Добавил:

aruzhan_mn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий

Предмет:

Педагогика

Файл:

Matematikalıq analiz páninen

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2024

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

		lim Sn (x)	f (x)		x	-r, r
	n
boladı. Bunnan bolsa	x	( r,r) ushın
	lim f (x)		Sn (x)		lim rn (x)		0
	n				n
bolatuǵını kelip shıǵadı.
Jetkilikligi.	x	(-r,r)	de	lim rn (x)		0	bolsın. Ol jaǵdayda
				n
lim f (x) Sn (x)	0 bolıp, onnan bolsa
n
		lim Sn (x)			f (x)
		n

bolatuǵını kelip shıǵadı. Bul bolsa (2) qatar jıynaqlı bolıp, onıń qosındısı f(x) ke teń bolatuǵının, yaǵnıy

f (x) f (0)	f '(0)	x	f "(0)	x2 ...	f (n)(0)	xn ...	(*)
	1!		2!
					n !

ekenligin bildiredi. Teorema dálillendi.

Adette (*) qatnas orınlı bolsa, f(x) funkciya Teylor qatarına jayılǵan dep ataladı.

2-teorema. Eger f(x) funkciya ( r,r) (r 0) aralıqta dárejeli qatarǵa jayılǵan bolsa:

f (x) a	0	a x	a x 2	... a	n	x n ...	(4)
	0	1	2		n

bul qatar f(x) funkciyanıń Teylor qatarı boladı.

Dálil. 1-teorema hám onıń saldarına muwapıq (4) dárejeli qatar (-r,r) aralıqta qálegen márte (aǵzalap) differenciallanıwshı boladı;

		f '(x)	1	a		2		a	2	x		3a x 2			...			n a			n		xn 1			...,
				1					2				3								n
		f "(x)	1	2	a	2		2		3a x ...					n (n				1)a			n		xn 2		...,
						2				3												n
		f "'(x)		1	2	3a		3		...		n(n			1)(n			2)a		n	xn 3					...,
								3												n

				f (n)(x)				1		2	3....(n				1)n a		n			...,
																	n
				… … … … … … … … … … …
boladı. Keyingi teńliklerde x								0 dep tómendegilerdi tabamız:
a		f (0), a	f '(0)		,	a				f "(0)		,	a			f "'(0)			, ...,						a		f	(n)(0)	, ...
a	0	f (0), a			,	a	2					,	a	3					, ...,						a	n			, ...
	0	1	1!				2			2!				3	3!											n		n !
			1!							2!					3!													n !

Nátiyjede (4) qatardıń kórinisi tómendegishe boladı:

f (x) f (0)	f '(0)	x
	1!

Bul bolsa teoremanı dálilleydi.

Mısal. Mına

	1
	e
f (x)	e	x2	,
f (x)
	0,

funkciyanı qarayıq. Bul funkciya (

f "(0)	x2 ...	f (n)(0)	xn ...
2!
		n !

eger x 0 bolsa, eger x 0 bolsa

,) de barlıq tártiptegi tuwındılarǵa iye:

a) x

0 bolǵanda

f '(x)

x2 ,

x 3

f "(x)

x 2 ,

x 4

x 6

f (n)(x)

e x 2 ,

bunda P(u) – u diń racional funkciyası. Bul

f (n)(x)

e x 2

1,2,...).

qatnastıń tuwrılıǵı matematikalıq indukciya metodı járdeminde kórsetiledi.

b) x

0 bolsın. Berilgen funkciya x

0 noqatta barlıq tártiptegi tuwındılarǵa iye

bolıp, olar nolge teń boladı:

f (n)(0)

1,2,...).

Haqıyqattanda,

f (x)

f (0)

1 e

f '(0)

lim

x 2

f '(0)

x 0

f '(x)

f '(0)

f "(0)

lim

f '(x)

lim

f "(0) 0.

x x 3

x 0

x 0 x

x 0

f (n 1)(x)

f (n

1)(0)

f (n)(0) lim

lim

Ulıwma jaǵdayda, f (n)(0)

1,2,...) bolıwın matematikalıq

induksiya metodı járdeminde kórsetiw múmkin.

