Matematikalıq analiz páninen
.pdf
Tk |
1 |
|
Dk |
|
|
||
cos |
|
||
|
k |
||
bolıwın tabamız. Demek,
n |
|
n |
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
D |
|
1 f '2 |
k |
, |
k |
f '2 |
k |
, |
k |
D |
(18.38) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
k |
k 1 cos k |
k |
|
x |
|
y |
|
k |
|
|||||
k 1 |
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Teńliktiń oń jaǵındaǵı qosındı
1 f '2x (x,y) f 'y2(x,y)
funkciyanıń integral qosındısı (qarań, 1-§). Bul funkciya (D) oblastta úzliksiz, demek, integrallanıwshı.
Sonıń ushın
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
1 f'2 |
k |
, |
k |
f '2 |
k |
, |
k |
D |
|
1 f '2 |
(x,y) |
f '2 |
(x,y)dD |
|||
|
0 |
|
|
x |
|
y |
|
|
k |
|
x |
|
y |
|
|
||||
p |
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(D) |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
boladı.
Sonday qılıp. (18.37) hám (18.38) qatnaslardan
S |
1 f '2 |
(x,y) |
f '2 |
(x,y)dD |
(18.39) |
|
x |
|
y |
|
|
(D)
bolıwı kelip shıǵadı.
Mısal. Ultanınıń radiusı r, biyikligi h bolǵan dóńgelek konustıń qaptal beti tabılsın.
Bunday konus betiniń teńlemesi
|
h |
|
|
|
z |
x 2 |
y2 |
||
r |
||||
|
|
|
boladı. Joqarıdaǵı (18.39) formulaǵa muwapıq
S |
1 z '2 |
z '2 |
dxdy |
|
x |
y |
|
|
(D) |
|
|
boladı, bunda
(x,y) R2 : x2 y2 r2 .
191
Endi
|
|
|
z ' |
|
h |
|
|
x |
|
|
|
, |
|
z' |
|
h |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
r |
x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
x2 y2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
hám |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
h2 |
y2 |
|
|
|
|
|
|
h2 |
|||||
1 |
|
z '2 |
|
z '2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
r2 |
|
|
x2 |
y2 r2 |
x2 |
y2 |
|
|
r2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ekenligin itibarǵa alıp, tómendegini tabamız: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
S |
1 |
dxdy |
|
|
1 |
|
dxdy |
1 |
|
|
r 2 |
r r 2 h2 . |
||||||||||||||||||||
r |
2 |
|
|
r |
2 |
|
|
|
|
|
r 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
16-lekciya
Úsh eseli integral túsinigi. U’sh eseli integraldıń qásiyetleri. Úsh eseli integraldı esaplaw. Úsh eseli integralda ózgeriwshilerdi almastırıw. Tsilindrlik hám sferalıq koordinatalarda úsh eseli integral. Úsh eseli integrallardıń qollanılıwları
Joqarıda Riman integralı túsiniginiń eki ózgeriwshili funkciya ushın qanday kiritiliwin kórdik hám onı keń úyrendik. Dál soǵan uqsas bul túsinik úsh ózgeriwshili funkciya ushın da kiritiledi. Onı úyreniwde Riman integralı hámde eki eseli integralda júrgizilgen barlıq pikirlewler (integrallaw oblastınıń bóliniwin alıw, bóleklerde ıqtıyarlı noqat tańlap alıw, integral qosındı dúziw, tiyisli limitke ótiw hám basqalar) qaytarıladı. Sonı itibarǵa alıp, tómende úsh eseli integral haqqındaǵı faktlerdi keltiriw menen shegaralanamız.
