Добавил:

aruzhan_mn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий

Предмет:

Педагогика

Файл:

Matematikalıq analiz páninen

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2024

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 229 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

limit bar bolsa, onda

lim

f (x1, x2)

x10

x20

tákirarlanıwshı limitide bar bolıp

lim

f (x1, x2)

x1 x10

x2 x20

boladı.

Dálil.

f (x , x

) funkciya

(x , x

)

0, x

0) ge eseli

lim f (x1, x2)

x10

x 0

limitke iye bolsın. Limittiń anıqlamasına muwapıq

sanı

alınǵanda da,

sonday

0 tabılıp, mına

(x , x

) R2 :| x

x 0

| x

x 0

kópliktiń barlıq (x1, x2) noqatları ushın

| f (x1, x2)

b |

(2)

boladı. Endi teoremaniń 2) shártin itibarǵa alıp, x1

ózgeriwshisiniń | x1

x10 |

teńsizligin qanaatlandırıwshı mánisin tayınlap x

x 0

ge (2)

teńsizlikte limitke

ótip

(x1)

b |

tabamız. Demek,

sanı

alınǵanda

da,

sonday

tabılıp,

| x1

x10 |

bolǵanda | (x1)

b |

boladı. Bul

lim

(x1)

b bolatuǵının

x10

bildiredi.

Keyingi qatnastan

lim

x1 x10

lim	f (x1, x2) b
x2 x20

bolatuǵını kelip shıǵadı. Teorema dálillendi. Tómendegi teorema usıǵan uqsas dálillenedi.

2-teorema. Eger 1)	(x , x	2	)	(x 0, x 0) ge		f (x , x	2	) funkciyanıń eseli limiti bar:
	1	2		1	2	1	2

lim f (x1, x2) b

x1 x10 x2 x20

2) Hár bir tayınlap alınǵan x2 de tómendegi

lim		f (x1, x2)				f (x2)
x1	x10
limit bar bolsa, onda
lim			lim		f (x1, x2)
x2	x20		x1	x10
tákirarlanıwshı limiti bar bolıp,
lim		lim		f (x1, x2) b
x2 x20 x1			x10

boladı.

1-nátiyje. Eger bir waqıtta 1-hám 2-teoremalardıń shártleri orınlansa, onda

lim f (x1, x2)		lim	lim	f (x1, x2)	lim	lim	f (x1, x2)
x1	x10	x1 x10	x2 x20		x2 x20	x1 x10
x2	x20

boladı.

Biz eki ózgeriwshi funkciyanıń eseli hám tákirarlanıwshı limitleri arasındaǵı baylanıstı kórsetetuǵın teoremalardı keltirdik.

Joqarıdaǵıday

f (x1, x2,..., xm )

funkciyanıń

xi ,xi

,..., xi

ózgeriwshileri

1 2

boyınsha

lim

f (x1, x2,..., xm )

x 0

eseli hám

lim

f (x1, x

2,..., xm )

tákirarlanıwshı limitleri hám olar arasındaǵı baylanıstı qaraw múmkin.

6. Koshi teoreması (jiynaqliliq principi). Endi kóp ózgeriwshili funkciya limitiniń bar bolıwı haqqındaǵı ulıwma teoremanı keltiremiz.

Rm keńislikte M kóplik berilgen bolıp, a

onıń limit noqatı bolsın.

Bul kóplikte f (x) funkciya berilgen.

9-anıqlama. Eger

sanı ushın

sonday

tabılıp,

mına

(x,a)

, 0

(x,a)

teńsizliklerin qanaatlandırıwshı barlıq

x hám x

M, x

M ) noqatlarda

| f (x)

f (x) |

teńsizlik orınlı bolsa,

f (x)

funkciya

ushın

noqatında

Koshi shárti

orınlanadı

delinedi.

3-teorema (Koshi teoreması). f (x) funkciya a noqatında shekli limitke iye

bolıwı ushın a noqatında Koshi shártiniń orınlı bolıwı zárúr hám jetkilikli.

Dálil. Zárúrligi. x

a ǵa f (x) funkciya shekli limit

lim f (x)

ǵa iye bolsın. Anıqlamaǵa muwapıq ,

0 sanı alınǵanda da,

ushın sonday

0 tabılıp, mına 0

(x, a)

teńsizligin qanaatlandırıwshı barlıq

x (x

M )

noqatlarda

| f (x)

b |

sonlıqtan 0

(x,a)

| f (x)

b |

boladı. Bul teńsizliklerden

| f (x)

f (x) | | f (x)

b |

| f (x)

b |

bolatuǵını

kelip shıǵadı. Bul f (x)

funkciya

ushın

noqatında Koshi shártiniń

orınlanatuǵının kórsetedi.

Jetkilikligi. f (x) funkciya ushın a

noqatta Koshi shárti orınlansa, yaǵnıy

0 san alınǵanda da sonday

0 tabılıp, mına 0

(x)

(x,a)

teńsizliklerin qanaatlandırıwshı barlıq x hám x

(x, x

M ) noqatlarda

| f (x)

f (x) |

bolsın.Bul jaǵdayda f (x) funkciya x

ǵa

shekli limitke

iye

bolatuǵının

kórsetemiz.

a noqat M kópliktiń limit noqatı. Sonıń ushın M kópliktiń noqatlarınan x(n)

(x(n)

a, n 1,2,...) izbe-izlik dúziw múmkin, bunda

lim

x(n)

boladı. Limit anıqlamasına muwapıq, joqarıda keltirilgen

>0 ge muwapıq sonday

n0 N

tabılıp, barlıq

n0,

p n0

ushın

(x(n),a)

(x(p),a)

boladı. Bul teńsizliklerdiń orınlanıwınan, shártke muwapıq:

Demek, f (x(n))

f (x(p)) f (x(n))

boladı.

fundamental’

izbe-izlik

2-§ de keltirilgen 12.4-

teoremaǵa muwapıq

f (x(n))

izbe-izlik

jıynaqlı.

Bul

izbe-izliktiń limitin b

menen belgileyik:

lim

x(n)

Endi M kópliktiń noqatlarınan dúzilgen hám a noqatına umtılatuǵın ıqtıyarlı

{x(n)} izbe-izlik

x(n) a x (n) a, n 1,2,....,

alınǵanda da sáykes

x(n)

izbe-izlik (bul joqarıda kórsetkenimizge muwapıq

jıynaqlı boladı) te sol

ǵa umtılatuǵınlıǵın kórsetemiz.

Meyli

x(n)

(x(n)

1,2,...)

bolǵanda

f (x(n))

b '

bolsın.

{x(n)},

{x(n)} izbe-izlik aǵzalarınan mına

x(1),

(1), x(2),

(2),

x(n),

(n), ...

...,

izbe-izlik dúzeyik. Bul izbe-izliktiń a (a

Rm ) ǵa umtılatuǵınlıǵı ayqın. Onda

f (x(1)),

f (

(1)), f (x(2)),

f (

(2)), ..., f (x(n)), f (

(n)),

(3)

izbe-izlik shekli limitke iye. Onı b

arqalı belgileyik. Eger f (x(n)) hám

f (

(n))

izbe-izliklerdiń hár biri (3) izbe-izliklerdiń úles izbe-izlikleri ekenligin itibarǵa alsaq, onda

f (x(n))	b*,	f(x(n))	b *
		83

ekenligin tabamız. Demek,

		b*	b	b .
Solay etip, f(x) funkciya ushın a noqatta Koshi shártleriniń orınlı bolıwınan M
kóplik	noqatlarınan	dúzilgen hám	a	ǵa	umtılıwshı qálegen	x(n)
x(n)	a, n 1, 2,...	izbe-izlik alınǵanda,			sáykes f (x(n)) izbe-izlik bir
sanǵa umtılıwın tabıń. Bul funkciya limitiniń Geyne anıqlamasına muwapıq						f (x )

funkciya a noqatta shekli limitke iye bolatuǵının bildiredi.	Teorema dálillendi.
12.5-eskertiw. Koshi shárti hám Koshi teoreması x	ke joqarıdaǵıǵa
uqsas aytıladı hám dálillenedi.

8-lekciya

Kóp ózgeriwshili funkciyalardıń úzliksizlik anıqlamaları. Kóp ózgeriwshili úzliksiz funkciyanıń qásiyetleri. Quramalı funkciyanıń úzliksizligi. Kóp ózgeriwshili funkciyanıń aralıq mánisleri haqqında teoremalar. Veyershtrass teoremaları. Teń ólshewli úzliksizlik hám Kantor teoreması

Funkciya úzliksizliginiń anıqlamaları. M Rm kóplikte

	f (x)	f (x1, x2,..., xm )
funkciya berilgen bolıp, a M	a	(a1,a2,...,am )	noqat M kópliktiń limit
noqatı bolsın.
		84

1-anıqlama. Eger x a ǵa f (x) funkciyanıń limiti bar bolıp

lim f (x)	f (a)	lim f (x1, x2,..., xm )		f (x1, x2,..., xm )
x		x1	a1
		x2	a2
		xm	am

(*)

bolsa, f (x) funkciya

a noqatta úzliksiz

dep ataladı.

