Статистика. Найти предельное распределение вероятностей

По условиям задачи 1 найти распределение вероятностей для первых двух шагов, если известно, что в начальный момент ТУ исправно с вероятностью 0,7 и находится на ремонте с вероятностью 0,3. Найти предельное распределение вероятностей.

Решение:

В цепи Маркова распределение на i-ом шаге находится умножением распределения на (i-1)-ом шаге на матрицу переходных вероятностей P. Тогда на первом шаге получим распределение вида (при умножении я использую π как вектор-строку и умножаю на нее P справа)

И на втором аналогично получим

Предельное распределение ищется немного сложнее. Предельное распределение -- инвариант преобразования, которое мы имели выше, то есть это решение системы π = π P. Однако полученная система будет иметь бесконечно много решений, из которых нам нужно то, в котором сумма вероятностей равна 1 (на это условие можно поменять любое уравнение в системе π = π P). То есть