Matematikalıq analiz páninen

Добавил:

aruzhan_mn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий

Предмет:

Педагогика

Файл:

1) Eger (D) oblastta

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2024

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

(19.1) qosındınıń limitiniń bul anıqlamaları ekvivalent anıqlamalar.

19.3-anıqlama. Eger	p	0 da	qosındı shekli limitke iye bolsa, ol
	p

jaǵdayda f (x,y) funkciya АВ iymek sızıq boyınsha integrallanıwshı delinedi. Bul limit f (x,y) funkciyanıń iymek sızıq boyınsha birinshi túr iymek sızıqlı integralı dep ataladı hám ol

f (x,y)dS

kibi belgilenedi.

Sonday qılıp, kiritilgen iymek sızıqlı integral túsiniginiń ózinsheligi qaralıp

atırǵan eki argumentli funkciyanıń beriliw oblastı tegisliktegi bazıbir АВ iymek sızıq ekenligi. Qalǵan basqa pikirlewler (bóliniwlerdiń alınıwı, bóleklerden ıqtıyarlı noqat tańlap integral qosındı dúziw, tiyisli limitke ótiw) joqarıda kiritilgen integral túsiniklerindey.

2. Úzliksiz funkciyanıń birinshi túr iymek sızıqlı integralı. Endi birinshi túr iymek sızıqlı integraldıń bar bolıwın támiyinleytuǵın shártti tabıw menen shuǵıllanamız. Joqarıda keltirilgen 19.3-anıqlamadan kórinedi, birinshi túr iymek

sızıqlı integral АВ iymek sızıqqa hámde onda berilgen f (x,y) funkciyaǵa ǵárezli boladı. Demek, integraldıń bar bolıwı shártin АВ iymek sızıq hámde f (x,y) funkciyaǵa qoyılatuǵın shártler arqalı tabıw kerek boladı.

Meyli, АВ iymek sızıq mına

x	x(s)	(0 s	S)
y	y(s)

sistema menen berilgen bolsın. Bunda s

AQ doǵasınıń uzınlıǵı (Q (x,y)

), S bolsa

АВ nıń uzınlıǵı. f (x,y) funkciya usı

АВ iymek sızıqta berilgen bolsın.

Demek, x

x(s), y

y(s)

S) eken, onda f (x,y) f (x(s),y(s))

bolıp,

nátiyjede mına

f (x(s), y(s))

F(s) (o

s S)

quramalı funkciyaǵa iye bolamız.

АВ iymek sızıqtıń P

A ,A ,

, A

bóliniwin hám hár bir A A

k k

ıqtıyarlı Qk

( k , k )

noqat alayıq. Hár bir Ak noqatqa sáykes keletuǵın AAk nıń

201

uzınlıǵı S

, hár bir Q

noqatqa sáykes keletuǵın

nıń uzınlıǵı

S *

diyik. Ayqın

AkAk 1 diń uzınlıǵı Sk

1 Sk

boladı.

Nátiyjede P bóliniwge qarata dúzilgen

n-1

f ( k ,

k )

qosındı mına

n-1

f (

)

f (x(S *),y(S *))

F(S *)

k 0

kóriniske keledi. Demek,

n-1

F(S *)

(19.5)

k 0

Bul qosındını [0,S] aralıqtaǵı F(S) funkciyanıń integral qosındısı (Riman qosındısı) ekenligin bayqaw qıyın emes (qaralsın, 1-bólim, 9-bap, 1-§).

Eger f (x,y) funkciya АВ iymek sızıqta úzliksiz bolsa, ol jaǵdayda F(s) funkciya [0,S] de úzliksiz boladı. Demek, bul jaǵdayda F(s) funkciya [0,S] da integrallanıwshı

		n-1					S
lim				F(s* )		s		F(s)ds		(19.6)
	0				k	k
p	0	k	0			0
p		k	0			0
Sonday qılıp, (19.5), (19.6) qatnaslardan								p	0 da qosındınıń limiti bar
								p
bolıwı hám
						S
				lim		F(s)ds
				p	0	0
				p

ekenligin tabamız. Nátiyjede tómendegi teoremaǵa kelemiz.

19.1-teorema. Eger f (x,y) funkciya АВ iymek sızıqta										úzliksiz bolsa, ol

jaǵdayda bul funkciyanıń АВ iymek						sızıq boyınsha birinshi				túr iymek sızıqlı
integralı bar boladı hám

202

		S
	f (x,y)ds	f (x(s),y(s))ds
		0
AB		0

boladı.

Bul teorema, bir tamannan úzliksiz funkciya birinshi túr iymek sızıqlı integralınıń barlıǵın anıqlap berse, ekinshi tamannan bul integraldıń anıq integralǵa (Riman integralına) keliwin kórsetedi.

19.1-eskertiw. Iymek sızıqlı integral túsinigi menen Riman integralı túsinigin salıstırıp, olardıń ekewide qosındınıń limitisıpatında anıqlanıwın kórdik. Sonıń menen birge bul túsiniklerdiń parqlı tamanıda bar. Mına


	n-1
	f (	k , k ) Sk			(19.5)
	k 0

qosındıdaǵı Sk bárqulla oń bolıp, AB iymek sızıqtıń baǵıtına					ǵárezli emes.
Demek,
	f (x,y)ds			f (x,y)ds

AB			BA

3. Birinshi túr iymek sızıqlı integrallardıń qásiyetleri. Joqarıda kórdik, úzliksiz funkciyalardıń birinshi túr iymek sızıqlı integralları Riman integrallarına keledi. Solay eken, iymek sızıqlı integrallarda Riman integralları qásiyetleri kibi qásiyetlerge iye boladı. Sonı itibarǵa alıp, iymek sızıqlı integrallardıń tiykarǵı qásiyetlerin sanap ótiw menen sheklenemiz.

(19.4) sistema menen anıqlanǵan АВ iymek sızıqta f (x,y) funkciya berilgen hám úzliksiz.

1˚. Eger АВ АС СВ bolsa, ol jaǵdayda

			f (x,y)ds			f (x,y)ds		f (x, y)ds

	AB			AС			СB
2˚. Mına
		сf (x,y)ds		с f (x,y)ds			(c const)

AB					AB
teńlik orınlı.

203

АВ iymek sızıqta f (x,y) funkciya menen g(x,y) funkciyada berilgen hám ol úzliksiz bolsın.

3˚. Tómendegi

f (x,y)

g(x,y) ds

f (x,y)ds

g(x,y)ds

formula orınlı boladı.

4˚. Eger

(x,y)

AB da f (x,y)

0 bolsa, ol jaǵdayda

f (x,y)ds 0

boladı.

5˚.

f (x,y)

funkciya usı АВ da integrallanıwshı hám

f (x,y)ds

f (x,y)

boladı.

6˚. Sonday (с1, с2 )

AB noqat tabılıp,

f (x,y)ds

f (c1,c2) S

boladı, bunda S -

АВ nıń uzınlıǵı.

Bul 6˚- qásiyet orta mánis haqqındaǵı teorema dep ataladı.

19-lekciya

Grin formulası. Iymek sızıqlı integral járdeminde maydanlardı esaplaw. Iymek sızıqlı integraldıń integrallaw jolına ǵárezsizlik shárti. Tolıq differenciallıq shárti. Funkciyanı onıń tolıq differencialı boyınsha tiklew

Belgili, N’yuton-Leybnic formulası f (x) funkciyanıń [a,b] aralıq boyınsha alınǵan anıq integralın usı funkciya dáslepki funkciyasınıń aralıq shetlerindegi (shegaraları) mánisleri arqalı anıqlar edi.

204

Bazıbir (D) oblastta (D) R2 berilgen f (x) úzliksiz funkciyanıń eki eseli

f (x,y)dxdy

(D)

integralın tiyisli funkciyanıń usı oblast shegarasındaǵı mánisleri arqalı (anıǵıraǵı, oblast’ shegarası boyınsha alınǵan iymek sızıqlı integral arqalı) anıqlaytuǵın formulada bar. Tómende bul formulanı keltiremiz.

	1. Grin formulası. Joqarıdan y			2(x)	(a x	b) funkciya		grafigi,
qaptal		táreplerinen	x=a, x=b	vertikal	sızıqlar	hámde	tómennen
y	1(x)	(a x	b) funkciya grafigi menen		shegaralanǵan oblast		–	iymek

sızıqlı trapeciyanı qarayıq. Bul oblasttı (D) menen, onıń shegarası – tuyıq sızıqtı

(D) menen belgileyik (26-sızılma).

Ayqın, AB

2(x) funkciya grafigi, EC

1(x) funkciya grafigi hámde

(D)

EC CB

BA AE .

