Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1309 вузов, 5198 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий
Предмет:
Педагогика
Файл:

Matematikalıq analiz páninen

.pdf
Скачиваний:
3
Добавлен:
11.08.2024
Размер:
9.98 Mб
Скачать
☆
boladı.

birinde integrallanıwshı bolsa, funkciya (D) oblastta da integrallanıwshı boladı.

Bunda

 

f (x,y)dD

f (x,y)dD

f (x,y)dD.

(D)

D1

 

D2

3˚. Eger f(x,y) funkciya (D) oblastta

integrallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda

c f (x,y) ( c const) da usı oblastta integrallanıwshı hám mına

c f(x,y)dD c

f(x,y)dD.

(D)

(D)

formula orınlı boladı.

4˚. Eger f(x,y) hám g(x,y) funkciyalar (D) oblastta integrallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda f (x,y) g(x,y) funkciyada usı oblastta integrallanıwshı hám mına

f (x,y)

g(x,y) dD

f(x,y)dD

g(x,y)dD

(D)

(D)

 

(D)

 

 

formula orınlı boladı.

 

 

 

 

 

1-saldar. Eger f1(x,y),

f2(x,y),..., fn(x,y)

funkciyalardıń

hár

biri (D) oblastta

integrallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda mına

 

 

 

 

c1f1(x,y) c2f2(x,y) .. cn fn(x,y)

ci

const,

i

1,2,...,n

funkciya da usı oblastta integrallanıwshı hám

 

 

 

 

c1f1(x,y) c2f2(x,y) ... cn fn (x,y) dD c1

f1(x,y)dD

(D)

 

 

(D)

 

c2

f2(x,y)dD ..

cn

fn (x,y)dD

 

 

 

(D)

(D)

 

 

 

boladı.

 

 

 

 

 

5˚. Eger f(x,y) funkciya (D) oblastta integrallanıwshı bolıp,

(x,y) (D) ushın

f (x,y) 0 bolsa, ol jaǵdayda

 

 

 

 

f (x,y) dD 0

(D)

161

(a,b)

 

2-saldar. Eger f(x,y) hám g(x,y) funkciyalar (D) oblastta integrallanıwshı

bolıp,

(x,y) D ushın

 

 

 

f (x,y) g(x,y)

 

 

 

 

 

 

 

bolsa, ol jaǵdayda

f (x,y)

funkciyada usı oblastta integrallanıwshı hám

 

 

 

f (x,y)dD

 

f (x,y)

 

dD

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(D)

 

(D)

boladı.

7˚. Orta mánis haqqındaǵı teoremalar. f(x,y) funkciya (D) oblastta berilgen hám ol usı oblastta shegaralanǵan bolsın. Demek, sonday m hám M ózgermes sanlar

m inf f (x,y) : (x,y) (D) , M sup f(x,y):(x,y) (D)

bar bolıp, (x,y) (D) ushın

m f (x,y) M

boladı.

3-teorema. Eger f(x,y) funkciya (D) oblastta integrallanıwshı bolsa, ol jaǵdayda sonday ózgermes (m M) san bar bolıp,

f (x,y)dD D

(D)

boladı, bunda D- (D) oblastıń maydanı.

3-saldar. Eger f(x,y) funkciya tuyıq (D) oblastta úzliksiz bolsa, ol jaǵdayda bul oblastta sonday (D) noqat tabıladı,

f (x,y)dD f (a,b) D

(D)

boladı.

4-teorema. Eger g(x,y) funkciya (D) oblastta integrallanıwshı bolıp, ol usı oblastta óz belgisin ózgertpese hám f(x,y) funkciya (D) oblastta úzliksiz bolsa, ol jaǵdayda sonday (a,b) (D)noqat tabıladı;

f (x,y)g(x,y)dD

f (a,b) g(x,y)dD

(D)

(D)

 

162

boladı.

8˚. Integrallaw oblastı ózgeriwshi bolǵan eki eseli integrallar. f(x,y) funkciya (D) oblastta berilgen bolıp, ol usı oblastta integrallanıwshı bolsın. Bul funkciya, (D) oblasttıń maydanǵa iye bolǵan hár qanday (d) bóleginde (d) (D) de

integrallanıwshı boladı. Ayqın mına

f (x,y) dD

(D)

integral (d) ǵa baylansılı boladı.

(D) oblasttıń maydanǵa iye bolǵan hár bir (d) bólegine joqarıdaǵı integraldı sáykes qoyamız:

Ф : (d) f (x,y)dD.

(d )

Nátiyjede funkciya hasıl boladı. Ádette bul

((d))

f (x, y)dD

(d)

 

funkciya oblasttıń funkciyası dep ataladı.

 

(D) oblastta bazıbir x0,y0 noqattı alayıq. (d) bolsa usı noqattı óz ishine alǵan hám (d) (D)bolǵan oblast’ bolsın. Bul oblasttıń maydanı d, diametri bolsa bolsın.

Eger

0 da

Ф((d))

 

qatnastıń limiti lim

 

Ф((d))

bar hám shekli bolsa,

 

 

d

0

 

d

 

 

bul limit F((d)) funkciyanıń

x0,y0 noqattaǵı

oblast’

boyınsha tuwındısı dep

ataladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

Eger f(x,y) funkciya (D) oblastta úzliksiz bolsa, ol jaǵdayda F((d))

funkciyanıń

x0,y0 noqattaǵı oblast boyınsha tuwındısı f

x0,y0 ge teń boladı.

15-lekciya

Eki eseli integraldı esaplaw. Eki eseli integralda ózgeriwshini almastırıw.

Polyar koordinatalarda eki eseli integral. Eki eseli integraldıń qollanılıwları

163

f (x,y) funkciyanıń (D) oblasttaǵı D R2 eki eseli integralı tiyisli integral

qosındısınıń málim mánistegi limiti sıpatında anıqlanadı. Bul limit túsinigi quramalı xarakterge iye bolıp, onı usı anıqlama boyınsha esaplaw hátte ápiwayı jaǵdaylarda da biraz qıyın boladı.

Eger f(x,y) funkciyanıń (D) oblastta integrallanıwshılıǵı málim bolsa, onda

belgisiz

integral qosındı (D) oblasttıń bóliniw

usılında, hár

bir bólekte

alınǵan

k , k

noqatlarǵada baylanıslı bolmay, p

0 da jalǵız

f (x,y)dD

sanǵa

 

 

 

(D)

 

umtıladı. Nátiyjede funkciyanıń eki eseli integralın tabıw ushın bazıbir bóliniwge qarata integral qosındınıń limitin esaplaw jetkilikligi boladı. Bul jaǵdayda (D) oblasttıń bóliniwin hámde k , k noqatların, integral qosındını hám onıń limitin

esaplawǵa qolay qılıp alıw imkaniyatın beredi. Mısal. Mına

xydD

(D)

integraldı esaplayıq. Bunda

(D) (x,y) R2; 0 x 1, 0 y 1-x .

Ayqın,

f (x,y)

 

xy funkciya (D) da

 

úzliksiz. Demek, bul funkciya (D) oblastta

integrallanıwshı.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(D) oblasttı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D

 

(x,y)

R2 :

i

 

x

i

 

 

1,

k

y

k

1,

 

 

i

k

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

n

 

 

n

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

0, 1, 2,...,n

 

1,

k

 

 

0, 1, 2, ..., n i

 

 

 

 

 

 

bóleklerge ajıratıp, hár bir

D

da

 

,

 

 

 

 

i

, k

dep qaraymız. Ol jaǵdayda

i

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

n i

 

 

 

 

 

 

n 1 n i 1 i

k 1

n i

1

 

1

 

n 1

i)2

 

f

 

i

,

k

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i(n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ik

 

 

 

 

n n n2

 

n

2n2

2n4 i 0

 

i 0

k 0

 

 

 

 

 

 

i 0 k 0

 

 

 

 

 

1

 

n2(n

 

1)n

2n

 

n(n

1)(2n

1)

n2(n

1)2

 

 

 

 

2n2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

6

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

164

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı. Bunnan bolsa

lim

1

 

 

24

n

bolıwı kelip shıǵadı. Demek,

 

xydD

1

 

 

 

(D)

24

 

 

 

 

Ulıwma, kóp jaǵdaylarda funkciyalardıń eseli integralların anıqlamaǵa muwapıq esaplaw qıyın boladı. Sonıń ushın eseli integrallardı esaplawdıń ámelde qolay bolǵan jolların tabıw zárúrligi tuwıladı.

Joqarıda aytıp ótkenimizdey, f(x,y) funkciyanıń eseli integralı hám onı esaplaw (D) oblastqa baylanıslı.

Dáslep, ápiwayı jaǵdayda, (D) oblast tuwrı tórtmúyeshlik oblasttan ibarat bolǵan jaǵdayda funkciyanıń eseli integralın esaplaymız.

18.6-teorema. f(x,y) funkciya (D)

(x,y) R2 : a x b, c y d

oblastta berilgen hám integrallanıwshı bolsın.

Eger x x

a,b

ózgeriwshiniń hár bir tayın mánisinde

d

I(x) f (x,y)dy

c

integral bar bolsa, ol jaǵdayda mına

b d f (x,y)dy dx

a c

integralda bar boladı hám

f (x,y)dD

(D)

b d f (x,y)dy dx

c c

boladı.

Dálil. (D) oblasttı

D

(x,y) R2 : x

i

x x

i

,

y

y y

k

1

i 0, 1, ..., n 1, k 0, 1, ...,

ik

 

 

1

k

 

 

a x0 x1 ... xn b, c y0 y1 ... ym d bóleklerge ajıratamız.

Bul bóliniwdi Pnm dep belgileymiz. Onıń diametri

165

P

max

x2

y2

x

i

x

i 1

x

;

y

y

y .

 

i

k

 

 

i

 

k

k 1

k

n m

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solay etip, f(x,y) funkciya (D) oblastta integrallanıwshı eken, ol usı oblastta

shegaralanǵan boladı. Solay eken, f(x,y) funkciya hár bir

Dik

de shegaralanǵan,

hám demek, ol usı oblastta anıq joqarı hámde anıq tómengi shegaralarına iye boladı:

 

mik

inf

f (x,y) :

(x,y)

Dik

,

 

 

Mik

sup

f (x,y) : (x,y)

Dik

,

 

 

i

0, 1,

...,n 1,

k

0, 1, ..., m 1 .

 

 

Ayqın,

 

x,y

 

Dik

ushın

mik

f (x,y) Mik , dara jaǵdayda,

i

xi,xi 1

ushında mik

f

i,y

Mik

boladı.

 

Teoremanıń shártinen paydalnıp tabamız:

y 1 m dy

yk 1 f

i

,y dy

ik

yk

 

yk

 

 

yaǵnıy

y 1

yk Mikdy,

 

m

y

 

yk

1 f

i

,y dy

 

M

ik

y

k

,

bunda

y

k

y

k

1

y

k

.

 

 

ik

k

 

yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eger keyingi teńsizliklerdi k nıń k

0,

1, 2,...,m 1

mánislerinde jazıp,

olardı aǵzalap qoysaq, ol jaǵdayda

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

 

 

 

m 1

yk

 

 

 

 

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mik

yk

 

 

 

1

f

i ,y dy

 

 

Mik

 

yk ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

k

0

 

 

 

 

 

 

 

yaǵnıy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

 

 

 

d f

 

 

 

 

 

 

 

 

m 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

mik

yk

 

 

iy dy I

i

 

Mik

yk

 

 

 

 

 

 

 

k

0

 

 

 

c

 

 

 

 

 

 

 

 

k

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i 0,1,...,n

1

boladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Endi

keyingi

teńsizliklerdi

 

xi

 

xi

xi 1

xi

ke

kóbeytirip, soń

aǵzalap qosamız. Nátiyjede

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

m

1

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

n

1

 

m

1

 

 

 

 

 

 

 

 

mik

yk

 

xi

 

 

 

I i

 

 

 

xi

 

 

 

Mik yk

 

xi

i

0

k

0

 

 

 

 

 

i

0

 

 

 

 

 

i

0

 

k

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

166

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı.

Ayqın,

n 1

m 1

n 1 m 1

n 1 m 1

 

mik yk xi

mik yk

mikDik s

i 0

k 0

i 0 k 0

i 0 k 0

f(x,y) funkciya ushın Darbudıń tómengi qosındısı,

n 1

m 1

n 1

m 1

 

Mik yk xi

 

MikDik S

i 0

k 0

i 0

k 0

bolsa Darbudıń joqarı qosındısı. Demek,

 

 

n

1

 

 

 

 

 

s

I

i

xi S

(1)

 

 

i

0

 

 

 

Shártke muwapıq f(x,y) funkciya (D) da integrallnıwshı. Ol jaǵdayda

0 da

 

 

 

 

 

 

Pnm

s

f (x,y) dD,

S

 

f(x,y)dD

 

 

(D)

 

 

(D)

 

 

boladı.

 

 

 

 

 

 

(1) qatnastan bolsa,

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

 

 

 

 

 

I

i

xi

 

 

 

i

0

 

 

 

 

qosındınıń limitke iye bolıwı hám bul limit

f (x,y)dD

(D)

ge teń bolıwı kelip shıǵadı:

 

n

1

 

 

 

 

lim

 

 

I i

xi

f (x,y)dD.

Pnm 0 i

0

 

 

(D)

 

Eger

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

 

b

 

lim

 

 

I

1 xi

I(x)dx

0

 

a

Pnm

i

0

 

 

 

 

 

 

hám

167

b I (x)dx

b

d f (x,y)dy dx

a

a

c

ekenligin itibarǵa alsaq, onda

f (x,y)dD

b

d f (x,y)dy dx

 

 

(D)

a

c

 

 

 

 

 

 

 

 

bolıwın tabamız. Bul bolsa teoremanı dáliyilleydi.

 

 

 

1-teorema. f(x,y) funkciya

D

x,y

R2 : a

x

b, c y d

oblastta berilgen hám integrallanıwshı bolsın. Eger y

y

c,d

ózgeriwshiniń

hár bir tayın mánisinde

 

 

 

 

 

I(y)

integral bar bolsa, ol jaǵdayda mına

b

f (x,y)dx

a

d

b f (x,y)dx dy

c

a

integralda bar boladı hám

f (x,y)dD

d

b f (x,y)dx dy

(D)

c

a

 

 

boladı.

Bul teoremanıń dáliyilli joqarıdaǵı teoremanıń dáliyli kibi.

1-teorema hám 18.7-teoremalardan tómendegi nátiyjeler kelip shıǵadı.

1-saldar. f(x,y) funkciya (D) oblastta berilgen hám integrallanıwshı bolsın.

Eger x

x

a,b

ózgeriwshiniń hár bir mánisinde

d

f (x,y)dy integral bar

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bolsa, y

y

c,d

ózgeriwshiniń hár bir tayın mánisinde

b

f (x,y)dx

integral

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bar bolsa, ol jaǵdayda mına

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

d f (x,y)dy dx,

d

 

b f(x,y)dx dy

(2)

 

 

 

a

c

c

a

 

 

 

integrallarda bar boladı hám

168

f (x,y)dD

b

d f (x,y)dy dx

d

b f (x,y)dx dy

(D)

a

c

c

a

 

 

 

 

boladı.

2-saldar. Eger f(x,y) funkciya (D) oblastta berilgen hám úzliksiz bolsa, ol jaǵdayda

f (x,y)dD,

b

d f(x,y)dy dx,

(D)

a

c

 

 

d

b f(x,y)dx dy

c

a

integrallardıń hár biri bar boladı hám olar bir-birine teń boladı.

(18.13) integrallar, dúzilisine muwapıq, eki argumentli funkciyadan dáslep bir argumenti boyınsha (ekinshi argumentin ózgermes esaplap turıp), soń ekinshi argumenti boyınsha alınǵan integrallar. Bunday integrallardı tákirar integrallar dep ataw (tákirar limitlerdey) tábiyiy.

Sonday qılıp, qaralıp atırǵan jaǵdayda eseli integrallardı esapalaw tákirar integrallardı esaplawǵa keltiriler eken. Tákirar integraldı esaplaw bolsa eki ápiwayı (bir argumentli funkciyanıń integralın) Riman integralın izbe-iz esaplaw demek.

1-eskertiw. Joqarıda keltirilgen 18.6-teoremanı dáliyillew jolında kórdik,

tuwrı tórtmúyeshlik (D) oblast

tárepleri sáykes túrde

xi ,

yk bolǵan tuwrı

tórtmúyeshlik

oblastalar

Dik

larǵa

ajıraladı. Ayqın,

bul

elementar oblasttıń

maydanı Dik

xi

yk boladı.

 

 

 

 

Dáslep aytqanımızday,

x ti dx

ke, y ti dy ke almastırıw múmkinligin

hámde a x

b,

c

y d ekenligin itibarǵa alıp, bunnan bılay mına

f (x,y)dD

(D)

kóriniste jazıw ornına

b

d

f (x,y)dy dx yamasa

d

b f(x,y) dx dy

a

c

 

c

a

kibi de jazıp kete beremiz.

Mısal. Mına

 

 

x

 

 

dx dy

 

 

 

 

 

 

1 x 2

y2

3

2

 

 

(D)

 

 

 

 

169

 

 

 

integral esaplansın, bunda (D)

(x,y)

R2 : 0

x

 

1, 0 y 1 .

Integral astındaǵı

 

 

 

 

 

 

f (x,y)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

y2

3

 

 

 

 

 

 

1

2

 

funkciya (D) oblastta úzliksiz. Onda qarlıp atırǵan eki eseli integralda,

 

1

 

 

 

x

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

1

x 2

y2

3

2

 

 

 

 

 

 

integralda bar. 18.7-teoremaǵa muwapıq

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

x

 

 

 

 

dx dy

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

0

1

x 2

y2

3

 

 

 

 

2

 

 

integral bar boladı hám

 

 

x

 

 

dx dy

 

 

 

 

 

(D) 1 x 2

y2

3

2

 

 

 

1

1

 

 

x

 

 

dx dy

 

 

 

 

 

 

 

0

0

1

x 2

y2

3

2

 

 

 

 

boladı. Eger

0

 

xdx

 

 

 

 

 

1

1

x 2 y2

3

 

2

1

2

1

1

x 2 y2

3

 

2 d 1 x 2 y2

0

 

1

 

 

 

 

x

1

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

x

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

2

y

2

y

2

1

 

 

y

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bolıwın esapqa alsaq, onda

 

x dx dy

 

 

1

1

 

 

1

 

dy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

y2 1

y2

 

 

(D)

1 x2

y2

2

0

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

2

ln y

y2 1

ln y

 

y2

2

ln

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

170

 

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в предмете Педагогика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности