Matematikalıq analiz páninen

1˚. Eger x(n)

izbe-izlik jıynaqlı bolsa, onıń limiti jalǵız.

Kelesi

qásiyetti keltiriwden burın,

x(n)

izbe-izliktiń

shegaralanǵanlıǵı

túsinigi menen tanısamız.

Eger x(n)

izbe-izliktiń barlıq aǵzalarınan dúzilgen kóplik shegaralanǵan

bolsa,

x(n)

izbe-izlik shegaralanǵan izbe-izlik dep ataladı.

Rm

keńisliginde

x(n)

x1(n),x2(n),...,xmn

izbe-izlik

shegaralanǵan

bolsın.

Anıqlamaǵa

muwapıq

(12.9-anıqlama)

sonday

U0

x

Rm :

(x, 0)

r

shar tabılıp,

n

N

ushın

x(n)

U0

boladı.

Demek,

(x(n), 0)

r.

Keyingi teńsizlikten

x(n)

r,

x(n)

r,

...,

x(n)

r

( n

N)

1

2

m

bolatuǵını kelip shıǵadı.

Solay etip,

x(n)

x1(n),x2(n),..., xm(n)

izbe-izlik shegaralanǵan bolsa, bul

izbe-izliktiń

koordinatalarınan

ibarat

bolǵan

x(n) ,

x(n) ,

,

x(n)

izbe-

1

2

m

izliklerdiń hár biride shegaralanǵan boladı eken.

Endi

x(n)

x1(n),x2(n),..., xm(n)

izbe-izliktiń

koordinatalarınan

ibarat

x(n)

,

x(n)

,

,

x(n)

izbe-izliklerdiń

hár

biri shegaralanǵan

bolsın. Sanlar

1

2

m

sonday C1,C2,...,Cm ózgermes sanlar tabılıp,

n

N ushın

x1(n)

C1

x2(n)

C2

xm(n)

Cm

xk(n)

C (k 1,2,3,...,m)

boladı. Eger C

max C1,C2,...,Cm

dep alsaq

bolıp, onnan

n

N ushın

(x(n), 0)

C

m

bolatuǵının tabamız. Bul

x(n) izbe-izliktiń shegaralanǵanın bildiredi.

Solay etip,

x(n)

x1(n),x2(n),..., xm(n)

izbe-izliklerdiń koordinatalarınan ibarat

x(n) ,

x(n)

,

, x(n)

izbe-izliklerdiń hár biriniń shegaralanǵanlıǵınan x(n)

1

2

m

2-teorema.

Rm keńisliginde

x(n)

x1(n),x2(n),..., xm(n)

izbe-izliktiń

shegaralanǵan bolıwı ushın bul izbe-izlik koordinatalarınan ibarat

x(n) ,

x(n)

,

1

2

, x(n)

sanlar

izbe-izlikleriniń

hár

biriniń

shegaralanǵan bolıwı zárúr hám

m

jetkilikli.

1 ,

1

Máselen, R2

keńisliginde

(n

1,2,...) izbe-izlik

shegaralanǵan

n n

bolıwı da, limitke iye bolmawı da múmkin eken.

2˚.

Eger

x(n)

izbe-izlik jıynaqlı bolsa, ol shegaralanǵan boladı.

Jıynaqlı

izbe-izlikler ústindegi arifmetikalıq ámellerdi úyreniwden burın Rm

keńisligi elementleri ústinde orınlanatuǵın ámellerdi keltiremiz.

Rm keńisliginiń eki a

(a ,a

2

,...,a

m

),

b

(b ,b ,...,b ) noqatların alayıq.

1

1

2

m

Rm

keńisliginiń

(a

b ,

a

2

b ,

...,a

m

b

) noqatı a hám b noqatlar

1

1

2

m

qosındısı

dep

ataladı

hám

a

b

dep

belgilenedi:

a

b

(a1

b1,a2

b2, ...,

am

bm ).

Rm keńisliginiń

( a ,

a

,...,

a

m

)

(

haqıyqıy san) noqatı α haqıyqıy sanı

1

2

menen a

Rm noqat kóbeymesi dep ataladı hám

a dep belgilenedi:

a

( a ,

a

,...,

a

m

). Rm keńisliginiń

a

hám

b

noqatları arasındaǵı

ayırma

1

2

a

(

1)b

kórinisinde

aniqlanadı

hám a b dep belgilenedi: a

b

(a1

b1,

a

2

b ,...,a

m

b

).

Solay etip, Rm

keńisligi noqatları ústinde qosıw, ayirıw hám

2

m

Rm keńisligi noqatın haqıyqıy sanǵa kóbeytiw ámelleri kiritiledi.

Rm keńisliginde eki

x(n)

x1(n) , x2(n),..., xm(n)

,

y(n)

y1(n) ,y2(n),...,ym(n)

izbe-izlik berilgen bolsın. Mına

x(n)

y(n),x(n)

y(n),...,x(n)

y(n)

,

(n

1,2, 3,...)

1

1

2

2

m

m

izbe-izlik x(n)

hám

y(n)

izbe-izlikler qosındısı dep ataladı hám

x(n)

y(n)

dep belgilenedi,

x(n)

hám

y(n)

izbe-izlikler ayırması tómendegi

x(n)

y(n), x(n)

y(n),..., x(n)

y(n)

(n

1,2, 3,...)

1

1

2

2

m

m

izbe-izlik sıpatında anıqlanadı hám

x(n)

y(n) dep belgilenedi.

keńisliginde

x(n)

izbe-izligi berilgen bolsın.

3-anıqlama. Eger

0

alınǵanda da,

sonday n0

N

tabılıp,

barlıq

n n0, p

n0 ler ushın

(x(p),x(n))

teńsizligi orınlı bolsa,

x(n)

fundamental’ izbe-izlik dep ataladı.

R2

1

1

Mısallar. 1.

keńisliginde mına

n

, n

izbe-izlik fundamental’ izbe-

izlik boladı. Haqıyqattan

1 , 1

, 1 ,

1

1 1 2

1 1 2

1 1

1 1

2

2

n n

p p

p n

p n

p n

p n

Eger

0 sanı ushın n0

natural sanın

2

2

n0

1

dep alsaq, onda barlıq

n

n0,

p

n0 ler ushın

1 ,

1 ,

1 ,

1

1

1

2 2

2

n

n

p

p

n0

n0

2 2

bolatuǵının tabamız. Demek, berilgen izbe-izlik fundamental’ eken.

2. R2 keńisliginde tómendegi xn , 0 : xn

1

1 ...

1

izbe-izligi

2

n

fundamental’ bolmaydı. Haqıyqattan da, bul izbe-izlik ushın, máselen n

p da

1

1

1

n p

((xp, 0),(xn , 0))

xn xp

2

xn

xp

...

p

1

p 2

n

n

bolıp, n

2p bolǵanda

1

Meyli

x(n)

x1(n),x2(n),..., xm(n)

fundamental’

izbe-izlik

bolsın.

Anıqlamaǵa

muwapıq,

0 alınǵanda

da, sonday n0

N tabılıp,

barlıq

n n0, p

n0 ushın

m

x(p) 2

x(n)

i

i

i

1

jazıp, onnan

x(n)

x(p)

i

i

bolatuǵının tabamız.

Bul

x(n) ,

x(n) ,

,

x(n)

izbe-izliklerdiń hár

biri

1

2

m

fundamental’ izbe-izlikler (qaralsin, 1-bólim, 3-bap, 10-§) ekenligin bildiredi.

Sonday qılıp, Rm

keńisliginde

x(n)

x1(n),x2(n),..., xm(n)

izbe-izliktiń

fundamental’ bolıwınan bul izbe-izlik koordinatalarınan dúzilgen

x(n) ,

x

(n) ,

1

2

,

x(n)

izbe-izliklerdiń

hár

biriniń

fundamental’

bolatuǵınlıǵı

kelip

shıǵar

m

eken.

Endi

x(n)

x1(n),x2(n),..., xm(n)

izbe-izlik

koordinatalarınan

ibarat

x(n)

, x(n)

,

,

x(n)

izbe-izliklerdiń hár biri fundamental’ bolsın.

1

2

m

Bul jaǵdayda

0

alınǵanda

da,

ge

sáykes keliwshi

sonday

m

n0(1), n0(2),..., n0(m)

natural sanlar tabılıp,

barlıq n

n0(1),

p

n0(1)

x1(n)

x1(p)

,

m

barlıq

n

n0(2),

p

n0(2)

x2(n)

x2(p)

,

m

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

barlıq n

n0(m), p

n0(m)

xm(n)

xm(p)

m

boladı. Eger n0

max

n0(1),n0(2),...,n0(m)

dep alsaq, onda barlıq n

n0,

p

n0

ushın bir waqıtta

x(n)

x(p)

(i

1,

2,...,m)

i

i

m

teńsizlikler orınlanadı. Nátiyjede

2

m

x(p) 2

m

x(n)

i

1

i

i

i 1

m

boladı. Demek

x(n), x(p)

.

Bul x(n)

fundamental’ izbe-izlik ekenligin bildiredi. Nátiyjede tómendegi

teoremaǵa kelemiz: