Matematikalıq analiz páninen

Добавил:

aruzhan_mn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий

Предмет:

Педагогика

Файл:

n 1 (x n)(x n

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2024

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

2-lekciya

Funkcional qatarlar hám onıń qosındısı, teń ólshewli jıynaqlı qatarlar, teń ólshewli jıynaqlılıq belgisi. Teń ólshewli jıynaqlı qatarlardıń qásiyetleri.

Funkcional

qatarlar.

Bazıbir

R kóplikte

u1(x), u2(x),...,

un (x),... funkcional izbe--izlik berilgen bolsın.

1-anıqlama. Tómendegi

u1(x) u2(x) ... un (x) ...

ańlatpa funkcional qatar dep ataladı hám ol

un (x)

dep belgilenedi:

n 1

un (x)

u1(x) u2(x) ...

un (x) ...

(1)

u1(x), u2(x),...

funkciyalar (1) funkcional qatardıń aǵzaları,

un (x)

bolsa

funkcional qatardıń ulıwma aǵzası (n-aǵzası) dep ataladı.

Funkcional qatarǵa mısallar keltiremiz:

1 x

x 2

...

)

... (0 x

1 (n

1)x

1 (nx

1) 1

(x 1)

1)(2x 1)

(2x 1)(3x

Solay etip, funkcional qatardıń hár bir aǵzası, dáslep (1-bólimniń 11-babında) úyrenilgen sanlı qatardıń aǵzalarınan basqasha bolıp, funkciyalardan ibarat eken.

1-eskertiw.	un (x) funkcional qatar túrli aǵzalarınıń beriliw oblastları
n	1

(kóplikleri), ulıwma aytqanda, hár túrli boladı. Biz bul jerde X kóplik sıpatında usı oblastlardıń ulıwma bólegin túsinemiz.

X kóplikte	x0	x0	X	noqattı alıp,		(1)	funkcional		qatardıń hár bir
un (x) (n 1,2,...)		aǵzalarınıń		usı	noqattaǵı		mánisin	tabamız.		Nátiyjede
to’mendegi
		un	x0	u1 x0	u2	x0	... un	x0	...	(2)
	n	1
sanlı qatar payda	boladı.

Belgili, sanlı qatarlar, olardıń jıynaqlılıǵı, tarqalıwshılıǵı, jıynaqlılıq belgileri, jıynaqlı qatarlardıń qásiyetleri 1-bólimniń 11-babında keń túrde bayan etilgen edi.

2-anıqlama. Eger		un	x0 sanlı qatar jıynaqlı (tarqalıwshı) bolsa,	un (x)
n	1		n	1
funkcional Qatar x0 x0	X		noqatta jıynaqlı (tarqalıwshı) dep ataladı, x0	noqat
bolsa bul funkcional qatardıń jıynaqlılıq (tarqalıwshı) noqatı delinedi.
un (x) funkcional		qatardıń barlıq jıynaqlılıq (tarqalıwshı) noqatlarınan
n 1

ibarat kóplik, bul funkcional qatardıń jıynaqlılıq (tarqalıwshı) oblastı (kópligi) delinedi.

Keyingi bayanlamada biz	un (x)	funkcional qatardıń jıynaqlılıq
n	1
(tarqalıwshı) oblastı M kóplik bolsın dep aytiwdin’ ornına			un (x) funkcional qatar
		n	1

M kóplikte jıynaqlı (tarqalıwshı) bolsın degen aytımdı da islete beremiz.

Bazıbir	un (x) funkcional qatar				berilgen		bolıp, M	M R bolsa usı
n	1
funkcional qatardıń jıynaqlılıq oblastı bolsın. x0							M ushın, oǵan sáykes
	un x0	u1	x0	u2	x0	...	un x0	...
	n 1
qatar jıynaqlı, onıń qosındısı bolsa S0				dep aytayiq.
Eger M kóplikten alınǵan hár bir x belgisizge oǵan sáykes keletuǵın
		un (x)	u1(x)		u2(x)	... un (x) ...
	n	1

qatardıń qosındısın sáykes qoysaq, onda M kóplikte berilgen S(x) funkciya payda

boladı. Bul S(x) funkciyanı	un (x)	u1(x)	u2(x) ...	un (x) ... funkcional
	n 1
qatardıń qosındısı dep ataymız. Demek		x M ushın
un (x)	u1(x) u2(x) ...		un (x) ...	S(x)
n 1

Funkcional qatarlarda da, sanlı qatarlarǵa uqsas, qatardıń dara qosındıları túsinikleri kiritiledi.

