lab4_IO_Zhovtyak
.pdf
Цель работы
Изучить процесс решения различных задач на основе матриц игр.
Вариант
Вариант – 14, показан на рисунке 1.
Рисунок 1 – Условия по варианту
Ход работы
Были найдены верхняя и нижняя цена игры, изображѐнной на рисунке
2.
Рисунок 2 – Матрица для нахождения цен игры Минимальные значение строк: 1, 0, -1. Наибольшее из них – 1. Данное
значение равно нижней цене игры.
Максимальные значения столбцов: 9, 4, 7. Наименьшее из них – 4.
Данное значение равно верхней цене игры.
Согласно полученным результатам, нижняя цена игры – 1, что говорит минимальном выигрыше A, если он будет придерживаться максимальной стратегии; верхняя цена игры – 4, что говорит о максимальном проигрыше со стороны B, если он будет придерживаться наиболее осторожной стратегии.
Так как значения не равны, то седловой точки нет, то нет и решений в чистых стратегиях.
2
Было найдено решение в смешанных стратегиях математической матрицы, изображѐнной на рисунке 3, аналитически.
Рисунок 3 – Матричная игра 2x2
{
{ |
|
|
|
Были найдены оптимальные стратегии и цена игры: x*T=[ |
] |
||
y*T=[0.8 0.2]; v=0.52. |
|
||
Оптимальная стратегия была найдена при помощи понятия равновесия
Нэшу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
[ |
|
|
] |
[ |
] |
[ |
] |
|
|
[ |
|
( |
) |
|
( |
)] |
[ |
] |
||
|
( |
|
) |
( |
|
) |
( |
|
) |
||
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x*T=[ |
] y*T=[0.8 0.2]; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
[ |
|
|
] |
[ |
] |
[ |
] |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Было проведено сокращение размерности игры, изображѐнной на рисунке 4, до вида m*2.
Рисунок 4 – Исходная матрица Необходимо убрать невыгодные стратегии.
Все значения А3 больше, чем А1. При нахождении невыгодных стратегий для игрока А (строки) убираются строки с меньшим выигрышем.
Поэтому, строка А1 удаляется.
Все значения В1 больше, чем В3. При нахождении невыгодных стратегий для игрока В(колонки) убираются колонки с наибольшими значениями (выигрыш игрока А). Поэтому, В1 удаляется. Полученная матрица показана на рисунке 5.
Рисунок 5 – Преобразованная в вид m*2 матрица
На рисунке 6 показана графическая интерпретация задачи нахождения решения игры в смешанных стратегиях.
4
Рисунок 6 – Графическая интерпретация
По построению значения:
1.Цена игры v = 2.3 (расстояние до нулевой линии);
2.Оптимальная смешанная стратегия для игрока В y*T=[0.66 0.34]
(расстояние до правой и левой границ);
3.x4=
4.x2=1-x4=1-0.23=0.77;
5.Оптимальная смешанная стратегия для игрока А x*T=[0 0.77 0 0.23].
На рисунке 7 показано решение задачи в Excel. Значения близки, что
говорит о верном расчете.
5
Рисунок 7 – Решение в Excel
Вывод
Была проанализована матрица игры. Были определены ее решения в чистых стратегиях и цена. Было найдено решение в смешанных стратегиях матричной игры 2х2. Было проведелено сокрашение размерности игры до m*2. Аналитически и в среде Excel было найдено решенние в смешанных стратегиях для полученной сокрешаенной игры m*2.
6