Matematikalıq analiz páninen

m

(x, x 0)

(xi

xi0)2

.

i 1

Demek,

(x, x 0)

. Bul x

U

x 0

ekenligin bildiredi. Solay etip,

x

x 0

x

U

x 0 ,

U

yaǵnıy

x 0

U

x 0

U

boladı.

x0

Rm

noqatınıń

(x 0)

Rm : x

0

x 0

,...,x 0

x 0

U

1

,

2

,...,

m

x ,x

,...,x

m

1

x

1

m

x

m

m

1 2

1

1

1

m

m

parallelepipedial dógeregi berilgen bolsın. Onda

min

1,

2,...,

m

dı alıp,

x 0

noqatınıń sferalıq dógeregi

U x 0

x Rm :

x, x 0

di dúzemiz.

x

U (x 0) bolsın. Bul jaǵdayda

m

(x, x 0)

(xi

xi0)2

i,

(i

1,2, 3,...,m)

i

1

boladı. Demek,

m

x 0 2

x

i

x 0

x

i

i

,

i

1,2, 3,...,m .

i

i

x 0

i 1

Bunnan

x

U

1

,

2

,...,

m

bolatuǵını kelip shıǵadı.Solay etip,

x

U

x 0

x

1, 2..., m

x 0 ,

U

yaǵnıy

U

x 0

x 0

U

1,

2,..., m

boladı.

Lemma dálillendi.

Rm keńisliginde bazıbir G kóplik berilgen bolsın: G

Rm . Eger

x 0 G

noqatınıń

sonday bir

dógeregi U

x 0

tabılıp, bul dógerektiń barlıq noqatları

usı G kóplikke tiyisli bolsa

U

x 0

G ,

onda x 0 noqatı G kópliktiń ishki noqatı

dep ataladı.

Mısallar.

1.

Ashıq shar

A

x Rm : (x,a)

r

dıń barlıq noqatları onıń ishki noqatı boladı. Bunı dálilleyik.

x 0

A noqatın alıp,

mına

r

x 0,a

teńlik penen anıqlanatuǵın

sanın alamız.

0 bolatuǵını

ayqın. Orayı x 0

noqatında radiusı

bolǵan

U (x 0)

x Rm :

x, x 0

51

E

x Rm : (x, x 0) r

E

E,

E

E

boladı.

6-anıqlama.

F

Rm

kópliktiń barlıq limit noqatları usı kóplikke tiyisli

bolsa, F tuyıq kóplik dep ataladı.

Bul jaǵdayda

F

F,

F

F

F

F.

Shar

E

x Rm : (x, x 0) r

tuyıq kóplik boladı,

sebebi E

E.

Qandayda bir M

Rm kópligin qarayıq. Rm \ M ayırma M kóplikti Rm

7-anıqlama. Eger x 0(x 0 Rm ) noqatınıń qálegen U

x 0 dógereginde hám

M kópliginiń, hám Rm \ M kópliginiń noqatları bolsa,

x 0 noqatı M kópliginiń

kóplik M kópliktiń shegarası

delinedi hám onı ádette (M ) dep belgileydi.

Bul túsinik járdeminde tuyıq kóplikti de anıqlaw múmkin.

8-anıqlama. Eger F (F

Rm ) kópliktiń shegarası usı kóplikke tiyisli, yaǵnıy

anıqlamalar.

Qandayda bir M

Rm kóplik berilgen bolsın.

9-anıqlama. Eger Rm keńisliginde sonday shar

U 0

x

Rm : (x, 0)

r ,

0

(0,....0, 0))

tabılıp, M

U 0

bolsa, onda

M shegaralanǵan kóplik dep ataladı.

Málim, qandayda bir E

R kópligi berilgen bolıp, sonday ózgermes

sanı

tabılıp, x

E

ushın

| x |

,

yaǵnıy

E kópliktiń

barlıq elementleri (

, )

D

x , x

,...x

m

Rm : x

1

0, x

2

0,..., x

m

0

1 2

2.

Rm keńisliginiń eki x ' hám x " noqatlarınan dúzilgen x ',x " kóplik

x ', x "

Rm baylamlı kóplik bolmaydı, sebebi bul noqatlardı tutastırıwshı sınıq

ge Rm keńisliginiń

qandayda bir

x(n)

x1(n),x2(n),...,xm(n)

Rm noqatın sáykes

qoyıwshı sáwlelendiriw bolsın:

f : N

Rm yamasa

n

x(n)

x1(n), x2(n),..., xmn .

