Добавил:

aruzhan_mn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий

Предмет:

Педагогика

Файл:

Matematikalıq analiz páninen

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2024

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Endi f (x) funkciya [											,	] de berilgen taq funkciya bolsın hám ol usı [																,	]
aralıqta integrallanıwshı bolsın. Bul jaǵdayda f (x)cos nx																								taq funkciya, al f (x)sin nx
(n 1,		2,				) bolsa			jup funkciya						boladı. (2)							–	formuladan			paydalanıp, f (x)
funkciyanıń Fure koefficientlerin tabamız:
1										1	0
1										1
an			f (x)cos nxdx									f (x)cos nxdx										f (x)cos nxdx
																					0
					1				f (x)cos nxdx									f (x)cos nxdx							0	(n	0, 1,	2,	),
									f (x)cos nxdx									f (x)cos nxdx							0	(n	0, 1,	2,	),
							0								0
				1									1		0
	bn			1				f (x)sin nxdx					1			f (x)sin nxdx								f (x)sin nxdx
	bn							f (x)sin nxdx								f (x)sin nxdx								f (x)sin nxdx
																							0
											2	f (x)sin nxdx										(n	1,	2,	3,	).
												f (x)sin nxdx										(n	1,	2,	3,	).
												0
Demek, taq f (x) funkciyanıń Fure koefficientleri
										an		0		(n					0, 1, 2,				),
								bn		2		f (x)sin nxdx									(n		1, 2, 3,			).			(7)
								bn				f (x)sin nxdx									(n		1, 2, 3,			).			(7)
											0
bolıp, Fure qatarı bolsa
										f (x)			T(f ;x)								bn sin nx
																			n	1
boladı.
Mısallar. 1. f (x)										x2 (			x						) funkciyanıń Fure qatarı jızılsın. (6) –
formulalardan paydalanıp, berilgen funkciyanıń Fure koefficientlerin tabamız:
											a0		2		2						2	2
											a0					x dx					3
															0						3
															0

a			2				x 2 cos nxdx				2 x 2 sin nx									4		x sin nxdx
a	n						x 2 cos nxdx				2 x 2 sin nx											x sin nxdx
	n												n						n
				0									n				0		n		0
				0					cos nx								0				0
				4					cos nx														n	4
								x							cos nxdx								(-1)		(n	1,	2,	)
				n				x		n		0	0		cos nxdx								(-1)	n2	(n	1,	2,	)
				n						n														n2

Demek, f (x)							x2 funkciyanıń Fure qatarı tómendegi
		2		2					n	4					2								cos 2x		cos 3x
		2							n	4													cos 2x		cos 3x
	x		~				(-1)				cos nx								4		cos x
	x		~	3			(-1)			n2	cos nx				3				4		cos x		22			32
				3				n 1		n2					3								22			32
kóriniste boladı.
2. Tómendegi
											f (x)		x		(						x		)
															41

R2, R3

taq funkciyanıń Fure qatarı jızılsın.

(7) – formulalardan paydalanıp berilgen funkciyanıń Fure koefficientlerin tabamız:

b		x sin nxdx		2		xcosnx		2	cos nxdx

n	2 0			n				0 n
									0

	2		cosn	(		n 1 2		(n	1, 2, 3,	).
		n			1)		n

Demek, f (x) x funkciyanıń Fure qatarı tómendegishe boladı:

x ~		n 1 2		sin nx	2 sin x	sin 2x	sin 3x
		(-1)	n			2	3
n	1

6-lekciya

Kóp ózgeriwshili funkciya haqqında túsinik. Rm keńisliktiń úles kóplikleri m ózgeriwshili funkciyanıń anıqlanıw oblastı sıpatında. Eki ózgeriwshili funkciyanıń grafigi. Qáddi sızıqları hám betleri túsinigi