Demek, berilgen funkciyanıń x

0 noqattaǵı barlıq

tártiptegi tuwındıları

nolge teń eken. Bul funksiyanıń x

0 noqattaǵı Teylor qatarı

x 2 ...

xn ...

n !

bolıp, onıń qosındısı 0 ge teń.

Keltirilgen mısaldan kórinedi, bazıbir aralıqta qálegen tártiptegi tuwındılarǵa iye bolǵan ayırım funksiyalardıń Teylor qatarı usı aralıqta qaralıp atırǵan funkciyaǵa

jıynalmawıda múmkin eken.
Tómende funksiyanıń	Teylor			qatarına jayılıwınıń	jetkilikli shártin
anıqlaytuǵın teoremanı keltiremiz.
3-teorema. f(x) funkciya bazıbir (-r,r) aralıqta qálegen tártiptegi tuwındıǵa iye
bolsın. Eger sonday ózgermes M 0 sanı tabılıp, barlıq x (					r,r) hámde barlıq
n 0, 1 ,2,... ushın		f (n)(x)		M
n 0, 1 ,2,... ushın		f (n)(x)		M
			32

teńsizlik orınlansa, onda (-r,r) aralıqta f(x) funkciya Teylor qatarına jayıladı, yaǵnıy

f (x)

f (n)(0)

f (0)

f '(0)

f "(0)

x 2 ...

(4)

n !

2 !

Dálil. f(x) funkciya ushın Teylor formulası

f (x) f (0)

f '(0)

f "(0)

...

f (n)(0)

r (x)

n !

ti jazıp, onıń Lagranj kórinisindegi qaldıq aǵzası

r (x)

f (n)( x)

1)!

di alayıq. Ol jaǵdayda

(x)

f (n)( x)

(-r,r))

1)!

boladı. Eger

lim

1)!

bolıwın itibarǵa alsaq, onda

lim rn (x)

(-r,r)

ekenligin anıqlaymız. Bul bolsa (4) qatnastıń orınlı bolıwın bildiredi. Teorema dálillendi.

1˚. f (x)

ex funkciyanıń

Teylor

qatarı. Belgili, f (x)

funksiyanıń

(ıqtıyarlı shekli [

a,a],

0) aralıqtaǵı Teylor formulası

...

r (x)

n !

bolıp, onıń qaldıq aǵzası bolsa Lagranj kórinisinde tómendegishe boladı:

r (x)

xn 1

e x

1)!

(qarań, 1-bólim, 6-bap, 7-§). Hár bir x

[ a,a] (a

0) da e x

ea bolıwın itibarǵa

alsaq, onda

r (x)

1)!

ekenligi kelip shıǵadı hám n

ke ol nolge umtıladı.

Demek, ıqtıyarlı shekli x ta

x 2

...

n !

boladı.

2˚. f (x)

sin x

funkciyanıń Teylor qatarı. Belgili

f (x)

sin x

funkciyanıń

(ıqtıyarlı shekli [

a,a]

0) aralıqtaǵı Teylor formulası.

sin x	x	x 3	x 5	... ( 1)n	1		x2n	1	r	(x)
sin x	x			... ( 1)n					r	(x)
		3!	5!			(2n		1)!	2n
		3!	5!			(2n		1)!

boladı. Bul formula qaldıq aǵzasınıń Lagranj kórinisinen paydalanıp (qaralsın, 1-

bólim, 6-bap, 7-§)

[ a,a]

0) ushın

r2n

(x)

a2n 1

bolıwın tabamız. Onnan

(2n

1)!

lim r2n (x)

bolıwı kelip shıǵadı. Demek,

x ushın

sin x

(

1)n

x 2n 1

x 3

x 5

...

( 1)n

x 2n 1

...

(2n 1)!

3 !

5 !

(2n

1)!

boladı.

3˚. f (x)

cos x

funkciyanıń Teylor qatarı. Bul funkciyanıń Teylor formulası

cos x

x 4

x 6

x2n

(x)

...

( 1)

4 !

(2n)!

qaldıq aǵzasınıń Lagranj kórinisinen paydalanıp (qaralsın, 1-bólim, 6-bap, 7-§)

x [ a,a]

0) ushın

r2n (x)

a2n

bolıwın tabamız. Onnan

(2n

2)!

lim r2n (x)

bolıwı kelip shıǵadı. Demek,

x ushın

cos x

n x 2n

x 2

( 1)

....