1

x(1)

(x(1), x(1),..., x(1)),

1

2

m

2

x(2)

(x(2), x(2),..., x(2)),

1

2

m

3

x(3)

(x(3), x(3),..., x(3)),

1

2

m

n

x(n)

(x(n), x(n),..., x(n)).

1

2

m

f : N

Rm sáwlelendiriwiniń obrazlarınan dúzilgen

x(1), x(2), x(3),..., x(n),...

(1)

kóplik izbe-izlik dep ataladı hám ol

x(n)

dep belgilenedi. hár bir x(n)

(n

1, 2,...)

di izbe-izliktiń aǵzası delinedi. Demek (1) izbe-izlik aǵzaları Rm

keńisliginiń

noqatlarınan ibarat.

x(n)

izbe-izliktiń sáykes

koordinatalarınan dúzilgen

x(n)

,

x(n) ,...,

1

2

x(n)

ler sanlı izbe-izlikler bolatuǵının kórsetiw menen birge,

x(n)

izbe-izlikti

m

1.

x(n)

1

, 1

:

(1,

1),

1

, 1

,

1 ,

1

,...

n

n

2

2

3

3

2.

x(n)

1

, 0

:

(1,

0),

1

, 0

,

1

, 0

, ...

n

2

3

3.

x(n)

0,

1

:

(0,

1),

0,

1

,

0,

1

, ...

n

2

3

4.

x(n)

(

1)n

1,( 1)n 1

: (1, 1),(

1,

1),(1, 1),...

5.

x(n)

(1,

n) :

(1,

1),

(1, 2),

(1,

3), ... .

x(1), x(2), ...,

x(n), ...

(1)

izbe-izlik hám a

a

1

,a

2

,...,a

m

Rm noqat berilgen bolsın.

1-anıqlama. Eger

0 alınǵanda

da, sonday n0 N tabılıp,

barlıq

n n0 ushın

(x(n),a)

(2)

teńsizligi orınlı bolsa, a noqatı

x(n) izbe-izliginiń limiti dep ataladı hám

56

lim x(n)

a yamasa n

da x(n)

a

n

dep belgilenedi.

1-§ ta keltirilgen a

noqatınıń ε - dógeregi anıqlamasın itibarǵa alıp,

x(n)

izbe-izliktiń limitin tómendegishede anıqlasa boladı.

2-anıqlama. Eger a noqatınıń ıqtıyarlı U (a) dógeregi alınǵanda da

x(n)

tiyisli bolsa, onda a

x(n)

izbe-izliktiń limiti delinedi.

Eger (1) izbe-izlik limitke iye bolsa, ol jıynaqlı izbe-izlik dep ataladı.

Limit anıqlamasındaǵı shártti qanaatlandırıwshı a bar bolmasa,

x(n) izbe-

izligi limitke iye emes delinedi, izbe-izliktiń ózi tarqalıwshı dep ataladı.

Izbe-izliktiń limiti anıqlamasındaǵı ε

ıqtıyarlı oń san bolıp, izlenip atırǵan

n0

(n0

N ) bolsa

usı ε ge (hámde, tábiyiy

túrde, qaralıp atırǵan izbe-izlikke)

ǵárezli baylanıslı túrde tabılatuǵınına itibar beriw kerek.

Mısallar. 1. Rm keńisliginde mına

x(n)

1 ,

1

,..., 1

izbe-izliktiń limiti

n

n

n

a

(0, 0,..., 0) bolatuǵını kórsetilsin.

0 sanın alayıq. Usı ε ge sáykes keletuǵın

n0

m

1 di tabamız. Nátiyjede barlıq

n

n0

ushın

x(n),a

1 , 1 ,..., 1 ,

0, 0,..., 0

m

m

m

m

n

n

n

n

n0

1

boladı. Demek anıqlamaǵa muwapıq

lim

x(n)

lim

1 ,

1 ,...,

1

(0, 0,..., 0)

a

n

n

n n

n

boladı.

2.

Tómendegi

x(n)

1 n

1 ,(

1)n 1

:

(1,

1),

( 1,

1),

(1, 1),

( 1,

1), ...

berilgen izbe-izlik limitke iye hám ol a

(a1,a2 ) ge teń bolsın. Limit anıqlamasına

muwapıq

0, dara jaǵdayda

1 ushın sonday n0 N tabılıp, barlıq n

n0

ushın

((1, 1), a1 ,a2

,

(( 1,

1), a1 ,a2

)

boladı. Bul mına

1),(a1,a2))

((a1,a2),(1,

2 2

(( 1,

1),(1, 1))

(( 1,

1))

2

2