Matematikalıq analiz páninen
.pdf
Dk |
I(u, ) |
du d |
Dk
boladı. Orta mánis haqkındaǵı teoremadan paydalanıp tómendegini tabamız:
D |
I u * , * |
k |
u * , * |
k |
, |
||
k |
k |
k |
k |
k |
|
||
bunda |
k |
k |
nıń maydanı. Nátiyjede (10) qosındı mına |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
k |
, |
k |
|
I |
u * , |
* |
|
k |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kóriniske keledi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
k , k |
|
noqattıń Dk oblasttaǵı ıqtıyarlı noqat ekenleginen paydalanıp, onı |
||||||||||
|
|
|
|
|
u *k , |
|
*k |
|
k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
u *k , |
|
*k |
|
k . |
|
|
|
dep alıw múmkin. Ol jaǵdayda
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
u * , * , |
u * , * |
|
|
I u * , * |
|
k |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
k |
k |
|
|
|
k |
k |
|
|
|
k |
|
k |
|
|
|||
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ayqın, |
f |
|
u, , u, |
|
I(u, |
) |
|
funkciya |
|
|
oblastta |
úzliksiz. |
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Demek, ol usı oblastta integrallanıwshı. Ol jaǵdayda |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
lim |
|
|
f |
u * , |
* |
, |
u * , |
* |
|
I |
|
u * , |
* |
|
k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
k |
|
k |
|
|
|
k |
|
k |
|
|
k |
k |
|
|||
P |
P |
k |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
f |
(u, |
), |
(u, |
) |
|
|
I(u, |
) |
|
du d |
|
|
(11) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
boladı.
P |
0 |
da |
0 bolıwın itibarǵa alıp, (10) hám (11) qatnaslardan |
|
|||
|
|
PD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x,y)dxdy |
f ( (u, ), (u, )) |
I u, |
du d |
(12) |
|
|
(D) |
|
|
|
|
|
|
bolıwın tabamız.
182
1
Demek, |
1 |
x 2 |
y2 |
dx dy |
|
2 |
|
1 |
x 2 |
y2 |
4 |
||||
|
|
|
Eki eseli integraldıń bazıbir qollanıwları
Deneniń kólemi hám onıń eki eseli integral arqalı anıqlanıwı.
R3 keńislikte bazıbir shegaralanǵan (V) deneni qarayıq. Bul (V) deneniń ishinde (A) kópjaqlar jaylasqan, óz náwbetinde (V) dene bolsa (B) kópjaqlar ishinde jaylasqan bolsın. (A) kópjaqlar kólemlerin VA menen, (B) kópjaqlar kólemlerin VB
menen belgileyik. Biz kópjaqlardıń kólemleri túsiniklerin hám onı esaplawdı (dál tegisliktegi kópmúyeshtiń maydanı túsinigi hám esaplaw kibi) bilemiz dep alamız.
Nátiyjede (V) deneniń ishinde jaylasqan kópjaqlar kólemlerinen ibarat VA |
kóplik, |
||||||||||||||||||
ishine (V) dene jaylasqan kópjaqlar kólemlerinen ibarat VB |
kóplikler hasıl boladı. |
||||||||||||||||||
VA kóplik joqarıdan, VB |
kóplik tómenen shegaralanǵanlıǵı sebepli VA |
kóplik |
|||||||||||||||||
anıq joqarı shegaraǵa, VB |
kóplik bolsa anıq tómengi shegaraǵa iye boladı. |
||||||||||||||||||
sup VA |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
, |
|
inf VB |
|
|
V. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ayqın, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
V. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1-anıqlama. Eger V |
|
V , yaǵnıy sup VA |
inf |
VB |
|
teńlik orınlı bolsa, ol |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
jaǵdayda (V) dene kólemge iye dep ataladı hám V |
V |
|
V shama (V ) |
deneniń |
|||||||||||||||
kólemi delinedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Demek, V sup VA |
|
|
inf VB . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Endi (V) dene sıpatında joqarıdan z=f(x,y) bet penen, qaptal jaqlarınan jasawshıları Oz kósherine parallel bolǵan cilindrdik bet hámde tómennen Oxy tegisliktegi (D) oblast penen shegaralanǵan deneni qarayıq.