( 1)

...

n 0

(2n)!

2 !

(2n)!

4˚. f (x)

funkciyanıń

Teylor

qatarı.

Belgili bul funksiyanıń

Teylor formulası tómendegishe boladı:

ln(1

x 3

x 4

...

(

1 xn

r (x)

Bul formulada x

[0,1] de rn (x)

qaldıq aǵzanı Lagranj kórinisinde tómendegishe

jazıp

rn (x)

(

1)n x n 1

1)(1

x)n

onıń ushın

rn (x)

(5)

bolıwın, x

[ a, 0]

rn (x)

bolǵanda

bolsa

qaldıq aǵzanı Koshi

kórinisinde tómendegishe jazıp

r (x)	n	x	n	1	(1	1)n
	( 1)								0	1	1 ,
	( 1)								0		1 ,
n				(1		x)n	1
				(1		x)n	1
						1
onıń ushın
				rn (x)			an	1
							an	1
							1	a
bolıwın kórgen edik (1-bólim, 6-bap, 7-§).							1	a
bolıwın kórgen edik (1-bólim, 6-bap, 7-§).
(5) hám (6) qatnaslardan	lim rn (x)				0 bolıwın tabamız. Demek,							x ( 1,1] de
	n
ln(1 x)		n 1 xn				x	x 2	x 3	...	(	n 1 xn		...	(7)
ln(1 x)	( 1)			n		x	2	3	...	(	1)	n	...	(7)
n	1			n			2	3				n
n	1
boladı.
Sonı atap kórsetiw lazım,				ln	(1	x)	funksiya (			1,	)	aralıqta berilgen

bolsa da bul funkciyanıń Teylor qatarı –(3) qatnas (-1,+1] intervalda orınlı.

5˚. f (x)

(1 x)

funkciyanıń

Teylor

qatarı.

Bul

funkciyanıń Teylor

formulası

(

x 2

...

(

1)...(

x n

r (x)

n !

bolıp (qaralsın,

1-bólim,

6-bap, 7-§),

onıń

qaldıq aǵzası

Koshi

kórinisinde

tómendegishe boladı:

r (x)

(

1)...(

n 1(1

)n xn

1 (0

1).

n !

Onı mına

(

1)(

2)... (

(x)

xn x(1

n !

kórinisinde jazıp alamız.

Eger

bolǵanda:

birinshiden

lim

(

1)(

2)... (

1) xn

0, sebebi bul jıynaqlı

n !

(

1)...(

n 1)

n 1

n !

qatardıń ulıwma aǵzası (bul qatardıń jıynaqlılıǵı Dalamber belgisi boyınsha kórsetiledi), ekinshiden,

x 1

1 ,

hám eń

sońında,

úshinshiden

bolǵanlıǵınan

lim rn (x)

1 de

0 bolıwı kelip shıǵadı. Demek,

(

1)...(

x n ...

x 2 ...

n !

boladı.

5-lekciya

Fure koefficentleri hám Fure qatarı. Funkciyanı Fure qatarına jayıw máselesi.Dirixle teoreması (dálillewsiz). Periodlı, jup hám taq funkciyalar ushın Fure qatarı

Biz usı

un (x) u1(x) u2(x)

un (x)

n 1

funkcional qatarın keń úyrendik. Endi hár bir aǵzası

un (x) an cos nx bn sin nx (n 0, 1, 2,

)

garmonikadan ibarat tómendegi

a0	(an cos nx bn sin nx)	(1)
n	1

dara funkcional qatarın qarayıq.

Ádette (1) – qatar trigonometriyalıq qatar dep ataladı.

a0, a1, b1, a2, b2, sanlar bolsa trigonometriyalıq qatardıń koefficientleri delinedi.

f (x)

Solay etip, trigonometriyalıq qatar funkcional qatar bolsa da (onıń hár bir

aǵzası

belgili

funkciyalar

bolǵanlıǵı

ushın)

óz

koefficientleri

, a , b ,

b ,

, a

, b ,

ler menen tolıq anıqlanadı.