(1) funkcional qatardıń dáslepki aǵzalarınan dúzilgen to’mendegi

S1(x) u1(x),

S2(x) u1(x) u2(x),

… … … … …

Sn (x) u1(x) u2(x) ... un (x),

… … … … … …

qosındılar (1) funkcional qatardıń dara qosındıları delinedi. Demek, (1) funkcional qatar berilgen jaǵdayda bárqulla bul qatardıń dara qosındılarınan ibarat

Sn (x) : S1(x), S2(x), ..., Sn(x), ...

(3)

funkcional izbe-izlikti payda etiw múmkin.

Kerisinshe, (1) funkcional qatardıń dara qosındılarınan ibarat (3) funkcional izbe-izlik berilgen jaǵdayda, bárqulla aǵzaları (1) funkcional qatardıń sáykes aǵzalarına teń bolǵan tómendegi:

S1(x) S2(x) S1(x) ... Sn(x) Sn 1(x) ...

funkcional qatardı payda etiw múmkin.

Sanlı qatardıń jıynaqlılıǵı (taralıwshılıǵı) anıqlamasın eslep (qaralsın, 1-

bólim, 11-bap, 1-§) (1)	funkcional qatardıń x0 noqatta			jıynaqlılıǵın
(tarqalıwshılıǵın) tómendegishede anıqlaw múmkin.
3-anıqlama. Eger n	ke	Sn (x)	funkcional izbe-izlik	x0 x0 M
noqatta jıynaqlı (tarqalıwshı) bolsa,		un (x)	funkcional qatar x0 noqatta jıynaqlı
	n	1

(tarqalıwshı) dep ataladı.

Bul funkcional izbe-izliktiń jıynaqlılıq (tarqalıwshılıq) oblastı (kópligi) tiyisli funkcional qatardıń jıynaqlılıq (tarqalıwshılıq) oblastı (kópligi) dep ataladı.

(3) funkcional izbe-izliktiń limit funkciyası S(x):

lim Sn (x)	S(x).
n
(1) funkcional qatardı qosındısı dep ataladı.
Mısallar. 1. To’mendegi
xn 1 1 x x 2	... xn 1 ...
n 1
funkcional qatardı qarayıq. Bul qatardıń hár bir aǵzası: u (x) xn 1		(n 1,2,...)
	n

funkciya R qosındısı

Sn (x)

boladı. Onda x (

(	,	)	de	berilgen.Qaralıp			atırǵan				funkcional qatardıń dara
						1	xn	,		eger x		1		bolsa
1	x	x 2		... xn 1		1	x	,		eger x		1		bolsa
1	x	x 2		... xn 1		1	x
							n,		eger		x	1	bolsa
1,1)	ushın		lim Sn(x)		lim		1			xn			1		,
1,1)	ushın		lim Sn(x)		lim	1	x		1		x	1		x	,
			n		n	1	x		1		x	1		x
1,		ushın		lim Sn (x)		,
			n

x	, 1 ushın Sn (x) funkcional izbe-izlik limitke iye emes.

Solay etip, berilgen funkcional qatardıń jıynaqlılıq						oblastı	M	( 1, 1),
tarqalıwshılıq oblastı bolsa,		R \ M	,	1 U 1,		ten	ibarat.	( 1,+1)
aralıqta funkcional qatardıń qosındısı S(x)				1	boladı.

			1	x
2. Tómendegi
		x			(0 x	)

n 1	(n 1)x	1 (nx 1)
	(n 1)x	1 (nx 1)

funkcional qatardı qarayıq. Bul qatardıń dara qosındısın tabamız:

n	x	n	1		1				1
Sn (x)	x		1		1		1		1		.

	(k 1)x 1 (kx 1)	k 1 (k 1)x		1 kx		1		nx		1
k 1	(k 1)x 1 (kx 1)	k 1 (k 1)x		1 kx		1		nx		1

Onda

lim Sn (x)	lim 1		1		1	(0 x	)

		nx		1
n	n

boladı. Demek, berilgen qatardıń qosındısı S(x)=1 boladı.

Biz joqarıda funkcional izbe-izlik hámde funkcional qatarlar, olardıń jıynaqlılıǵı (tarqalıwshılıǵı) túsinikleri menen tanıstıq.

Tiykarında bunday túsinikler menen biz, dáslep, dara jaǵdayda (ózgeriwshi x tıń hárbir tayınlanǵan mánisinde) 1-bólimniń 3-hám 11-baplarında sanlar izbe-izligi, sanlı qatarlar dep tanısıp, olardı keń túrde úyrengen edik.

Házirgi jaǵday, yaǵnıy funkcional izbe-izliktiń limit funkciyası f(x), funkcional qatar qosındısı S(x) ler x ózgeriwshiniń funkciyaları bolıwı bul f(x) hám S(x) lerdiń funkcional qásiyetlerin úyreniwdi talap etedi.

Máselen fn (x) funkcional izbe-izlik hár bir fn (х) (n 1, 2, ...) aǵzasınıń funkcional qásiyetlerine muwapıq (úzliksizligi, differenciallanıwshılıǵı hám t.b.)

f(x) limit	funkciyanıń sáykes qásiyetlerin,	un (x) funkcional qatar hár bir
	n	1
un (x) (n	1,2,...) aǵzası funkcional qásiyetlerine muwapıq, qatar qosındısı S(x)

tiń sáykes qásiyetlerin úyreniwden ibarat.

Bul f(x) hámde S(x) funkciyalardıń qásiyetlerin úyreniwde, fn (x) izbeizliktiń limit funkciya f(x) ke, qatar dara qosındısı Sn (x) tiń qatar qosındısı S(x) ke

jıynalıwı (umtılıw) xarakteri áhmiyetli rol oynaydı. Sonıń ushın bayanımızdı funkcional izbe-izlik hámde funkcional qatardıń tegis jıynaqlılıǵı túsinigin kiritiw hám onı úyreniwden baslaymız.

Funkcional qatarlardıń tegis jıynaqlılıǵı.

M M R kóplikte bazıbir

un (x) u1(x) u2(x) ... un (x) ...

(1)

n 1

funkcional qatar berilgen bolsın. Bul funkcional qatar M kóplikte jıynaqlı bolıp, onıń qosındısı S(x) bolsın. Demek, M kóplikte

lim Sn (x)

lim u1(x) u2(x) ... un (x)	S(x).
n

boladı, bunda	Sn (x) -	berilgen funkcional qatardıń dara qosındılarınan ibarat
funkcional izbe-izlik bolip esaplanadi.
4-anıqlama. Eger		M kóplikte	un (x) funkcional qatardıń dara
		n	1

qosındılarınan ibarat Sn (x) funkcional izbe-izlik qatar qosındısı S(x) ke tegis

jıynalsa, onda bul funkcional qatar M kóplikte tegis jıynaqlı dep ataladı, kerisinshe, yaǵnıy Sn (x) funkcional izbe-izlik M kóplikte S(x) ke tegis jıynalmasa, (1)

funkcional qatar M kóplikte S(x) ke tegis jıynalmaydı delinedi.

Solay etip, funkcional qatarlardıń tegis jıynaqlılıǵı (jıynalmawı) túsinigide olardıń ádettegi jıynaqlılıǵınday, funkcional izbe-izliklerdiń tegis jıynaqlılıǵı (jıynalmawı) arqalı kiritiledi.

Mısallar. 1. To’mendegi

)

1 (x

n)(x

n 1)

funkcional qatardı qarayıq. Bul qatardıń dara qosındısı

Sn (x)

...

1)(x

2)(x

n)(x

...

x 1 x 2

x 2 x 3

x n x n 1

x 1 x n 1

bolıp, onıń qosındısı

S(x)

lim Sn (x)

lim

Anıqlamaǵa muwapıq,

0 san alınǵanda da n0

delinse,

barlıq n

n0 ushın

Sn (x)

S(x)

x 1 x n 1 x 1

x 1

x n0

boladı. Bundaǵı n0 natural san

hám

noqatlarǵa

baylanıslı. Biraq n0

dep

max

0 x

alınsa, onda n n0

bolǵan n lerde joqarıdaǵı (14.12) teńsizlik orınlana bermeydi.

Demek, berilgen funkcional qatar ushın anıqlamadaǵı

natural san barlıq

x (0 x

) noqatları ushın ulıwma boladı, yaǵnıy x ke baylanıslı bolmaydı.

Demek, berilgen funkcional qatar tegis jıynaqlı. 2. Tómendegi

													x												(0					x			)

						n 1			(n			1)x		1 (nx				1)
									(n			1)x		1 (nx				1)

funkcional qatardı qarayıq. Bul funkcional qatardıń dara qosındısı
	Sn (x)						x								x							...									x

				1		(x		1)				(x	1)(2x					1)								(n			1)x			1 (nx			1)
				1		(x		1)				(x	1)(2x					1)								(n			1)x			1 (nx			1)
	1		1					1		1						...								1					1						1		1

		x 1				x 1 2x							1							(n 1)x								1 nx					1				nx 1
		x 1				x 1 2x							1							(n 1)x								1 nx					1				nx 1
bolıp, onıń qosındısı
			S(x)			lim Sn				(x)			lim				1						1		1				(0			x			).

																			nx					1
						n							n						nx					1
Anıqlamaǵa muwapıq,													0 sanı				alınǵanda									da		n0				1	1		1		(x 0)
Anıqlamaǵa muwapıq,													0 sanı				alınǵanda									da		n0				x			1		(x 0)
																																x
delinse, barlıq n						n0 ushın
		Sn (x) S(x)									1			1				1						1								1



													nx	1									nx		1					n0		1 x			1
													nx	1									nx		1							1 x			1

boladı. Eger x						0 bolsa, kórinip tur,											n ushın							Sn (0)						S(0)			1 bolıp,
													Sn (0)					S(0)						0
boladı. Bundaǵı n0 natural san															0 hám x									(0			x		)			noqatlarǵa baylanıslı
bolıp, ol barlıq x						(0			x				) noqatlar ushın ulıwma bolmaydı. (bul jaǵdayda
n0	1	1	1		diń (0,						) de x boyınsha maksimumı shekli san emes).
n0	x		1		diń (0,						) de x boyınsha maksimumı shekli san emes).
	x
	Basqasha aytqanda qálegen														n natural san alsaqta, sonday																			0		0 (máselen,
																																		0
0	1)	hám x				1		(0,		)			noqat tabılıp
0	4					n
	4					n
								Sn		1			S	1									1					1
										1				1									1					1
										n					n														0
										n					n				n				1		1			2	0
																			n				n		1
																							n
boladı.
	1-teorema. M M											R kóplikte									un (x) funkcional qatar berilgen bolıp,
																		n 1

onıń	qosındısı S(x) bolsın. Bul funkcional qatardıń M de tegis jıynaqlı bolıwı ushın,
onıń	dara qosındıları izbe-izligin Sn (x) tiń M de fundamental izbe-izlik bolıwı

zárúrli hám jetkilikli.

Bul teorema funkcional izbe-izliktiń tegis jıynaqlılıǵı haqqındaǵı 14.2-teoremanı funkcional qatarǵa qarata aytılıwı bolıp, onıń dálili 14.2-teoremanıń dálilindey.

Funkcional qatar

un (x) u1(x) u2(x) ... un (x) ...

n 1

tiń tegis jıynaqlı bolıwı haqqındaǵı 4-anıqlama hámde funkcional izbe-izliktiń tegis jıynaqlı bolıwınıń zárúr hám jetkilikli shártin anıqlaytuǵın 1-teoremadan paydalanıp tómendegi teoremaǵa kelemiz.

2-teorema un (x) funkcional qatar M kóplikte S(x) ke tegis jıynalıwı ushın

n 1

lim sup

Sn(x)

S(x)

x M

bolıwı zárúr hám jetkilikli.

Mısalı. To'mendegi

x 2 ...

xn ...

funkcional qatar (-1,+1) de jıynaqlı bolıp, onıń qosındısı

S(x)

ekenligin kórgen edik. Bul funkcional qatar ushın

Sn (x)

S(x)

( 1,

1))

bolıp,

sup

Sn(x)

S(x)

1 x

boladı. Demek berilgen qatar (-1,+1) aralıqta tegis jıynaqlı emes.

3-teorema (Veyershtrass belgisi). Eger mına

un (x)

u1(x)

u2(x)

...

un (x)

...

(1)

funkcional qatardıń hár bir aǵzası M

R kóplikte tómendegi

un (x)

сn

(n 1,2,..)

(*)

teńsizlikti qanaatlandırsa hám

сn

с1

с2 ...

сn ...

(4)

n 1

sanlı qatar jıynaqlı bolsa, onda (1) funkcional qatar M kóplikte tegis jıynaqlı boladı. Dálil. (4) qatar jıynaqlı bolǵanlıqtan 1-bólim, 11-bap, 2-§ de keltirilgen

teoremaǵa tiykarlanıp,		0 sanı alınǵanda da, sonday				n0	N tabılıp, barlıq
n n0, m n ushın
		сn 1	сn	2 ...	сm
boladı. (*) teńsizlikten paydalanıp, M kópliktiń barlıq x x						M	noqatları ushın
	un	1(x)	un	2(x) ...	um(x)
	un	1(x)	un	2(x) ...	um(x)
				17

bolatuǵının tabamız. Bunnan 3-teoremaǵa muwapıq berilgen funkcional qatardıń M kóplikte tegis jıynaqlı bolıwı kelip shıǵadı.

Mısallar. 1. Mına

funkcional qatardıń tegis jıynaqlılıǵı anıqlanǵan edi. Bul qatardıń tegis jıynaqlılıǵın Veyershtrass belgisi járdeminde ańsat kórsetiw múmkin.

Haqıyqattan da

un (x)

(x n)(x n 1)

| x n |

| x n 1 |

bolıwı hámde

qatardıń jıynaqlılıǵınan berilgen funkcional qatardıń (0,

) de tegis jıynaqlılıǵı

kelip shıǵadı.

2. Mına

un (x)

n 1

n5x 2

funkcional qatarın qarayıq. Bul funkcional qatardıń ulıwma aǵzası

un (x)

1,2,...)

1 n5x 2

funkciyadan ibarat. Bul funkciyanı [0,

) aralıqta ekstremumge tekseremiz un (x)

funkciyanıń tuwındısı jalǵız x

noqatta nolge aylanadı (x

2 stacionar

noqat). Bul stacionar noqatta

boladı. Demek, un (x)

funkciya

[0,

) noqatta maksimumge erisedi.

Onıń maksimum mánisi bolsa 1

ge teń. Demek, 0

un (x)

n5x 2

boladı.

Eger

qatardıń

jıynaqlılıǵın

itibarǵa

alsaq,

onda

n 1 2n3

Veyershtrass

belgisine muwapıq,

berilgen

funkcional

qatardıń

[0,

)te

tegis

jıynaqlılıǵın tabamız.

3-lekciya

Dárejeli qatar túsinigi. Abel teoreması. Dárejeli qatarlardıń jıynaqlılıq radiusı hám jıynaqlılıq intervalı. Dárejeli qatardıń teń ólshewli jıynaqlılıǵı

Dárejeli qatarlar. Abel teoreması. Biz aldıńǵı paragraflerde funkcional qatarlardı úyrendik. Funkcional qatarlar arasında, olardıń dara jaǵdayı bolǵan mına

a x

a x 2

...

x n ...

(1)

yamasa, ulıwma ko’riniste,

an x

a1 x

an x x0

...

(2)

n 0

qatarlar (bunda a0,a1,a2,...an ,...,

turaqlı haqıyqıy sanlar) matematikada hám

onıń qollanılıwlarında áhmiyetli rol oynaydı. Bul jerde, usı baptıń 1-§ indegi (1) ańlatpada qatnasqan un (x) sıpatında

u (x)	a xn	(yamasa u (x)	a x	x	n )
n	n	n	n		0

yaǵnıy x (yamasa x x0 ) ózgeriwshiniń dárejeleri qaraladı. Sol sebepli (1) hám (2) qatarlar dárejeli qatarlar dep ataladı.

Eger (2) qatarda x x0 t dep alınsa, onda bul qatar t ózgeriwshige qarata

(1)qatar kórinisine keledi. Demek, (1) dárejeli qatarlardı úyreniw jetkilikli.

(1)ańlatpadaǵı a0,a1, a2, ..., an , ... haqıyqıy sanlar (1) dárejeli qatardıń

koeffisientleri dep ataladı.

Dárejeli qatardıń dúzilisinen, dárejeli qatarlar bir-birinen tek ǵana koeffisientleri menen ǵana parq qılatuǵının kóremiz.Demek dárejeli qatar berilgen degende onıń koeffisientleri berilgen degendi túsinemiz.

Mısallar. Mına

1.		xn	1		x	x 2	...	xn	...	(0! 1)
1.		n !	1	1!		2!	...	n !	...	(0! 1)
n	0	n !		1!		2!		n !
n	0
								19

x 2

...

xn ...

qatarlar dárejeli qatarlar.

Solay etip, dárejeli qatarlardıń hár bir aǵzası (

) de berilgen funkciya.

Olay bolsa, dárejeli qatardı formal kóz qarastan, (

) de qaraw múmkin.

Biraq, tábiyǵıy, olardı qálegen noqatta jıynaqlı boladı dep ayta almaymız.

Albette, qálegen dárejeli qatar x

0 noqatta

jıynaqlı boladı. Bul ayqın

Demek, dárejeli qatardıń jıynaqlılıq oblastı álbette x

0 noqattı óz ishine aladı.

Dárejeli qatardıń jıynaqlılıq oblastı (kópligi) dúzilisin anıqlawda tómendegi

Abel teoremasına tiykarlanadı.

1-teorema (Abel` teoreması). Eger

∞

∑

+ +

+ 3 + + +

(1)

dárejeli qatar x tiń x

0 mánisinde jıynaqlı bolsa, x tiń

(3)

teńsizlikti qanaatlandırıwshı barlıq mánislerinde (1) dárejeli qatar absolyut jıynaqlı boladı.

Dálil. Shártke muwapıq

a	n	xn	a	0	a x	a x 2	... a	n	x n ...
	n	0		0	1 0	2 0		n	0

n 0

qatar (sanlı qatar) jıynaqlı. Bul jaǵdayda qatar jıynaqlılıǵınıń zárúrli shártine muwapıq

lim a xn			0
n	n	0
n

boladı. Demek, {anx0n } izbe-izlik shegaralanǵan boladı, yaǵnıy sonday turaqlı M sanı tabılıp, n N ushın

| anx0n | M

teńsizlik orınlanadı. Bul teńsizlikti itibarǵa alıp tómendegini tabamız:

Endi mına

a x

a x 2

...

x n

...

(4)

qatar menen birge tómendegi

n ...

...

(5)

n 0

<<< < Предыдущая 12 / 222 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Педагогика

#
11.08.20241.61 Mб6Didaktika__ped.pdf
#
11.08.2024725.76 Кб0Háreketli oyınlar arqalı dene tárbiyası sabaǵın.pdf
#
11.08.20243.54 Mб2Jeńil atletika hám onı oqıtıw metodikası.pdf
#
24.07.20241.24 Mб10Jumanazar Bazarbaev Ruwxıyatımız marjanları_2008.docx
#
12.08.2024832.88 Кб3Logopediya OMK.pdf
#
11.08.20249.98 Mб5Matematikalıq analiz páninen.pdf
#
11.08.20241.47 Mб9Matematikalıq túsiniklerdi qáliplestiriw.pdf
#
23.07.2024658.41 Кб11Mektepke_shekemgi_bilimlendiriw_shókemlerinde_erteklerdi_saxnalastırıw__.pdf
#
28.09.20241.31 Mб2Muzıka sawatı.doc
#
12.08.2024419.02 Кб6Oqıtıwshınıń sóylew mádeniyatı.pdf
#
11.08.20241.11 Mб6Pedagogikadan ámeliy jumıslar.pdf