lab1_IO_Zhovtyak

1. Задание

Решить задачу линейного программирования графическим методом и аналитически - симплекс-методом. Проверить решение c помощью Excel. Сформулировать задачу, двойственную к заданной, решить, сравнить результаты.

Вариант 14:

2. Графический метод

Система неравенств была решена графически, а именно, построена область допустимых значений. Р

Рисунок 1 – Область допустимых значений

На данном рисунке красным цветом представлена область значений первого неравенства, синим – второго и зелёным – третьего. Желтой замкнутой линией обозначена общая область допустимых значений.

Чтобы целевая функция стремилась к минимум, нужно, чтобы оба значения были максимально большими. Изучим значение целевой функции при нахождении в точках A, B, C соответственно:

1. L(x) = (-2 * 0) + (-3*3) = -9.

2. L(x) = (-2 * 3) + (-3*2) = -12.

3. L(x) = (-2 * 5) + (-3*0) = -10.

Под эти критерии идеально подходит точка B(3,2), в ней целевая функция равна -12 – минимальному из всех значений.

3. Симплекс-метод

Преобразуем неравенство в уравнение, введя базисные перемене x3, x4, x5:

Составляем таблицу.

Базис	План	X1	X2	X3	X4	X5	Ѳ
X3	15	3	3	1	0	0	15/3
X4	9	1	3	0	1	0	9/3
X5	-4	0	1	0	0	1	4/1
L	0	2	3	0	0	0

Минимальное значение Ѳ равно 3, следовательно, 2-я строка является ведущей. Разрешающий элемент равен 3 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. Формируем новую симплекс-таблицу, заменой X4 на X2:

Базис	План	X1	X2	X3	X4	X5	Ѳ
X3	6	2	0	1	-1	0	3
X2	3	1/3	1	0	1/3	0	9
X5	1	-1/3	0	0	-1/3	1	-
L	-9	1	0	0	-1	0

Минимальное значение Ѳ равно 3, следовательно, 1-я строка является ведущей. Разрешающий элемент равен 2 и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки. Формируем новую симплекс-таблицу, заменой X3 на X1:

Базис	План	X1	X2	X3	X4	X5
X1	3	1	0	½	-1/2	0
X2	2	0	1	-1/6	½	0
X5	2	0	0	1/6	-1/2	1
L	-12	0	0	-1/2	-1/2	0

Среди значений индексной строки нет положительных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи, где L(x) = -12.

Ответ при решении симплекс-методом совпадает с ответом при решении графическим методом, проверим решение с помощью Excel. Результат на рисунке 2.

Рисунок 2 – Проверка в Excel

Далее была составлена задача, двойственная к заданной. Она выглядит следующим образом:

Полученная двойственная задача была проверена с помощью Excel. Это представлено на рисунке 3.

Рисунок 3 – Проверка двойственной задачи

4. Вывод

В результате выполнения данной лабораторной работы были получены навыки решения задач линейного программирования графическим методом и симплекс-методом, а также поиска решение задачи с помощью MS Exсel.

В ходе работы проблем не возникло.

5