Matematikalıq analiz páninen

Bunda t

(t ,t

,...,t

k

) ózgeriwshi T Rk kóplikte ózgergende olar sáykes

1 2

x (x , x

2

,..., x

m

)

noqat

M

Rm

kóplikte

bolsın.

Nátiyjede y

ózgeriwshi

1

x (x1, x2,..., xm )

ózgeriwshi

arqalı

t

(t1,t2,...,tk ) ózgeriwshilerdiń

funkciyası

boladı:

t

x

y

(t1,t2,...,tk )

(x1, x2,..., xm )

y.

Bul

y

f (x(t)) f

1 t1,t2,...,tk

, 2 t1,t2,...,tk ,..., m t1,t2,...,tk

funkciya quramalı funkciya yamasa f(x) hám

i (t),

(i 1,2,...,m)

funkciyalar

hasıl qılınadı. Mına

ex1 x2 .... xm , y

y

ln

,

x

x

2

... x

m

1

y

sin

x1

x2

sin

x2

x3

... sin xm 1

xm

funkciyaları sonday funkciyalar boladı.

f (x) f (x , x

2

,..., x

m

)

funkciya

M

Rm kóplikte berilgen bolsın. Eger bul

1

funkciya mánisler kópligi

Y

f

x1,x2,...,xm

: x1,x2,...,xm

M

P) sanı tabılıp,

x1,x2,..., xm

M ushın

f x1,x2,...,xm

C

f

x1,x2,...,xm

P

teńsizlik orınlı

bolsa, f (x)

f x1,x2,...,xm

funkciya

M kóplikte

joqarıdan

(tómennen) shegaralanǵan

dep ataladı, keri jaǵdayda, yaǵnıy qálegen úlken S oń

sanı tabılǵanda da, M kóplikte sonday

x 0, x 0,..., x 0

noqatı tabılıp,

1

2

m

f x10,x20,..., xm0

S

f x10, x20,..., xm0

S

teńsizlik orınlı

bolsa, f (x)

f

x1,x2,...,xm

funkciya

M kóplikte

joqarıdan

(tómennen) shegaralanbaǵan dep ataladı.

Eger f (x)

f x1,x2,...,xm

funkciya M kóplikte joqarıdan da, tómennen de

f x1, x2

1

x 2

x 2

1

2

Y

(0,

) .

2. Funkciyanıń limiti. Rm keńisliginde qandayda bir M kóplik alayıq. a

noqatı a

a1,a2,...,am usı kópliktiń limit noqatı bolsın.

71

Bul jaǵdayda

M kópliginiń

noqatlarınan

a ǵa umtılıwshı túrli

x(n)

x(n)

M,

x(n)

a,

n

1,

2,

...

izbe-izlikler dúziw múmkin:

lim x(n)

a

n

Endi usı M kóplikte qandayda bir y

f (x) funkciya berilgen bolsın.

2 anıqlama (Geyne anıqlaması). Eger M kópliginiń noqatlarınan dúzilgen,

a ǵa

umtılıwshı

hár

qanday

x(n)

x(n)

a,

n

1,

2,

..., izbe-izlik

alınǵanda da

sáykes f

xn

izbe-izlik

barlıq

waqıtta jalǵız

b (shekli

yamasa

sheksiz) limitke umtılsa,

b f(x) funkciyasınıń

a noqatındaǵı (yamasa x

a ǵa)

limiti*

dep ataladı hám

onı

lim f (x)

b

yamasa

x

a

ǵa

f (x)

b

x

a

dep belgilenedi.

Funkciya limitin basqashada anıqlawǵa boladı.

3 anıqlama. (Koshi anıqlaması) Eger

0 sanı ushın sonday

0 sanı

tabılıp,

mına

0

(x,a)

teńsizligin

qanaatlandırıwshı

barlıq

x

M

noqatlarında

| f (x) b |

teńsizligi orınlı bolsa, b sanı f(x ) funkciyasınıń a noqatındaǵı (x

a ǵı) limiti dep

ataladı.

4-anıqlama (Koshi anıqlaması). Eger

0

sanı ushın sonday

0

tabılıp, mına 0

(x,a)

teńsizlikti qanaatlandırıwshı barlıq x

M noqatlarda

f (x)

( f (x)

; f (x)

)

bolsa,

f(x) funkciyanıń a noqatındaǵı (x

a

daǵi

)

limiti

(

,

)

limiti anıqlamaları dáliline uqsas.

Joqarıdaǵı lim f (x)

b

yamasa x

a ǵa f (x) b belgilewler

x a

x

x1,x2,..., xm ,

a

a1,a2,...,am

hám

x1

a1

x

a

x2

a2

xm

am

ekenligin itibarǵa alıp, tómendegishe

x1

a1

x2

a2

lim f x1, x2,..., xm

b yamasa

ge f x1,x2,...,xm

b

x1

a1

x2

a2

xm

am

xm

am

dep jazıwǵa da boladı.

Rm keńisliginde bazıbir M kóplik berilgen bolıp,

usı kópliktiń limit noqatı

bolsın. Bul M kóplikte y

f (x) funkciya berilgen.

5-anıqlama (Geyne anıqlaması). Eger M kópliktiń noqatlarınan dúzilgen

qálegen

x(n)

izbe-izlik ushın x(n)

ke sáykes

f (x(n))

izbe-izlik barlıq waqıt

jalǵız b ǵa umtılsa, b f(x ) funkciyanıń

x

ke limiti dep ataladı hám

lim f (x)

b

x

dep belgilenedi.