1. keńislikler. İqtıyarlı eki A hám B kóplikleriniń Dekart kóbeymesi menen tanısqan edik (qaralsın, 1-bólim, 1-bap, 1-§). Endi A hám B kóplikler dep R

kópligin alayıq: A B R. Onda A x B	R x R	(x1,x2) : x1 R, x2 R
boladı.
Mına
x1, x2 : x1	R, x2	R

kóplik R2 kóplik dep ataladı.R2 kópliginiń elementleri juplıqlar bolatuǵını ayqın. Olar usı kópliktiń noqatları dep júrgiziledi. Ádette R2 kópliktiń noqatı bir hárip,

máselen	x , x	2	R2 noqat x arqalı belgilenedi: x	x ,x	2	.	Bunda	x	1	hám	x	2
	1	2		1	2				1			2

sanları x noqatınıń sáykes birinshi hám ekinshi koordinataları delinedi. Eger

noqatlar ushın x	1	y ,	x	2	y	2	bolsa, onda x y dep ataladı.
	1	1		2		2
Tegislikte		tuwrı	múyeshli Oxy
Dekart koordinataları sistemasın alayıq.

Ox kósherde (abscissa kósherinde) x1
ózgeriwshiniń mánisleri, Oy kósherde
(ordinata	kósherinde) bolsa			x2
ózgeriwshiniń		mánisleri	jaylasqan
bolsın.				1-sızılma

Bul jaǵdayda x1, x2			. juplıǵı,	tegislikte koordinataları x1 hám x2	bolǵan
M x1,x2	noqatın ańlatadı (1-sızılma).
Haqıyqıy sanlar kópligi R menen tuwrı sızıq noqatları arasında óz-ara bir
mánisli sáykeslik		ornatılǵanınday-aq (qaralsın, 1-bólim, 2-bap, 10-§) R2			kópligi

noqatları menen tegislik noqatları arasında da óz-ara bir mánisli sáykeslik ornatıw múmkin. Bul bolsa R2 kópliktiń geometriyalıq suwretleniwin tegislik dep qarawǵa imkaniyat beredi. Joqarıda R2 kópliktiń elementleriniń noqat dep atalıwınıń

sebebide usınnan edi. Analitikalıq geometriya kursında kórsetilgenindey, R2 kópliginde eki noqat arasındaǵı aralıq túsinigin kiritiw múmkin.

xx1,x2 R2, y y1,y2 R2 bolsın.

1-anıqlama. Mına

					y1	2	y2 x2	2
			(x,y)		y1	x1	y2 x2
shaması x	x1,x2	,y	y1,y2		noqatlar arasındaǵı aralıq dep ataladı. Kirgizilgen
(x,y) aralıq tómendegi qásiyetlerge iye (bunda							x,y,z	R2) :
10.	(x,y)	0	hám		(x,y)	0	x	y *.
20.	(x,y)	(y, x) .
30.	(x, z)	(x,y)		(y, z).

Bul qásiyetlerdiń dálilleri keyingi punktte (ulıwma jaǵdayda) keltiriledi.

Ádette R2 kóplik R2 keńislik						(eki ólshemli Evklid keńisligi) dep ataladı.
Endi R2 keńisliginiń keleshekte tez-tez ushırasıp turatuǵın bazıbir áhmiyetli
kópliklerin keltiremiz.
R2 keńisliginiń	а	а , а		noqatın hám oń						r sanın alayıq.
		1	2
Tómendegi
	x , x	2		R2	:	x	1	а	2	x	2	а		2	r2	(1)
	1	2					1	1			2		2
	x , x	2		R2	:	x	1	а	2	x	2	a	2	2	r 2	(2)
	1	2					1	1			2		2
kóplikleri sáykes dóńgelek hám ashıq dóńgelek dep ataladı. Bunda a																noqatı
dóńgelektiń orayı, r	bolsa dóńgelek radiusı delinedi.
							43

2-sızılma					3-sızılma
Mına
x , x	2	R2 : x	1	а 2	x	2	а	2	r2
1	2		1	1		2	2

kópligi sheńber delinedi.

Bul sheńber (1) hám (2) dóńgelekleriniń shegarası boladı. Bunda a noqat sheńber orayı hám r bolsa sheńber radiusı delinedi. (qálegen kópliktiń shegarası anıqlamasın keyinirek keltiremiz).

(1) kópliginiń geometriyalıq súwretleniwi 2-sızılmada kórsetilgen.

(1)kópliginde (dóńgelekte) dóńgelektiń shegarası usı kóplikke tiyisli boladı,

(2)kópliginde bolsa (ashıq dóńgelekte) dóńgelektiń shegarası (2) kópligine tiyisli bolmaydı.

Ashıq dóńgelek hám bul dóńgelektiń shegarasınıń bazıbir noqatlarınan ibarat bolǵan kópliklerdi dúzipte qaraw múmkin. Máselen 3-sızılmada ashıq dóńgelek hám onıń shegarasınıń joqarı yarım tegislikte jaylasqan noqatlarınan ibarat kóplik keltirilgen.

Aralıq anıqlamasınan paydalanıp, dóńgelek hám ashıq dóńgeleklerdi sáykes tómendegi

x R2 : (x, а) r , (1 )						x R2 : (x, а)					r	(2 )
kóplikler depte qaraw múmkin.
a ,b,c,d- haqıyqıy sanlar hám а				b,		c	d	bolsın. Tómendegi
x , x	2	R2	: а	x	1	b,	c	x	2	d	,	(3)
1	2				1				2
x , x	2	R2	: а	x	1	b,	c	x	2	d		(4)
1	2				1				2

kóplikler, sáykes túrde tuwrı tórtmúyeshlik hám ashıq tuwrı tórtmúyeshlik dep ataladı. Bul (3) kóplik 4 - sızılmada Oxy tegisligindegi shtrixlanǵan bólek sıpatında suwretlengen.

4-sızılma

5-sızılma

Mına	a		b	,	c d	R2 noqat (3) hám (4) tuwrı tórtmúyeshliktiń orayı
		2
			2

delinedi.

R2 keńisliginiń mına

x ,x	2	R2 : x	1	0, x	2	0, x	1	x	2	h	(5)
1	2		1		2		1		2

noqatlarınan ibarat kóplik (eki ólshemli) simpleks dep ataladı, bunda h- oń san. Simpleks (simplex) latınsha sóz bolıp, ol ápiwayı degendi bildiredi. (5) kópliktiń geometriyalıq súwretleniwi 5 - sızılmada keltirilgen.

Endi R3 keńislik túsinigi menen tanısamız. R3 keńisligide joqarıdaǵı R2

keńisligindey bolıp anıqlanadı. Eki kópliktiń

Dekart

kóbeymesine uqsas ıqtıyarlı

úsh

A, B, C

kópliktiń Dekart

kóbeymesi

túsinigi

kiritiledi.

Dara

jaǵdayda

R bolǵanda

A B C R R R

x1,x2,x3

R, x2

R, x3

boladı. Mına

x1,x2,x3 : x1

R;x2

R;x3

kóplik

kóplik dep ataladı.

kópliktiń elementi

x ,x

úshlik usı

kópliktiń noqatı delinedi hám ol ádette bir hárip,

máselen, x arqalı belgilendi: х

x1,x2,x3 . Bunda

x1, x2 hám x3

sanlar x noqatınıń sáykes birinshi,

ekinshi hám úshinshi koordinataları delinedi.

6-sızılma

Keńislikte

tuwrı

múyeshli

Oxyz

Dekart

koordinataları sistemasın alayıq.

Ox kósherinde x1 ózgeriwshisiniń mánisleri, Oy kósherde x2

ózgeriwshisiniń

mánisleri hám Oz kósherde x3

ózgeriwshiniń

mánisleri

jaylasqan

bolsın. Bul

jaǵdayda

x1,x2,x3 úshligi keńislikte

koordinataları x1, x2

hám x3

bolǵan M

noqatın ańlatadı (6-sızılma).

kóplikte ıqtıyarlı

x ,x

y ,y ,y

noqatların alayıq.

Mına

(x,y)

shama x hám y noqatları arasındaǵı aralıq dep ataladı. Bunday qılıp anıqlanǵan

aralıq tómendegi qásiyetlerge iye (bunda

x,y, z

R3) :

(x,y)

hám (x,y)

(x,y)

(y, x)

Eger

x1,x2,x3

hám

y1,y2,y3

noqatlar

ushın

y ,

y ,x

bolsa, onda

x=y

dep ataladi.

Joqarıda keltirilgen dep ataladı.

(x, z)

(x,y)

(y, z).

Bul qásiyetlerdiń dálilleri 2-punktte (ulıwma jaǵdayda) keltiriledi.

