Matematikalıq analiz páninen
.pdf
19.2-eskertiw. Joqarıdaǵı tastıyıqlawdıń dáliyilinen kórinedi, AB iymek sızıq ápiwayı iymek sızıqlar kópliginen ıqtıyarlı alınǵanda orınlı.
3) Eger mına
P(x, y)dx Q(x, y)dy AB (D) (19.37)
AB
integral A hám B noqatlardı birlestiriwshi iymek sızıqqa ǵárezli bolmasa, yaǵnıy integral integrallaw jolına ǵárezli bolmasa, ol jaǵdayda
P(x,y)dx Q(x,y)dy
ańlatpa (D) oblastta berilgen bazıbir funkciyanıń tolıq differencialı boladı.
Dálil. Solay etip, (19.37) integrallaw jolına ǵárezli emes eken, ol jaǵdayda integral A(x0,y0 ) hám B(x1,y1) noqatlar menen bir mánisli anıqlanadı. Sonıń ushın bul jaǵdayda (19.27) integral tómendegishe jazıladı:
(x1,y1)
P(x,y)dx Q(x,y)dy .
(x0,y0 )
Endi A noqattı tayınlap, B noqat sıpatında (D) oblasttıń ıqtıyarlı (x,y) noqatın alıp, mına
(x,y)
P(x,y)dx Q(x,y)dy
(x0,y0 )
integraldı qaraymız. Ayqın, bul integral (x,y) ke ǵárezli boladı:
|
(x,y) |
F(x,y) |
P(x,y)dx Q(x,y)dy |
|
(x0,y0 ) |
Bul funkciyanıń dara tuwındıların |
esaplaymız. (x,y) noqattıń x koordinatasına |
|
sonday |
x ósim bereyik, (x |
x,y) noqatlardı birlestiriwshi tuwrı sızıq |
kesindiside (D) oblastqa tiyisli bolsın. Nátiyjede F(x,y) funkciyada dara ósimge iye boladı.
|
(x |
x,y) |
(x,y) |
F(x |
x,y) F(x,y) |
P(x,y)dx Q(x,y)dy |
P(x,y)dx Q(x,y)dy |
|
(x0,y0 ) |
(x0,y0 ) |
|
|
|
211 |
|
(x x,y) |
(x x,y) |
P(x,y)dx Q(x,y)dy |
P(x,y)dx |
(x,y) |
(x,y) |
Orta mánis haqqındaǵı teoremadan paydalanıp tómendegini tabamız:
(x x,y)
P(x,y)dx P(x |
x,y) x (0 |
1) . |
(x,y)
Nátiyjede
F(x |
x,y) F(x,y) |
P(x |
x,y) |
|
|
|
|
||
|
x |
|||
|
|
|
||
boladı. Bunnan
lim |
F(x |
x,y) F(x,y) |
lim |
P(x |
x,y) P(x,y) |
|
|
|
|
||||
|
x |
|||||
x 0 |
|
x |
0 |
|
||
boladı. Demek,
F(x,y) |
P(x,y) |
||
|
|
||
x |
|||
|
|||
Dál usıǵan uqsas
F(x,y) |
Q(x,y) |
||
|
|
||
y |
|||
|
|||
bolıwı kórsetiledi. Sonday qılıp,
P(x,y)dx Q(x,y)dy |
F(x,y) |
dx |
F(x,y) |
dy dF(x,y) |
|
|
|||
|
x |
y |
||
boladı.
4) Eger
P(x,y)dx Q(x,y)dy
ańlatpa (D) oblastta berilgen bazıbir funkciyanıń tolıq differencialı bolsa, ol jaǵdayda
P(x,y) Q(x,y)
y x
212
boladı.
Dáliyilli. Aytayıq, (19.35) ańlatpa (D) oblastta berilgen F(x,y) funkciyanıń tolıq differencialı bolsın:
P(x,y)dx Q(x,y)dy dF(x,y)
Ayqın,
|
|
P(x,y) |
|
|
F(x,y) |
, |
|
|
Q(x,y) |
F(x,y) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Keyingi teńliklerden mınanı tabamız: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
P(x,y) |
|
|
2F(x,y) |
, |
Q(x,y) |
2F(x,y) |
||||||||||
|
|
y |
|
|
|
x |
y |
|
x |
|
|
y x |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Shártke muwapıq |
P(x,y) |
, |
Q(x,y) |
ler (D) oblastta úzliksiz . Aralas tuwındılardıń |
||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|||||||||||||
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
teńligi haqqındaǵı teoremaǵa muwapıq (qaralsın, 13-bap, 6-§)
P(x,y) Q(x,y)
y x
boladı.
Sonday qılıp, Grin formulasınan paydalanǵan jaǵdayda, joqarıdaǵı 1) – 4) tastıyıqlawlar arasında
1) 2) 3) 4) 1)
qatnas barlıǵı kórsetildi.
213
ÁDEBIYATLAR
1.Azlarov. T., Mansurov. X., Matematik analiz. T.: «O’zbekiston». 1 t: 1994 y.-416
b.
2.Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X.,Shoimqulov B. Matematik analizdan maruzalar. I T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. – 374 b.
3.Toshmetov Ó., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematik analiz, I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -408 b.
4.Sa’dullaev A. va boshq. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. I qism. T.,«O’zbekiston». 2000 y.-400b.
5.Turgunbaev R.M. Matematikalıq analiz. I tom. T.: “Abumatbuot-konsalt”, 2014.- 344b.
6.В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов. Математический анализ. 1-ч.М. 1985.
7.Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag. Italia, Milan. 2008.-435p.
8.Gaziyev A., Israilov I., Yaxshibayev M. “Matematik analizdan misol va masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.
9.Toshmetov Oʻ, Turgunbayev R. Matematik analizdan misol va masalalar toʻplami. 1-q. TDPU. 2006 y.-140 b.
10.Turgunbayev R.M., Koshnazarov R.A., Raximov I.K. Matematik analiz.
Mustaqil ta’lim uchun metodik koʻrsatmalar. I semestr. T.: TDPU. 2013 y. – 56 b.
Internet saytları
1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
2.http://www.allmath.ru/
214