1 1

(1) – trigonometriyalıq qatardıń dara qosındısı

Tn (x)

(ak cos kx

bk sin kx)

k 1

trigonometriyalıq kópaǵzalı dep ataladı.

Fure qatarınıń anıqlaması. f (x) funkciya [

, ]

de berilgen hám usı

aralıqta integrallanıwshı bolsın. Onda

f (x)cos nx ,

f (x)sin nx (n

)

funkciyalar da, eki integrallanıwshı funkciyalar kóbeymesi sıpatında (qaralsın, 1 –


bólim, 9 – bap, 7 - §) [	, ]		de integrallanıwshı boladı. Bul funkciyalardıń
integralların esaplap, olardı tómendegishe belgileyik:
		a0	1	f (x)dx ,
		a0		f (x)dx ,
an	1	f (x)cos nxdx			(n	1, 2,	)	(2)
an		f (x)cos nxdx			(n	1, 2,	)	(2)
1		f (x)sin nxdx (n			1,	2,
bn		f (x)sin nxdx (n			1,	2,	)

Bul sanlardan paydalanıp, tómendegi

									T(f ;		x)	a0
									T(f ;		x)		2	n
													2

trigonometriyalıq qatarın dúzemiz.
			1 – anıqlama.		a	0	,		a , b , a			, b ,
						0			1	1	2	2
anıqlanǵan (3) – trigonometriyalıq qatar
a	0	,	a , b , a	, b ,	, a			n	, b ,				sanları
	0		1 1 2	2				n	n

(an cos nx bn sin nx)

(3)

koefficientleri (2) – formulalar menen funkciyanıń Fure qatarı dep ataladı. bolsa funkciyanıń Fure

koefficientleri delinedi.

Demek, berilgen funkciyanıń Fure qatarı sonday trigonometriyalıq qatar bolıp, onıń koefficientleri usı funkciyaǵa baylanıslı bolıp, (2) – formulalar menen anıqlanadı. Usı sebepli (3) – qatardı (onıń jıynaqlı yamasa taralıwshı bolıwınan qatań túrde) tómendegi « » belgisi menen tómendegishe jazıladı:

f (x) ~ T(f ; x)	a0			(an cos nx bn sin nx) ,
		2	n
				1

Mısal. Tómendegi

f (x) e x (

0 )

funkciyanıń Fure qatarı dúzilsin.

(2) – formuladan paydalanıp, bul funkciyanıń Fure koefficientlerin tabamız:

e xdx

)

sh .

e x

cos nxdx

cos nx

n sin nx

e x

n 1

(

1, 2,

)

sin nx

n cos nx

e x sin nxdx

e x

1 1

(

)

(qarań, 1- bólim, 8 – bap, 2 - §).

Demek, berilgen funkciyanıń Fure qatarı

e x

cos nx

sin nx)

2sh

(

1)n

(

cos nx

n sin nx)

boladı.

Meyli, bazıbir

(an cos nx

bn sin nx)

(3)

trigonometriyalıq (funkcional) qatar [

] de jıynaqlı bolsın. Onıń qosındısın f (x)

dep belgileyik:

(an cos nx

bn sin nx)

f (x).

(4)

Bunnan tısqarı, (4) – ni hámde

onı

cos kx

hám

sin kx

(k 1,

)

lerge

kóbeytiwden payda bolǵan

cos kx

cos nx

cos kx

sin nx

cos kx)

f (x)

cos kx

(5)

n 1

sin kx

cos nx

sin kx

sin nx

sin kx)

f (x)

sin kx (k

)

qatarlardı [

] de aǵzama – aǵza integrallaw múmkin bolsın. (4) hám (5) ların

[ , ] de integrallaymız:

f (x)dx

(an cos nx

bn sin nx)

cos nxdx

sin nxdx

f (x) cos kxdx

cos kx

cos nx

cos kx

sin nx

cos kx)

cos kxdx

cos nx

cos kxdx

sin nx

cos kxdx

f (x) sin kxdx

sin kx

cos nx

sin kx

sin nx

sin kx)

sin kxdx

cos nx

sin kxdx

sin nx

sin kxdx .