Mısal. Mına

x1x2

eger

bolsa,

f (x1, x2)

x12

x22

x12

x22

eger

bolsa

funkciyanı

qarayıq. Bul

funkciyanıń ıqtıyarlı

(x 0, x 0)

(0, 0) noqatta úzliksiz

bolıwın funkciya limitiniń qásiyetlerinen paydalanıp tabamız:

x x

f (x 0, x 0)

lim f (x , x

)

lim

x10

0 2

(x1 )

Usı baptıń 3-§ de keltirilgen mısalǵa muwapıq

lim f (x1, x2)

lim

x1x2

f (0, 0)

bolıp, bunnan berilgen funkciyanıń (0,0) noqatta da úzliksiz ekenligi kelip shıǵadı.

Demek qaralıp atırǵan funkciya R2 kóplikte úzliksiz.

Solay etip funkciyanıń úzliksizligi onıń limit arqalı anıqlanadı eken. Funkciyanıń limiti bolsa óz náwbetinde Geyne hám Koshi anıqlamalarına iye. Usını itibarǵa alıp, funkciya úzliksizliginiń Geyne hám Koshi anıqlamaların keltiriw múmkin.

2-anıqlama (Geyne anıqlaması) Eger M	Rm	kópliktiń	noqatlarınan
dúzilgen, a (a M ) ǵa umtılıwshı qálegen x(n)	izbe-izlik alınǵanda da, sáykes
f (x(n)) izbe-izlik barlıq waqıtta f (a) ǵa umtılsa, f (x)		funkciya	a noqatta

úzliksiz dep ataladı.
3-anıqlama	(Koshi	anıqlaması)		Eger	0 sanı	ushın	sonday	0
tabılıp, mına (x,a)	teńsizlikti qanaatlandırıwshı barlıq x					M noqatlarda
		\| f (x)	f (a) \|
teńsizlik orınlansa,	f (x) funkciya a noqatta úzliksiz delinedi.
Dógerek túsinigi járdeminde funkciyanıń úzliksizligin tómendegishe anıqlaw
múmkin.
4-anıqlama.	Eger	0	san	ushın,	sonday	0	tabılıp,	barlıq

x U (a) M noqatlarda f (x) funkciyanıń mánisleri f (x) U (f (a)) bolsa, yaǵnıy x U (a) M f (x) U (f (a))

bolsa, f (x) funkciya a noqatta úzliksiz dep ataladı.

f (x) f (x1, x2,..., xm ) funkciyanıń a (a1,a2,...,am ) noqatta úzliksizligin funkciya ósimi járdeminde de anıqlaw múmkin. Funkciya argumentleriniń ósimleri

a ,

...,

ge sáykes mına

f (x)

f (a)

f (x1, x2,..., xm )

f (a1,a2,...,am )

f (a1

x1,a2

x2,...,am

xm )

f (a1,a2,...,am )

(*)

ayırma f (x) funkciyanıń a noqattaǵı tolıq ósimi dep ataladı hám

f yamasa

f (a)

dep belgilenedi:

f (a) f (a1

x1,a2

x2,...,am

xm )

f (a1,a2,...,am )

Tómendegi

f (a1

x1,a2,...,am )

f (a1,a2,...,am )

f (a1,a2

x2,a3,...,am )

f (a1,a2,...,am )

f (a1,a2,...,am

xm ) f (a1,a2,...,am )

ayırmalar f (x) funkciyanıń a

noqattaǵı dara ósimleri delinedi hám olar sáykes

túrde

x f,

f, ...,

f dep belgilenedi.

Joqarıdaǵı (*)

limit qatnasınan tabamız:

lim f (x)

f (a)

lim f (x)

f (a)

Nátiyjede (*) teńlik tómendegi

lim

f (a)

yaǵnıy

lim f (a) 0

kóriniske keledi. Demek, f (x) funkciyanıń

noqattaǵı úzliksizligi

lim

f (a) 0,

(

lim

f (a)

0 )

kórinisinde anıqlanıwı múmkin eken.

5-anıqlama. Eger

f (x) funkciya M (M

Rm ) kópliktiń hár bir noqatında

úzliksiz bolsa, funkciya usı M kóplikte úzliksiz dep ataladı.