R3 kóplik R3 keńislik (úsh ólshemli Evklid keńisligi)

	Endi R3 keńisliginiń áhmiyetli													kópliklerin						keltiremiz.				R3 keńisliginiń
а	а1, а2, а3	noqatın hám r								oń sanın alayıq. Tómendegi
	x , x				2	, x		3	R3 :	x	1		а	2		x	2		а	2	x	3	а	2	r2	,	(6)
		1			2			3			1		1				2		2			3	3
	x , x				2	, x		3	R3 :	x	1		а	2		x	2		а	2	x	3	а	2	r2	,	(7)
		1			2			3			1		1				2		2			3	3
kóplikler sáykes shar hám ashıq shar dep ataladı. Bunda																					a noqatı shardıń orayı,
r bolsa shardıń radiusı delinedi.
	Mına
	x , x		2	, x			3		R3 : x	1		а	2		x	2		а	2	x	3		а	2	r 2
	1		2				3			1		1				2		2			3		3
kópligi sfera delinedi. Bul sfera (6), (7) sharlarınıń shegarası boladı																									a noqatı sfera
orayı, r bolsa sfera radiusı delinedi.
	Joqarıda keltirilgen (6) kópliktiń geometriyalıq súwretleniwi 7-sızılmada
keltirilgen.
	Demek, (6) kóplikte (sharda) shar shegarası usı kóplikke tiyisli boladı, (7)
kópliginde bolsa (ashıq sharda) shar shegarası (7) kópligine tiyisli bolmaydi.

R3 keńisligindegi aralıq túsiniginen paydalanıp, shar hám ashıq sharlardı sáykes túrde mına

x R3 : (x, а) r (6 ') x R3 : (x, а) r (7')

kóplikler sıpatındada anıqlaw múmkin. Mına

(x1, x2, x3 )	R3 : а x1	b,	c	x2	d,	x3	s ,
(x1, x2, x3 )	R3 : а x1	b,	c	x2	d,	x3	s

kóplikler (bunda а,b,c,d, ,s - haqıyqıy sanlar) sáykes túrde parallelepiped hám de ashıq parallelepiped dep ataladı. Joqarıda keltirilgen parallelepiped 8 - sızılmada keltirilgen.

		7-sızılma								8-sızılma
Mına
(x , x	2	, x	3	) R3	: x	1	0, x	2	0, x	3	0, x	1	x	2	x	3	h
1	2		3			1		2		3		1		2		3
									46

kóplik (úsh ólshemli) simpleks delinedi, bunda h>0 - ózgermes san. Bul kóplik 9- sızılmada kórsetilgen.

2. Rm keńisligi. m sandaǵı

A , A ,..., A

kóplikleriniń Dekart kóbeymesi eki A hám

kóplikleriniń

Dekart

kóbeymesine

uqsas

anıqlanadı.

Eger

...

R. bolsa, onda

A ...

R ...

(x ,x

,...,x

R, x

R, ..., x

boladı. Mına

(x1,x2,..., xm ) : x1

...,

kóplik Rm

kóplik dep ataladı. Rm

kópliktiń

x ,x

,..., x

elementi usı kóplik

noqatı delinedi hám ol ádette bir hárip benen belgilenedi: x

x1,x2,...,xm . Bunda

x1, x2,..., xm

sanları x noqatınıń

sáykes túrde

birinshi,

ekinshi,

…,

m -

koordinataları delinedi.

kóplikte

ıqtıyarlı

x ,x

,...,x

y ,y ,...,y

noqatların

alayıq. Mına

(x,y)

...

(8)

i 1

shama x hám y noqatlar arasındaǵı aralıq dep ataladı. Bunday anıqlanǵan aralıq

tómendegi qásiyetlerge iye (bunda

x,y, z,

Rm ) :

10.

(x,y)

hám

(x,y)

20.

(x,y)

(y, x)

30.

(x, z)

(x,y)

(y, z)

Bul qásiyetlerdi dálilleyik. (8) qatnasınan

(x,y) shamasınıń bárqulla teris

emesligin

kóremiz.

Eger

(x,y)

bolsa,

onda

...,

0 bolıp,

y1, x2

y2,

..., ,

ym ,

yaǵnıy

boladı.

Kerisinshe

yaǵnıy

x ,

y ,

...,

bolsa, onda jánede (8) nan

(x,y)

0 bolatuǵını

kelip shıǵadı. Bul demek 1˚ - qásiyetti dálilleydi.

(8) qatnasınan

(x,y)

...

(y, x)

boladı.

Aralıqtıń

3˚- qásiyeti mına

Eger

x1,x2,x3

hám

y1,y2,y3

noqatlar

ushin

y ,

bolsa, onda

x=y

dep ataladi.

m	b 2	m	m
а	b 2	а2	b2	(9)
i	i	i	i
i 1		i 1	i 1
teńsizligine tiykarlanıp dálillenedi, bunda		а1, а2,..., аm ;	b1,b2,...,bm	ıqtıyarlı
haqıyqıy sanlar. Dáslep usı teńsizliktiń orınlı ekenligin kórseteyik. x				R ushın

аix bi 2 0

i 1

ekeni ayqın. Bunnan x ke qarata kvadrat úsh aǵzalınıń teris emesligi

m		m	m
a2	x 2	2 a b x	b2	0
i		i i	i
i 1		i 1	i 1

kelip shıǵadı. Demek, bul kvadrat úsh aǵzalı hár qıylı eki haqıyqıy túbirlerge iye bolmaydı. Sonlıqtan onıń diskriminantı

m	m	m	2

а2

а b

i i

i 1

bolıwı kerek. Bunnan bolsa

а b

а2

i 1

bolıp,

а2

2 а b

а2

i 1

boladı. Keyingi teńsizlikten

а2

(9)

i 1

bolatuǵını kelip shıǵadı. Ádette (9) teńsizlik

Koshi - Bunyakovskiy teńsizligi dep

ataladı.

İqtıyarlı

x , x

,..., x

Rm ,

y ,y

,..., y

Rm ,

z , z

,..., z

noqatların alıp, olar arasındaǵı aralıqtı (8) formulasınan

paydalanıp

tabamız:

(x,y)

(y, z)

(x,z)

(10)

i 1

Endi Koshi-Bunyakovskiy teńsizligi

(9)

аi

xi ,

1, 2, 3, ...,m )

dep alsaq ,onda

аi

3, ... ,m)

bolıp

i 1

boladı. Joqarıdaǵı

(10) qatnaslardı itibarǵa alıp, tabamız:

(x, z)

(x,y)

(y, z).

Bul 3˚-qásiyetti dálilleydi. Ádette 3˚-qásiyet penen kórsetiletuǵın teńsizlik úshmúyeshlik teńsizligi (úshmúyeshliktiń bir tárepiniń uzınlıǵı qalǵan eki tárepiniń

uzınlıqlarınıń qosındısınan úlken emesligin itibarǵa alıp) dep júrgiziledi.

Rm kóplik

Rm keńislik (m ólshemli Evklid keńisligi) dep ataladı. Endi Rm

keńisliginiń bazıbir áhmiyetli kópliklerin keltiremiz.

Qandayda

bir

a ,a

,...,a

noqat hám

sanın

alayıq.

Tómendegi

,x ,...,x

Rm :

a 2

.....

r 2

(11)

, x

,..., x

Rm : x

a 2

2 ..

r 2

(12)

yaǵnıy

Rm : (x,a)

(11')

Rm : (x,a)

(12')

kóplikler sáykes túrde shar hám ashıq shar dep ataladı. Bunda a

noqat shardıń

orayı, r

bolsa shar radiusı delinedi.

Mına

x , x

,....x

Rm : x

a 2

2 ...

r 2

1 2

yaǵnıy

Rm :

(x,a)

kóplik sfera dep ataladı. Bul sfera (11) hám (12) kóplikleriniń shegarası boladı. Mına

x , x

,..., x

Rm : a

b ,

b , ..., a

b ,

1 2

x , x

,..., x

Rm : a

b ,

b , ..., a

b ,

1 2

kóplikler

(bunda

a1,a2, ..., am ;

b1,b2, ...,bm

haqıyqıy

sanlar)

sáykes

túrde

parallelepiped

hám ashıq parallelepiped

dep ataladı.

Mına

x , x

,..., x

Rm : x

0, x

...,

... x

kóplik

(m- ólshemli) simpleks dep ataladı,

bunda h-oń san.

Joqarıda

keltirilgen kóplikler tez-tez ushırasıp turadı. Olar járdeminde áhmiyetli túsinikler, solardan biri dógerek túsinigi anıqlanadı.

Rm keńisliginiń ıqtıyarlı eki x, y x Rm ,y Rm ushın 1°-3° shártlerin qanaatlandırıwshı

funkciyalardı kóplep tabıw múmkin, yaǵnıy x, y noqatları arasındaǵı «aralıq» túsinigin hárqıylı kiritiw múmkin (bul

haqqında 14-bap, 1-§ ke qarań)

keńisliginde

ashıq

hám

tuyıq

kóplikler. Qandayda

bir

x 0

, x 0,..., x 0

noqatın hám

0 sanın alayıq.

2 anıqlama.

Orayı x 0

noqatında, radiusı

ge teń bolǵan ashıq shar

x 0

noqatınıń sferalıq dógeregi (

dógeregi) delinedi hám U (x 0 ) dep belgilenedi

x 0

x Rm : x,x 0

(13)

Noqattıń basqasha dógeregi túsiniginde kiritiw múmkin.

3 anıqlama. Mına

(x , x

,..., x

)

Rm : x 0

x 0

,...,

1 2

xm0

m }

(14)

ashıq parallelepiped x 0 noqatınıń parallelepipedial dógeregi dep ataladı hám U

1, 2,..., m (x 0) dep belgilenedi.

Dara jaǵdayda 1

2 ...

bolsa, (14) ashıq parallelepipied kubqa

(x 0) dep belgileymiz.

aylanadı hám onı U

Solay etip,

Rm keńisliginde noqattıń eki túrli dógeregine anıqlama berildi.

1-lemma. x 0

R noqatınıń qálegen U (x 0 )

sferaliq dógeregi alınǵanda da

x 0

1, 2..., m (x 0)

bárqulla

noqatınıń sonday U

parallelepipedial dógeregi bar bolıp,

bunda

m (x 0)

U (x 0)

1, 2,...,

boladı.

x 0

1, 2,..., m (x 0) parallelepipedial

Sonday-aq,

noqatınıń

qálegen U

dógeregi

alınǵanda da bárqulla usı noqattıń sonday U

x 0

sferalıq dógeregi bar boladı,

bunda

x 0

1, 2,..., m

boladı.

Dálil. x0

Rm noqatınıń sferalıq dógeregi

U (x 0)

x Rm : (x, x 0)

berilgen bolsın. Bundaǵı

0 sanı ushın

teńsizligin qanaatlandırıwshı

sanın alamız. Solay etip x 0

noqatınıń mına

(x 0)

x , x

,..., x

: x 0

...,

x 0

parallelepipedial dógeregin dúzemiz.

(x 0) bolsın. Onda

x 0

2, 3,

...,m) bolıp,

(xi

xi0)2

boladı. Joqarıdaǵı

teńsizligin itibarǵa alıp tabamız:

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 225 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Педагогика

#
11.08.20241.61 Mб5Didaktika__ped.pdf
#
11.08.2024725.76 Кб0Háreketli oyınlar arqalı dene tárbiyası sabaǵın.pdf
#
11.08.20243.54 Mб2Jeńil atletika hám onı oqıtıw metodikası.pdf
#
24.07.20241.24 Mб8Jumanazar Bazarbaev Ruwxıyatımız marjanları_2008.docx
#
12.08.2024832.88 Кб2Logopediya OMK.pdf
#
11.08.20249.98 Mб3Matematikalıq analiz páninen.pdf
#
11.08.20241.47 Mб9Matematikalıq túsiniklerdi qáliplestiriw.pdf
#
23.07.2024658.41 Кб10Mektepke_shekemgi_bilimlendiriw_shókemlerinde_erteklerdi_saxnalastırıw__.pdf
#
28.09.20241.31 Mб2Muzıka sawatı.doc
#
12.08.2024419.02 Кб6Oqıtıwshınıń sóylew mádeniyatı.pdf
#
11.08.20241.11 Mб2Pedagogikadan ámeliy jumıslar.pdf