1. Úsh eseli integral anıqlaması. f(x,y,z) funkciya R3 keńislikegi shegaralanǵan (V) oblastta berilgen bolsın. (Bul jerde hám keleshekte barlıq waqıt funkciyanıń beriliwi oblastı (V) nı kólemge iye bolǵan dep qaraymız). (V) oblasttıń
P bóliniwin hám bul bóliniwdiń hár bir |
Vk |
(k 1,2,...,n) bóleginde ıqtıyarlı |
k , k , k noqattı alayıq. Soń tómendegi |
|
|
192
n
f k , k , k Vk
k 1
qosındını dúzemiz, bunda Vk |
Vk |
nıń kólemi. |
|
|
|
||
Bul qosındı f (x,y, z) |
funkciyanıń integral qosındısı yaki Riman qosındısı |
||||||
dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
Endi (V) oblasttıń sonday |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P , |
P ,..., |
P ,... |
(18.40) |
|
|
|
|
1 |
2 |
m |
|
bóliniwlerin qaraymız, olardıń diametrlerinen dúzilgen |
|
|
|||||
|
|
P |
, P |
,..., P ,... |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
m |
|
|
|
izbe-izlik nol’ge umtılsın: |
P |
0. Bunday Pm |
(m |
1, 2,..) bóliniwlerge qarata |
|||
|
m |
|
|
|
|
|
|
f(x,y,z) funkciyanıń integral qosındısın dúzemiz:
n
f k , k , k Vk
k 1
Nátiyjede tómendegi
1, 2,..., m,...
izbe-izlik hasıl boladı. Bul izbe-izlik hár bir aǵzası k , k , k noqatlarǵa ǵárezli.
18.9-anıqlama. Eger (V) nıń hár qanday (18.40) bóliniwler izbe-izligi Pm
alınǵanda da, oǵan sáykes integral qosındınıń mánislerinen ibarat |
m |
izbe-izlik |
|
|
k , k , k noqatlardı tańlap alınıwına ǵárezli bolmaǵan jaǵdayda hámme waqıt bir I sanǵa umtılsa, bul I san qosındınıń limiti dep ataladı hám ol
|
|
|
|
|
n |
|
|
lim |
lim |
|
f k , k , |
k Vk |
I |
||
p |
0 |
p |
0 |
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
kibi belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
18.10-anıqlama. Eger |
p |
|
0 |
da f(x,y,z) |
funkciyanıń integral qosındısı |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
shekli limitke iye bolsa, f(x,y,z) funkciya (V) da integrallanıwshı (Riman
mánisinde integrallanıwshı) funkciya delinedi. Bul |
qosındınıń shekli limiti I |
193 |
|
bolsa f(x,y,z) funkciyanıń (V) boyınsha úsh eseli integralı (Riman integralı) delinedi hám ol
f (x,y, z) dV
(V )
kibi belgilenedi. Demek,
|
|
|
|
|
|
n |
f (x,y, z)dV |
lim |
lim |
|
f k , k , k Vk |
||
(V ) |
p |
0 |
p |
0 |
k |
1 |
|
|
|||||
f(x,y,z) funkciya (V) da |
V |
R3 |
berilgen bolıp, ol usı oblastta shegaralanǵan |
||
bolsın: |
|
|
|
|
|
m |
f (x,y,z) M |
(x,y,z) |
(V) . |
||
(V) oblasttıń bóliniwleri |
kópligi |
P |
nıń hár bir |
bóliniwine qarata f(x,y,z) |
|
funkciyasınıń Darbu qosındıları |
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
n |
sp (f ) |
|
mkVk , |
|
Sp(f ) |
MkVk |
|
k |
1 |
|
k |
1 |
nı dúzip, mına |
|
|
|
|
|
|
|
sp (f ) ; |
Sp (f ) |
|
|
kópliklerdi qarayıq. Ayqın, bul kóplikler shegaralanǵan boladı.
18.11-anıqlama. sp (f ) kópliktiń anıq joqarı shegarası f(x,y,z) funkciyanıń tómengi úsh eseli integralı dep ataladı hám ol
I f (x,y, z)dV
(V )
kibi belgilenedi.
18.12-anıqlama. Eger f(x,y,z) funkciyanıń tómengi hámde joqarı úsh eseli integralları bir-birine teń bolsa, ol jaǵdayda f(x,y,z) funkciya (V) da integrallanıwshı dep ataladı hám olardıń ulıwma mánisi
I |
|
|
f (x,y,z)dV |
f (x,y,z)dV |
|
|
|
|
(V ) |
|
(V ) |
|||
f(x,y,z) funkciyanıń úsh eseli integralı (Riman integralı) delinedi .
194
Demek,
f (x,y, z)dV |
|
|
f (x,y,z)dV |
f (x,y,z)dV |
(V ) |
|
|
|
(V ) |
(V ) |
||||
2. Úsh eseli integrallardıń bar bolıwı. f (x,y,z) funkciya (V ) V |
R3 |
oblastta berilgen bolsın.
18.10-teorema. f(x,y,z) funkciya (V) oblastta integrallanıwshı bolıwı ushın 0 alınǵanda da sonday 0 tabılıp, (V) oblasttıń diametri P bolǵan hár
qanday P bóliniwine qarata Darbu qosındıları
SP (f ) sp(f )
teńsizlikti qanaatlandırıwı zárúr hám jeterli.
3. Integrallanıwshı funkciyalar klassı. :sh eseli integraldıń barlıǵı haqqındaǵı teoremadan paydalanıp, málim klass funkciyalarınıń integrallanıwshı bolıwı kórsetiledi.
18.11-teorema. Eger f(x,y,z) funkciya shegaralanǵan tuyıq (V ) V R3
oblastta berilgen hám úzliksiz bolsa, ol usı oblastta integrallanıwshı boladı.
18.12-teorema. Eger f(x,y,z) funkciya (V) oblastta shegaralanǵan hám bul oblasttıń shekli sandaǵı nol’ kólemli betlerinde úziliske iye bolıp, qalǵan barlıq noqatlarında úzliksiz bolsa, funkciya (V) da integrallanıwshı boladı.
4. Úsh eseli integraldıń qásiyetleri. Úsh eseli integrallarda usı bapttıń 5-§ inde keltirilgen eki eseli integraldıń qásiyetleri kibi qásiyetlerge iye.
1˚. f(x,y,z) funkciya (V) oblastta berilgen bolıp, (V) oblast’ nol’ kólemli (S) bet
penen V1 |
hám V2 oblastlarǵa ajıratılǵan bolsın. |
Funkciya |
V1 |
hám |
V2 |
oblastlarda |
da integrallanıwshı bolsa, funkciya V1 |
hám V2 |
oblastlarda da |
||
integrallanıwshı boladı, hám kerisinshe, yaǵnıy f(x,y,z) funkciya |
V1 |
hám |
V2 |
||
oblastlardıń hár birinde integrallanıwshı bolsa, funkciya (V) da da integrallanıwshı boladı. Bunda
f (x,y, z)dV |
f (x,y, z)dV |
f (x,y, z)dV |
V |
V1 |
V2 |
boladı.
195
2˚. Eger |
f(x,y,z) funkciya (V) da |
|
integrallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda |
c f (x,y, z) (c |
const) funkciyada usı oblastta integrallanıwshı hám mına |
||
|
c f (x,y, z)dV |
c |
f (x,y, z)dV |
|
(V ) |
|
(V ) |
formula orınlı boladı.
3˚. Eger f(x,y,z) hám g(x,y,z) funkciyalar (V) da integrallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda f (x,y, z) g(x,y, z) funkciyası usı oblastta integrallanıwshı hám mına
f (x,y, z) g(x,y, z) dV |
f (x,y, z)dV |
g(x,y, z)dV |
(V ) |
(V ) |
(V ) |
formula orınlı boladı.
4˚. Eger f(x,y,z) funkciya (V) da integrallanıwshı bolıp, (x,y, z) (V ) ushın 0 bolsa, ol jaǵdayda
f (x,y, z)dV 0
(V )
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5˚. Eger f(x,y,z) funkciya (V) da integrallanıwshı |
bolsa, ol jaǵdayda |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x,y,z) |
funkciyada usı oblastta integrallanıwshı hám |
|
|||||
|
|
|
|
f (x,y, z)dV |
|
f(x,y,z) |
|
dV |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
(V ) |
|
(V) |
|
|
|
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6˚. Eger f(x,y,z) |
funkciya (V) da integrallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda sonday |
||||||
ózgermes |
(m |
M ) san bar bolıp, |
|
|
|
|||
|
|
|
|
f (x,y, z) dV |
V |
|
||
|
|
|
|
(V ) |
|
|
|
|
boladı, bunda V - (V) oblasttıń kólemi.
7˚. Eger f(x,y,z) funkciya tuyıq (V) oblastta úzliksiz bolsa, ol jaǵdayda bul
oblastta sonday (a,b,c) |
(V ) noqat tabıladı, |
|
|
f (x,y, z)dV |
f (a,b,c) V |
|
(V ) |
|
|
196 |
|
Mına
x |
(u, |
, |
), |
y |
(u, |
, |
), |
z |
(u, |
, |
), |
sistema ( |
) |
R3 |
oblasttı |
(V) |
oblastqa |
sáwlelendirsin hám bul |
||||||||
sáwlelendiriw 7-§ de keltirilgen 1º-3º shártlerin orınlasın. Ol jaǵdayda |
||||||||||||||
f |
x,y, z dv |
|
f |
u,v,w , |
u,v,w , |
u,v,w | I | dudvdw |
||||||||
(V ) |
|
( |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
boladı, bunda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
x |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|||
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
|
|
|||
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z |
|
z |
|
z |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
v |
|
w |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. Úsh eseli integraldıń bazıbir qollanılıwları.
Úsh eseli integral járdeminde R3 keńisliktegi deneniń kólemin, deneniń massasın, inerciya momentlerin tabıw múmkin.
17-lekciya
Doǵa uzınlıǵı boyınsha alınǵan iymek sızıqlı integralǵa alıp kelinetuǵın máseleler. Doǵa uzınlıǵı boyınsha alınǵan iymek sızıqlı integral, onıń
qásiyetleri. Doǵa uzınlıǵı boyınsha alınǵan iymek sızılı integraldı esaplaw.
Joqarıdaǵı bapta Riman integralı túsinigin eki ózgeriwshili funkciya ushın qanday kiritiliwin kórdik hám onı úyrendik. Sonnı da aytıw kerek, kóp ózgeriwshili funkciyalar ushın integral túsinigi hár túrli kiritiliwi múmkin. Biz tómende keltiretuǵın iymek sızıqlı integrallarda konkret ámeliy máselelerden payda bolǵan.
Birinshi túr iymek sızıqlı integrallar
198
1. Birinshi túr iymek sızıqlı integral anıqlaması. Tegislikte bazıbir ápiwayı
|
|
) R2, B |
(b ,b ) R2 ) iymek sızıqtan (doǵanı) alayıq. Bul |
||
АВ (A (a ,a |
|||||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
iymek sızıqta eki baǵıttan birewin oń, ekinshisin teris baǵıt dep qabal qılayıq (24sızılma).
АВ iymek sızıqtı A - dan B ǵa qarap
A A, A , A , |
, A B (A (x |
,y |
k |
) |
AB , |
|
||||
0 |
1 |
2 |
n |
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
k |
0,1, |
,n , |
|
|
|
|
|
|
A0 (x0,y0) |
(a0,a2) , …, An |
(xn ,yn ) |
|
(b1,b2) |
|
|||||
noqatlar |
járdeminde |
n |
bólekke |
bólemiz. |
Bul |
|
||||
А0., А1, |
, Ап noqatlar |
sisteması АВ doǵanıń |
|
bóliniwi |
24-sızılma |
|||||
dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P= |
А0. А1, |
Ап |
|
|
|
|
|
|
|
kibi belgilenedi. AkAk 1 doǵa (bóliniw doǵaları) uzınlıqları
Sk |
(k |
0,1, ,n ) nıń eń úlkeni P bóliwdiń diametri delinedi hám ol |
p menen |
||||||||||||||||||||||
belgilenedi; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
max |
Sk . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ayqın, АВ |
iymek sızıqtı túrli usıllar menen qálegen sanda bóliniwlerin dúziw |
||||||||||||||||||||||||
múmkin. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
АВ iymek sızıqta f (x,y) funkciya berilgen bolsın. Bul iymek sızıqtıń |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
A ,A , |
, A |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qk |
|
( k , |
k ) |
|
||||||||
bóliniwin |
|
hám |
onıń |
hár |
bir |
AkAk |
1 doǵasında |
ıqtıyarlı |
|
( |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
0,1, |
,n ) |
|
|
|
|
||||||||||||
Qk |
( k , |
k ) |
|
AkAk 1 , |
|
noqat |
alamız. |
Berilgen |
funkciyanıń |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Aytayıq, x |
|
|
(t), |
y |
(t) funkciyalardıń hár biri ( |
, |
) da berilgen bolsın. Bul funkciyalar ( , |
) |
|||||||||||||||||
da |
(t), |
|
(t) tuwındılarǵa iye hám olar úzliksiz bolıp, |
2(t) |
2(t) |
0 bolsın. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
R2 |
tegisliktegi mına |
|
L |
(x,y) R2 : x |
|
(t), |
y |
(t), |
t |
( , |
) |
kóplik |
||||||||||||
ápiwayı iymek sızıq dep ataladı. Ápiwayı iymek sızıq uzınlıqqa iye boladı.
199
