В одном из направлений область правильная. Если 0 – то шаблон интеграла будет
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
||
∫ |
|
∫ 2 |
, в случае 0 - ∫ |
∫ |
2 |
|||
|
|
( ) |
|
|
( ) |
|
||
|
1 |
|
|
1 |
|
|||
Пробуем расставить пределы: «зажимаем» область по оси, перпендикулярной направлению правильности (например, если область правильная в направлении 0 , то зажимать надо по оси 0. Если Вы не понимаете, почему так – сюда), разбиваем область на элементарные подобласти, выписываем уравнения верхнего и нижнего предела (как функций, ограничивающих область сверху и снизу). Если областей получается слишком много – можно провести замену переменных.
3)Область правильная в обоих направлениях.
Выбираем то направление, при котором область разбивается на наименьшее число подобластей. Например, в задаче из примера 1 проще всего будет выбрать направление 0.
Другие варианты:
1)В уравнениях области (интегрируемой функции) присутствуют квадраты обеих переменных или область представляет из себя окружность (комбинацию окружностей) – велика вероятность, что поможет полярная замена.
2)Область задана несколькими функциями от , , ограниченными константами. (например,
≤ (≥) , 2 ≤ (≥) , 2 ≤ (≥) ). Можно попробовать данную функцию
целиком принять за новую переменную.
Тогда область может стать прямоугольной: 1 ≤ (≥) 1, 2 ≤ (≥) 2 …