Eger n k da

sin nx

sin kxdx

[cos(n

k)x

cos(n

k)x ]dx

sin(n

k)x

sin(n

k)x

hám

sin2 nxdx

cos 2nx)dx

sonday-aq,

cos nx cos kxdx

k ),

cos2 nxdx

0 ,

cos nx

sin kxdx

(n,

)

bolıwın itibarǵa alsaq, onda

f (x)dx

a0 ,

f (x)cos kxdx

f (x)sin kxdx

ekenligin tabamız. Bul teńliklerden bolsa

		1
		a0	f (x)dx ,
		1
		ak	f (x) cos kxdx	(2)
bk	1	f (x) sin kxdx	(k 1, 2, 3,	)
bk		f (x) sin kxdx	(k 1, 2, 3,	)

kelip shıǵadı.

Demek, f (x) funkciya trigonometriyalıq qatarǵa jayılǵan bolsa hám bul qatar

ushın joqarıda aytılǵan shártler orınlı bolsa, onda bul trigonometriyalıq qatardıń koefficientleri f (x) funkciya arqalı (2) – formulalar menen ańlatıladı, yaǵnıy f (x)

tıń Fure koefficientleri boladı. Sonıń menen birge, qatardıń ózi f (x) tıń Fure qatarı

boladı.

Jup hám taq funkciyalardıń Fure qatarları birqansha ápiwayı kóriniske iye

boladı. Biz tómende olardı keltiremiz.
f (x) funkciya [	, ] de berilgen jup funkciya bolsın. Ol usı [		,	] aralıqta
integrallanıwshı bolsın.	Bizge belgili, bul jaǵdayda f (x)cos nx	jup	funkciya, al
f (x)sin nx (n 1, 2,	) bolsa taq funkciya boladı hám	olar	[	, ] de

integrallanıwshı boladı.

(2) – formuladan paydalanıp, f (x) funkciyanıń Fure koefficientlerin tabamız:

	1				1	0
an	1	f (x)cos nxdx			1	f (x)cos nxdx				f (x)cos nxdx
an		f (x)cos nxdx				f (x)cos nxdx				f (x)cos nxdx
										0
				2	f (x)cos nxdx				(n	0, 1,	2,	),
					f (x)cos nxdx				(n	0, 1,	2,	),
					0
1				1	0
1				1
bn	f (x)sin nxdx				f (x)sin nxdx				f (x)sin nxdx
									0
	1		f (x)sin nxdx			f (x)sin nxdx				0	(n	1, 2, 3,	).
			f (x)sin nxdx			f (x)sin nxdx				0	(n	1, 2, 3,	).
		0				0
Demek, jup f (x) funkciyanıń Fure koefficientleri
		an	2	f (x)cos nxdx				(n	0, 1,	2,	),
		an		f (x)cos nxdx				(n	0, 1,	2,	),
				0
				bn	0	(n		1,	2, 3,	).			(6)
bolıp, Fure qatarı bolsa
			f (x) ~ T(f ;x)			a0			an cos nx
			f (x) ~ T(f ;x)				2	n	an cos nx
							2		1
									1

boladı.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 224 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Педагогика

#
11.08.20241.61 Mб5Didaktika__ped.pdf
#
11.08.2024725.76 Кб0Háreketli oyınlar arqalı dene tárbiyası sabaǵın.pdf
#
11.08.20243.54 Mб2Jeńil atletika hám onı oqıtıw metodikası.pdf
#
24.07.20241.24 Mб8Jumanazar Bazarbaev Ruwxıyatımız marjanları_2008.docx
#
12.08.2024832.88 Кб2Logopediya OMK.pdf
#
11.08.20249.98 Mб3Matematikalıq analiz páninen.pdf
#
11.08.20241.47 Mб9Matematikalıq túsiniklerdi qáliplestiriw.pdf
#
23.07.2024658.41 Кб10Mektepke_shekemgi_bilimlendiriw_shókemlerinde_erteklerdi_saxnalastırıw__.pdf
#
28.09.20241.31 Mб2Muzıka sawatı.doc
#
12.08.2024419.02 Кб6Oqıtıwshınıń sóylew mádeniyatı.pdf
#
11.08.20241.11 Mб2Pedagogikadan ámeliy jumıslar.pdf