Biz joqarıda keltirilgen kóp ózgeriwshili funkciyalardıń úzliksizligi olardıń barlıq ózgeriwshileri boyınsha úzliksizligin, yaǵnıy birjola úzliksizligin ańlatadı.

Áwelgidey

f (x , x

,..., x

) funkciya

kóplikte berilgen

bolsın.

Berilgen funkciyanıń bazıbir

k 1,2,...,m argumentinen

basqa

barlıq

argumentlerin tayınlap, bul xk

argumentke

ósim bereyik, bunda

x1 ,x2,..., xk

1, xk

xk ,xk

1,..., xm

bolsın. Nátiyjede f (x1, x2,..., xm )

funkciyada

xk f

f (x1, x2,..., xk 1, xk

xk , xk

1,..., xm )

f (x1, x2,..., xm )

k 1,2,...,m

dara ósimge iye bolamız.

Eger xk	0 ge funkciyanıń dara ósimi			x	f de nol’ge umtılsa, yaǵnıy
					k
	lim	0	x f	0
	xk	0	k
			k

bolsa, f (x1, x2,..., xm ) funkciya (x1, x2,..., xm ) noqatında xk ózgeriwshisi boyınsha

úzliksiz dep ataladı. Ádette funkciyanıń bunday úzliksizligi, onıń hár bir ózgeriwshisi boyınsha dara úzliksizligi dep ataladı.

Demek, kóp ózgeriwshili funkciyanıń hár bir ózgeriwshisi boyınsha dara úzliksizligi, bir ózgeriwshili funkciya úzliksizliginiń dál ózi eken.

Eger	f (x , x	2	,..., x	m	) funkciya	(x 0, x 0,..., x 0 ) M		noqatta (bir jola) úzliksiz
	1	2		m		1 2	m

bolsa, funkciya usı noqatta hár bir ózgeriwshisi boyınshada dara úzliksiz boladı.

Haqıyqattan da

f (x , x

,..., x

) funkciya (x 0, x 0,..., x

0 )

M noqatta úzliksiz bolsın.

Anıqlamaǵa muwapıq

lim

f (x 0

x , x 0

,..., x 0

)

f (x

0,..., x 0 )

x1 0

boladı.

Dara jaǵdayda

xk 1

1,2,...,m)

bolǵanda

lim

f (x 0,..., x 0

, x 0

,...,x 0 )

f (x 0, x 0,..., x 0 )

xk 0

1 2

(x 0, x 0,..., x 0 )

1,2,...,m)

boladı.

Bul

berilgen

funkciyanıń

noqatta

ózgeriwshisi boyınsha dara úzliksiz bolatuǵının bildiredi.

1-eskertiw. f (x1, x2,..., xm ) funkciyanıń bazıbir noqatta hár bir ózgeriwshisi

boyınsha dara úzliksiz bolıwınan onıń usı noqatta (bir jola) úzliksiz bolıwı bárqulla kelip shıǵa bermeydi. Máselen mına

		2x1x2		,	eger	x12	x22	0 bolsa,
f (x1, x2)	x12 x22
						x12	x22
	0		,		eger			0 bolsa,

funkciyanı qarayıq. Bul funkciyanıń hár bir ózgeriwshi boyınsha úzliksiz

bolatuǵının kórsetemiz.				f (x , 0)								f (0, x				2	)	0	ekenligi ayqın. Qálegen								(x , x	2	) R2
							1									2											1	2
noqat alıp, onda x2			ózgeriwshini tayınlap qoyamız.
Eger x	2	0			hám x					1		x		0				0 bolsa,
	2									1			1
															2x x					2x	0x	2		f (x 0, x
	lim f (x , x				2	)			lim									1 2		1		2			2	)
	lim f (x , x					)			lim																	)
x1		x10	1						x1		x10			x 2				x 2	(x 0)2				x 2	1
x1		x10							x1		x10			x 2				x 2	(x 0)2				x 2
														1				2	1				2
boladı.
Eger x	2	0	hám x				1		x 0			0			bolsa,
	2						1			1
								lim				f (x , 0)						0	f (x 0, 0)
							x		x 0			1							1
							x	1	x 0
								1		1
																	87

f (x1, x2 )

boladı.
Eger x	2	0	hám x		1	x	0		0	bolsa,
	2				1	1
			lim f (x1, 0)							0 f (0, 0)
			x1		0
boladı. Demek,
				lim		f (x , x		2	)	f (x 0,x	2	)
			x		x	0	1	2		1	2
			x	1	x	0
				1	1
Bul berilgen			f (x1, x2 ) funkciya					x1		ózgeriwshisi boyınsha dara úzliksiz