R(x,u) funkciya

usı (D) oblastta

berilgen hám úzliksiz bolıp,

P(x,y)

dara

tuwındıǵa iye hám olda (D) da úzliksiz bolsın. Ol jaǵdayda mına

P(x,y)dxdy y

(D)

integral bar boladı hám 18-baptıń 6-§ indegi formulaǵa muwapıq

P(x,y)dxdy y

(D)

b 2(x )

a 1(x )

P(x,y)dy dx
y	26-sızılma
	26-sızılma

boladı. Endi

2(x )

1(x )

P(x,y)	dy P(x,y)	y	2	(x )	P x,	2(x)	P x, 1(x)

y		y	1(x )

bolıwın itibarǵa alıp tómendegini tabamız:

205

P(x,y)dxdy y

(D)

b b

P x, 2(x) dx	P x, 1(x ) dx
a	a

Usı baptıń 2-§ indegi formula (19.20) boyınsha

b b

P x, 2(x) dx

P(x,y)dx,

P x, 1(x) dx

P(x,y)dx

boladı. Demek,

P(x,y)

dxdy

P(x,y)dx

(D)

Ayqın,

P(x,y)dx 0,

P(x, y)dx 0

Bul teńliklerdi esapqa alıp tómendegini tabamız:

P(x,y)

dxdy

P(x,y)dx

P(x, y)dx

(D)

P(x,y)dx

P(x,y)dx.

(D)

Demek,

P(x,y)

dxdy

P(x,y)dx.

(19.23)

(D)

Endi,

joqarıdan u=s, tómennen u=d

sızıqlar,

qaptal

tárepten bolsa

1(y),

2(y) funkciyalar grafikleri menen shegaralanǵan oblast – iymek

sızıqlı trapeciyanı qarayıq. Bul oblasttı (D) menen, onıń shegarası – tuyıq sızıqtı

(D) menen belgileyik	(27-sızılma).
Q(x,y) funkciya	usı (D) oblastta berilgen, úzliksiz bolıp,	Q(x,y)	dara
		x

tuwındıǵa iye hám bul tuwındı (D) da úzliksiz bolsın. Ol jaǵdayda

206

	Q(x,y)	dxdy	Q(x,y)dy	(19.24)

(D)	x		(D)

boladı.

Bul formulanıń durıslıǵı joqarıdaǵıday pikirlewler júrgiziw menen dáliyillenedi.

Endi R2 keńisliginde qaralatuǵın (D)
oblast joqarıdaǵı eki jaǵdayda qaralǵan
oblasttıń hár biriniń xarakterine iye bolǵan
oblast	bolsın, (D)			bolsa onıń shegarası
bolsın.	Bul (D) oblastta eki P(x,y) hám
Q(x,y)	funkciyalar berilgen, úzliksiz bolıp,					27-sızılma
olar
		P(x,y)	,		Q(x,y)
		y			x

dara tuwındılarǵa iye hámde bul tuwındılarda (D) da úzliksiz bolsın. Ayqın, bul jaǵdayda (19.23) hám (19.24) formulalar orınlı boladı. Olardı aǵzalap qosıp mınanı tabamız:

	P(x,y)dx Q(x,y)dy		Q(x,y)

(D)		(D)	x
			x

P(x,y)	dxdy	(19.25)
y

Bul Grin formulası dep ataladı.

Demek, Grin formulası oblast boyınsha alınǵan eki eseli integraldı usı oblast shegarası boyınsha alınǵan iymek sızıqlı integral menen baylanıstıratuǵın formula eken.

Biz joqarıda Grin formulasın ayrıqsha kórinistegi (D) oblastlar (iymek sızıqlı trapeciyalar) ushın keltirdik. Tiykarında bul formula ádewir keń klasstaǵı oblastlar ushın da tuwrı bolıp, bul fakt oblastlardı shekli sandaǵı iymek sızıqlı trapeciyalar qosındısı sıpatında súwretlew menen dáliyllenedi.

Grin formulasınıń bazıbir qollanılıwları

1º. Figuranıń maydanın tabıw. Grin formulasınan paydalanıp tegis figuranıń maydanı ápiwayı funkciyalardıń iymek sızıqlı integralları járdeminde esaplanıwın

207

kórsetiw qıyın emes. Haqıyqattanda, (19.25) formulada P(x,y)							y , Q(x,y) 0
delinse, ol jaǵdayda
	(	y) dx		dxdy	0
(D)			(D)
boladı. Demek,
		D	y dx
			(D)
Eger (19.25) formulada P(x,y)		0 , Q(x,y)		x delinse, ol jaǵdayda
D		x dy					(19.26)
		(D)
boladı.
(19.25) formulada P(x,y)		1 y	, Q(x, y)		1 x	dep alınsa,	(D) oblasttıń
		2			2
maydanı
D	1	x dy	ydx				(19.27)
D	2	x dy	ydx				(19.27)
	2	(D)
boladı.
Mısal. Mına
x	a cost		(0	t	2 )
y	b sin t		(0	t	2 )
y	b sin t

ellips penen shegaralanǵan figuranıń maydanı tabılsın. (19.27) formulaǵa muwapıq

D	1	x dy ydx		1	2	b sin t a sin t)dt
D	2	x dy ydx		2	(a cos t b cos t	b sin t a sin t)dt
	2	(D)		2	0
		1 ab	2
		1 ab		(cos2 t sin2 t)dt		ab
		2	0
			0

boladı.