(D) tuyıq oblasttıń P bóliniwin alamız. f(x,y) funkciya (D) da úzliksiz
bolǵanlıǵı sebepli, bul funkciya P bóliniwdiń hár bir |
Dk |
bóleginde de úzliksiz |
||
bolıp, onda |
|
|
|
|
inf f (x,y) : (x,y) |
Dk |
mk , sup f(x,y):(x,y) |
Dk |
Mk (k 1, 2,...,n) |
lerge iye boladı. |
|
|
|
|
|
|
184 |
|
|
Demek, (D) oblasttıń diametri |
P |
bolǵan hár qanday bóliniwi alınǵanda da bul |
|
|
bóliniwge sáykes (V) deneniń ishine jaylasqan hámde bul (V) nı óz ishine alǵan kópjaqlı kólemleri ushın bárqulla
0 inf V P (f ) |
sup V P (f ) |
|
|
|
B |
A |
|
|
|
teńsizlik orınlı boladı. Bunnan bolsa |
|
|
|
|
inf |
VP(f ) |
sup |
V P (f ) |
(1) |
|
B |
|
A |
|
teńlik kelip shıǵadı. Bul teńlik (V) dene kólemge iye bolıwın bildiredi.
Endi joqarı da úyrenilgen V P (f ), |
VP(f ) qosındıları Darbu qosındıları |
A |
B |
menen salıstırıp, VAP (f ) hám VBP (f )qosındılar f(x,y) funkciyanıń (D) oblastta sáykes
túrde Darbudıń tómengi hámde joqarı qosındıları ekenligin tabamız. Sonıń ushın mına
sup VAP (f ) , inf VBP(f )
shamalar f(x,y) funkciyanıń tómengi hámde joqarı eki eseli integralları boladı, yaǵnıy
sup V P (f ) |
f (x,y)dD, inf VP(f ) |
f (x,y)dD. |
||
A |
B |
|
||
|
|
|
|
(D) |
(D) |
|
|||
Joqarıdaǵı (18.33) qatnasqa muwapıq
|
|
f (x,y)dD |
f (x,y)dD |
|
|
|
(D) |
(D) |
|||
teńlik orınlı ekenligin kórinedi. Demek,
f (x,y)dD |
|
|
f (x,y)dD |
f (x,y)dD. |
D |
|
|
|
(D) |
( D) |
||||
Sonday qılıp, bir tamannan, qaralıp atırǵan (V) dene kólemge iye ekeni, ekinshi tamannan onıń kólemi f(x,y) funkciyanıń D oblast boyınsha eki eseli integralına teń ekeni dáliyillendi. Demek, (V) deneniń kólemi ushın mına
V |
f (x,y)dD |
(2) |
|
(D) |
|
formula orınlı.
186
|
1 |
|
|
|
4 |
|
|
4 abc |
1 |
2 d |
abc . |
||||
0 |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Sonday qılıp, ellipsoidtıń kólemi
V |
4 |
a b c . |
|
3 |
|||
|
|
boladı.
Tegis figuranıń maydanı. Usı baptıń 1-§ inde (D)oblasttıń maydanı tómendegi
D |
dD |
dx dy |
(D) (D)
integralǵa teń bolıwın kórdik. Demek, eki eseli integral járdeminde tegis figuranıń maydanın esaplaw múmkin eken.
Dara jaǵdayda, oblast
( ) |
(x,y) R2 : a x b, 0 y f (x) |
iymek sızıqlı trapeciyadan ibarat bolsa (f(x) funkciya [a,b] da úzliksiz), ol jaǵdayda
|
b f (x ) |
|
b |
|
|
dxdy |
|
dy dx |
f (x)dx |
( ) |
a |
0 |
|
a |
bolıp, 1-bólim, 10-bap, 2-§ inde tabılǵan formulaǵa kelemiz.
Mısal. Mına
x |
y2 a2 |
, |
x |
y2 b2 |
(0 a b) |
|
2a |
|
|
2b |
|
sızıqlar menen shegaralanǵan figuranıń maydanı tabılsın. Bul sızıqlar paraboladan ibarat (23-sızılma).
188
Tómendegi
x |
y2 |
|
a2 |
|
2a |
0 |
|
|
y2 |
b2 |
|
x |
|
||
|
2b |
0 |
|
|
|
|
23-sızılma
sistemanı sheship, parabolalardıń kesilisken noqatları
a |
b , |
|
|
a b |
|
|
ab |
hám |
, ab |
||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
ekenin tabamız: qaralıp atırǵan figura Ox kósherine qarata simmetriyalı bolıwın
itibarǵa alsaq, ol jaǵdayda |
nıń maydanı |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
dx dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
boladı, bunda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x,y) R2 : |
y2 |
a2 |
x |
y2 |
|
b2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, 0 |
y |
ab . |
||||||||||
|
|
2a |
|
|
2b |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Integraldı esaplap, tómendegini tabamız: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ab |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
dxdy |
|
2b |
dx dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
0 |
|
|
|
y2 a2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ab |
y2 |
b2 |
y2 a2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dy |
b a |
ab. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
2a |
3 |
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Demek, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
(b |
a) ab. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bettiń maydanı hám onıń eseli integral arqalı anıqlanıwı. Eki eseli integral járdeminde bet maydanın esaplaw múmkin. Bul funkciyanıń grafigi 17-sızılmada suwretlengen. (S) betten ibarat bolsın.
189
(D) oblasttıń P bóliniwin alayıq. Onın bólekleri D1 , D2 ,..., Dn bolsın.
Bul bóliniwdiń bóliwshi sızıqların baǵıtlawshılar sıpatında qarap, olar arqalı jasawshıları 0z kósherine parallel bolǵan cilindrlik betler ótkizemiz. Ayqın, bul
cilindrlik |
betler |
(S) |
betti |
S1 |
, S2 |
,..., Sn |
bóleklerge ajıratadı. hár bir |
|
Dk |
k |
1,2,..,n da ıqtıyarlı |
k , k |
noqat alıp, (S) bette oǵan sáykes noqat |
||||
k , k ,Zk |
zk |
f |
k , k |
nı tabamız. |
|
|||
|
Soń (S) betke usı |
k , |
k ,Zk |
noqatta urınba tegislik júrgizemiz. Bul urınba |
||||
tegislik penen joqarıda aytılǵan cilindirlik bettiń kesilsiwinen hasıl bolǵan urınba
tegislik bólegin |
Tk menen onıń maydanı Tk |
menen belgileyik. |
|||||
Geometriyadan málim, |
Dk |
oblast |
Tk |
nıń ortogonal proekciyası bolıp, |
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
Dk |
Tk |
|
cos |
k |
(18.36) |
|
boladı, bunda k |
(S )betke |
k , |
k ,Zk |
zk |
f k , k noqatta ótkizilgen urınba |
||
tegislik normalınıń Oz kósheri menen jasaǵan múyesh.
Ayqın, |
P |
0 da |
Sk |
|
(k |
1,2,...,n) nıń diametri de nol’ge umtıladı. |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
Eger |
P |
0 da |
Tk qosındı shekli limitke iye bolsa, bul limit (S) bettiń |
||||
|
|
k |
1 |
|
|
|
|
maydanı dep ataladı. Demek, (S) bettiń maydanı |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
S |
lim |
Tk |
(18.37) |
|
|
|
|
|
p |
0 |
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
Joqarıda qaralıp atırǵan z |
|
f (x,y) funkciya (D) oblastta f 'x (x,y), |
f'y(x,y) |
||||
dara tuwındılarǵa iye bolıp, bul dara tuwındılar (D) oblastta úzliksiz bolsın. Ol jaǵdayda
cos k |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
f '2 |
k |
, |
k |
f '2 |
k |
, |
k |
|||
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
y |
|
boladı.
(18.36) qatnastan
190