ekenligin bildiredi. Berilgen funkciyanıń x2 ózgeriwshisi boyınsha dara úzliksiz bolıwı soǵan uqsas kórsetiledi. Demek funkciya hár bir ózgeriwshisi boyınsha dara úzliksiz. Biraq bul funkciya (0,0) noqatta úzliksiz emes. Bul noqatta

funkciya hátte limitke de iye bolmaytuǵının kórseteyik. haqıyqattan

(0,0)

noqatına umtılatuǵın

tómendegi eki

hám

2 ,

izbe-izlikler:

0, 0

, n

0,0 , n

alınǵanda, olarǵa sáykes keletuǵın funkciya mánislerinen ibarat

, 1

hám

, 1

izbe-izlikler ushın

1 ,

2 , 1

n n

boladı.

Biz

joqarıda

kóp

ózgeriwshili

f (x1, x2,..., xm )

funkciyanıń

hár

bir

1,2,..., m) ózgeriwshisi boyınsha dara úzliksizligi túsinigi menen tanıstıq,

f (x1, x2,..., xm ) funkciyanıń xi ,xi

,..., xi ózgeriwshileri boyınsha úzliksizligi usıǵan

uqsas anıqlanadı.

7-anıqlama. Eger x

a ǵa f (x) funkciyasınıń limiti bar bolmasa yamasa

lim f (x)

yamasa funkciyanıń limiti bar, shekli bolıp,

lim f (x)

f (a)

bolsa, onda funkciya a noqatta úziliske iye delinedi.

Mısallar. 1. Mına

x 2

x 2,

eger

(x , x

)

(0, 0) bolsa,

f (x1, x2)

1 ,

eger

(x1, x2 )

(0, 0)

bolsa

funkciyanı qarayıq. Bul funkciya R2 kóplikte berilgen bolıp, onıń (0,0) noqattaǵı limiti

lim f (x1, x		2)	0	f (0, 0) 1
x1	0
x2	0

boladı. Demek berilgen funkciya (0,0) noqatta úziliske iye. 2. Usı baptıń 1-§ inde keltirilgen

			1		,	eger	(x1, x2)	(0,0)	bolsa,

f (x , x	2	)	x12	x22
f (x , x		)	x12	x22
1
			0		,	eger	(x1,x2)	(0,0)	bolsa

funkciya úziliske iye, sebebi

lim f (x1, x2)		lim		1

				x12 x22
x1	0	x1	0	x12 x22
x2	0	x2	0

3. Tómendegi

		1		, eger x12

f (x1, x2)	x12	x22	1
f (x1, x2)	x12	x22	1	eger x12
	0	,		eger x12

funkciya	x , x		2			R2 : x 2			x 2		1		kópliktiń
	1		2					1	2
boladı, sebebi (x , x				2	)	(x 0, x 0), (x 0)2								(x 0)2
		1		2			1		2		1			2
limiti bar bolmaydı.
4. Mına										2x1		x2
										2x1		x2	,	eger	x1
					f	(x , x	2	)	x1		3x2		,	eger	x1
					f	(x , x		)	x1		3x2
						1					1	,		eger	x1
											1	,		eger	x1
funkciya (0,0) noqatta úziliske iye, sebebi														x1 , x2

limiti bar bolmaydı (qaralsın 41-bet).

2	1	bolsa,
x2	1	bolsa,
x22	1	bolsa
hár	bir	noqatında úziliske iye

1 de f (x1, x2 ) funkciyanıń shekli

3x2 0 bolsa,

3x2 0 bolsa

(0, 0) ge berilgen funkciyanıń

Joqarıda keltirilgen mısallardan f (x1, x2 ) funkciya tegisliktiń ayırım

noqatlarında yamasa tegisliktegi bazıbir sızıqtıń barlıq noqatlarında (yaǵnıy sızıq boylap) úziliwi múmkin ekenligi kórinedi.

Úzliksiz funkciyalar ústinde arifmetikalıq ámeller. Quramalı funkciyanıń úzliksizligi. Endi úzliksiz funkciyalardıń qosındısı, ayırması, kóbeymesi hám qatnasınıń úzliksizligi máselesin úyrenemiz.

1-teorema. Eger	f (x) hám f (x )		funkciyalardıń hár biri M			Rm kóplikte
	1	2
berilgen bolıp, olar a	M noqatta úzliksiz bolsa,
f1(x) f2(x),		f1(x) f2(x)	jáne de	f1(x)	(f2(a)	0)

				f2(x)
				f2(x)

funkciyalarıda usı noqatta úzliksiz boladı.

Dálil. Bul teoremanıń dálili tiykarınan limitke iye bolǵan funkciyalar ústindegi arifmetikalıq ámeller haqqındaǵı maǵlıwmatlardan (usı baptıń 3-§ degi 5˚,6˚ hám 7˚-qásiyetleri) tikkeley kelip shıǵadı. Onı limitke iye bolǵan funkciyanıń

lim f2(x)

x a

a ǵa

f2(x )

f1(x)

qásiyetleri (3-§ degi 1˚- hám 2˚- qásiyetleri) hám berilgen funkciyanıń noqatta úzliksizliginen paydalanıpta dálillew múmkin. Biz tómende eki funkciya qatnasınıń úzliksiz bolıwın kórsetemiz. hám funkciyanıń hár biri a noqatta úzliksiz

bolıp, f2(a) 0 bolsın. f1(a), f2(a) limitlerine iye:

lim f1(x)

x a

Ayqın x

f1(a) ,

f1(x) hám f (x2) funkciyalar sáykes

f2(a) (f2(a) 0),

Bul jaǵdayda usı baptıń 3-§ indegi 2˚-qásiyeti boyınsha a

kishi dógeregi U (a)	x Rm : (x,a)	1	de	f (x)	hám
1		1		1
1

shegaralanǵan boladı:

noqatınıń jetkilikli f2(x ) funkciyalar

f1(x)

M1, m2

f2(x) M2

x U 1 (a),

bunda

m ,

hám m

ózgermes sanlar. Ekinshi tárepten

f (a) 0

bolǵanlıǵı sebepli 3-§ degi 1˚ qásiyetke muwapiq usı

a noqattıń jetkilikli kishi

dógeregi U

(a)

Rm : (x,a)

f (x)

0 boladı.

Endi mına

f1(x)

f1(a)

U 2 (a)

f2(x)

f2(a)

ayırmanı qarayıq. Onı tómendegishe jazıp alamız:

f1(x)	f1(a)		f1(x)	f2 (a)	f2(x)

f (x)	f (a)	f (a) f (x)
2	2	2	2

f2(a) f1 (x) f1(a) ,

Eger

min

1, 2

dep alsaq, onda

x U '(a) ushın

f1(x) f1(a)

f2(x)

f2(a)

f1(x)

f1(a)

(1)

boladı.

f2(x) f2(a)

m2 f2(a)

f2(a)

f1(x)

hám

f2(x )

funkciyalardıń a noqatta úzliksizligine tiykarlanıp,

san alınǵanda da,

f2(a)

ge kóre sonday

0 tabılip,

x U "(a) ushın

f1(x)

f1(a)

f2(a)

(2)

sonday-aq, usı

0 alınǵanda da,

m2 f2(a)

ge kóre sonday

tabılıp,

x U (a) ushın

(x) f2(a)

(a)

(3)

boladı. Eger

min

", '"

dep alınsa, onda x

U (a) ushın joqarıdaǵı

(1), (2) hám (3) qatnaslar bir jola orınlı bolıp, nátiyjede mına f1(x) f1(a)

f2(x) f2(a)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 229 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Педагогика

#
11.08.20241.61 Mб6Didaktika__ped.pdf
#
11.08.2024725.76 Кб0Háreketli oyınlar arqalı dene tárbiyası sabaǵın.pdf
#
11.08.20243.54 Mб2Jeńil atletika hám onı oqıtıw metodikası.pdf
#
24.07.20241.24 Mб10Jumanazar Bazarbaev Ruwxıyatımız marjanları_2008.docx
#
12.08.2024832.88 Кб3Logopediya OMK.pdf
#
11.08.20249.98 Mб5Matematikalıq analiz páninen.pdf
#
11.08.20241.47 Mб9Matematikalıq túsiniklerdi qáliplestiriw.pdf
#
23.07.2024658.41 Кб11Mektepke_shekemgi_bilimlendiriw_shókemlerinde_erteklerdi_saxnalastırıw__.pdf
#
28.09.20241.31 Mб2Muzıka sawatı.doc
#
12.08.2024419.02 Кб6Oqıtıwshınıń sóylew mádeniyatı.pdf
#
11.08.20241.11 Mб6Pedagogikadan ámeliy jumıslar.pdf