Iymek sızıqlı integraldıń integrallaw jolına ǵárezli bolmawı.

208

Shegaralanǵan tuyıq baylamlı (D) (D) R2 oblastta eki P(x,y) hám Q(x,y)

funkciyalar berilgen bolsın. Bul funkciyalar (D) oblastta úzliksiz hám	P(x,y)	,
	y

Q(x,y) dara tuwındılarǵa iye hám bul tuwındılarda usı oblastta úzliksiz bolsın. x

bolsa, ol jaǵdayda (D) oblastqa tiyisli bolǵan hár qanday K tuyıq sızıq boyınsha alınǵan mına

P(x,y)dx Q(x,y)dy

integral nolge teń boladı:

P(x,y)dx Q(x,y)dy 0

Dálil. K tuyıq sızıq shegaralaǵan oblasttı (G) deyik. Ayqın (G) (D) Grin formulasına muwapıq

P(x,y)dx Q(x,y)dy

Q(x,y)

P(x,y)

dxdy

(G )

boladı. Shártke muwapıq (D) da, demek (G) da

P(x,y)

Q(x,y)

Ol jaǵdayda (19.36) qatnastan

Q(x,y)

P(x,y)

dxdy

(G )

boladı. Demek,

P(x,y)dx Q(x,y)dy 0

209

2)Eger (D) oblastqa tiyisli bolǵan hár qanday K tuyıq sızıq boyınsha alınǵan mına integral

P(x,y)dx Q(x,y)dy 0

bolsa, ol jaǵdayda tómendegi

	P(x,y)dx Q(x,y)dy	AB (D)	(19.37)

AB

integral A hám B noqatlardı birlestiriwshi iymek sızıqqa ǵárezli bolmaydı, yaǵnıy (19.37) integral mánisi integrallaw jolına ǵárezli bolmaydı.

Dálil. (D) oblasttıń A hám B noqatların birlestiriwshi hám usı oblastqa tiyisli bolǵan ıqtıyarlı eki AaB hámde AbB iymek sızıqtı alayıq. Bul jaǵdayda AaB hám AbB iymek sızıqlar birgelikte (D)oblastqa tiyisli bolǵan tuyıq sızıqtı dúzedi. Onı

K menen belgileyik.

	K	AaBbA
Shártke muwapıq
P(x,y)dx Q(x,y)dy		P(x,y)dx Q(x,y)dy 0
K		AaBbA
boladı. Integraldıń qásiyetinen paydalanıp mınanı tabamız:
P(x,y)dx Q(x,y)dy	P(x,y)dx Q(x,y)dy			P(x,y)dx Q(x,y)dy
AaBbA	AaB			BbA
	P(x,y)dx Q(x,y)dy			P(x,y)dx Q(x,y)dy
AaB			AbB
Demek,
P(x,y)dx Q(x,y)dy			P(x,y)dx Q(x,y)dy 0
AaB		AbB
Bunnan bolsa
	P(x, y)dx Q(x, y)dy			P(x,y)dx Q(x,y)dy
AaB			AbB

ekenligi kelip shıǵadı.

210

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 / 2221 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Педагогика

#
11.08.20241.61 Mб5Didaktika__ped.pdf
#
11.08.2024725.76 Кб0Háreketli oyınlar arqalı dene tárbiyası sabaǵın.pdf
#
11.08.20243.54 Mб2Jeńil atletika hám onı oqıtıw metodikası.pdf
#
24.07.20241.24 Mб8Jumanazar Bazarbaev Ruwxıyatımız marjanları_2008.docx
#
12.08.2024832.88 Кб2Logopediya OMK.pdf
#
11.08.20249.98 Mб3Matematikalıq analiz páninen.pdf
#
11.08.20241.47 Mб9Matematikalıq túsiniklerdi qáliplestiriw.pdf
#
23.07.2024658.41 Кб10Mektepke_shekemgi_bilimlendiriw_shókemlerinde_erteklerdi_saxnalastırıw__.pdf
#
28.09.20241.31 Mб2Muzıka sawatı.doc
#
12.08.2024419.02 Кб6Oqıtıwshınıń sóylew mádeniyatı.pdf
#
11.08.20241.11 Mб2Pedagogikadan ámeliy jumıslar.pdf