6-anıqlama (Koshi anıqlaması) Eger

0 sanı ushın sonday

0 sanı

tabılıp, mına

(x, 0)

teńsizligin qanaatlandırıwshı barlıq x

M noqatlarda

f (x) b

teńsizligi orınlı bolsa, b f(x) funkciyanıń x

ke limiti dep ataladı hám

lim f (x)

b

x

dep belgilenedi.

Funkciya limiti túsinigi kiritilgende limit qaralıp atırǵan noqatta funkciyanıń

beriliwi (anıqlanıwı) shárt emes ekenligin jáne bir márte esletip ótpekshimiz.

1 eskertiw. Joqarıda funkciya limitine berilgen Geyne anıqlamasınıń

áhmiyeti,

qálegen

x(n)

x(n)

a,

n

1, 2,...,

x(n)

a

izbe-izlik ushın

sáykes

f (x(n))

izbe-izliktiń

limiti

alınǵan

x(n)

izbe-izlikke

baylanıslı

emesliginde.

Mısallar. 1.

Mına

x1x2

,

eger

x12

x22

0

bolsa,

f (x)

f (x1, x2)

x12 x22

2

2

0,

eger

0

bolsa

x1

x2

funkciyanıń x

(x1, x2)

(0, 0)

(yaǵnıy

x1

0, x2

0) degi limiti nól

ekenligi kórsetilsin. Bul funkciya R2

kóplikte

berilgen

bolıp, (0,0)

noqat usı

kópliktiń limit noqatı.

a)

Geyne anıqlaması boyınsha: (0,0) noqatına umtılıwshı qálegen

x(n)

x1(n), x2(n)

(0, 0)

(yaǵnıy x1(n)

0, x2(n)

0)

(x(n) (0, 0))

izbe-izlik alamız. Onda sáykes

f (x(n))

izbe-izligi ushın tómendegishe

f x(n)

f x

(n), x

(n)

x1(n), x2(n)

1

2

x(n) 2

x(n) 2

1

2

x1(n) x2(n)

1

(n)

(n)

(n) (n)

x1

x

2

x1 x

2

(n) 2

2

x

(n)

2

x1

2

bolıp, x1(n)

0,

x2(n)

0 de

n

lim

f x(n)

0

(0,0)

boladı. Demek,

lim

f (x)

lim

x1

x2

0 ;

x (0,0)

x

0

2

2

x1

0

x1

x2

2

b) Koshi anıqlaması boyınsha:

0 sanı ushın

2

dep alınsa, onda

0

(x, 0)

teńsizligin qanaatlandırıwshı barlıq x

noqatlarda

x1x2

x1

x2

1

1

1

f (x) 0

x

2

x 2

(x, 0)

x12

x22

x12

x22

2

1

2

2

2

teńsizligi orınlı boladı. Bul

lim

f (x)

lim

x1

x2

0

x

(0,0)

x

0

2

2

x1

0

x1

x2

2

ekenligin bildiredi.

2. Tómendegi

f (x) f x1 , x2

x

2

x2

1

2

x2 x2

x x

2

2

1

2

1

funkciyanıń x (x1, x2)

(0, 0)

(yaǵnıy

x1

0, x2

0) degi limitiniń joq

ekenligi kórsetilsin. Bul funkciyada R2 \

(0, 0)

kóplikte berilgen bolıp, (0,0) noqat

usı kópliktiń limit noqatı.

(0,0) noqatına umtılıwshı eki

x(n)

1 ,

1

(0,

0)

hám (x(n))

1

,

1

(0,

0)

n

n

n

n

izbe-izlikler alınsa, olar ushın sáykes túrde

1

1

f

x

(n)

n

4

1

1 hám

f

x

(n)

n4

0

0

1

1

4

n4

n4

n2

boladı. Bul x

(0, 0) da berilgen funkciyanıń limiti bolmaytuǵının bildiredi.

Bazıbir (x) funkciya

M

Rm kóplikte berligen bolıp, a a Rm noqat

usı kópliktiń limit noqatı bolsın.

7-anıqlama. Eger x

a

ǵa (x) diń limiti nól, yaǵnıy

lim

(x) 0

x a

bolsa, onda (x) funkciya x

a ǵa sheksiz kishi funkciya dep ataladı.

Berilgen f (x) funkciya x

a

ǵa shekli

b limitke iye bolıwı ushın

(x)

f (x)

b

kelip shıǵadı.

Solay etip, x

a

ǵa f (x)

funkciya

b

limitke iye bolsa, bul funkciyanı

bárqulla

f (x) b

(x)

kórinisinde anıqlaw múmkin, bunda

(x) sheksiz kishi funkciya.

Sheksiz kishi funkciyalar tómendegi qásiyetlerge iye.

Meyli,

(x)funkciya da usı M kóplikte berilgen bolsın.

1˚. Eger x

a ǵa

(x) hám

(x) funkciyalar sheksiz kishi funkciyalar bolsa,

onda olardıń qosındısı

(x)

(x) funkciyada sheksiz kishi funkciya boladı.

2˚. Eger x

a ǵa

(x) sheksiz kishi funkciya bolıp,

(x)funkciya bolsa

shegaralanǵan funkciya bolsa, onda olardıń kóbeymesi

(x)

(x) sheksiz kishi

funkciya boladı.

8-anıqlama. Eger M kóplikte berilgen

(x) funkciya ushın

lim

(x)

x

bolsa, (x) funkciya

x

a ǵa sheksiz úlken funkciya dep ataladı.

3˚. Eger x

a ǵa

(x) funkciya sheksiz kishi ( (x)

0) funkciya bolsa,

1

funkciya

x

a ǵa sheksiz úlken funkciya boladı.

(x )

4˚. Eger x

a

ǵa

(x)

funkciya

sheksiz úlken

funkciya bolsa,

1

(x)