Matematikalıq analiz páninen

y 'x

F 'x x,y

F 'y

x,y

tiń x0

, x0

aralıqta úzliksiz bolıwı kelip shıǵadı. Teorema dálillendi.

Mısal. Mına

F x,y

x ey

y ex 2

0

(2)

teńlemeni qarayıq.

Kórinip

tur,

F x,y

x ey

y ex

2

funkciya

x,y

R2 :

x

,

y

kóplikte joqarıdaǵı

1-teoremanıń

barlıq

shártlerin

qanaatlandıradı. Demek,

x

0

,y

0

R2

noqattıń

U

,

x

0

,y

0

y '

F 'x x,y

ey

y ex

F 'y

x,y

x ey

ex

y '

F 'x x,y

F 'y

x,y

F ' x,y

F ' x,y

y ' ey yex

xey ex y ' 0 (H)

x

y

y '

ey

yex

.

ex

xey

Kóp ózgeriwshili funkciyanıń ekstremum mánisleri anıqlamaları dál bir

ózgeriwshili

funkciyanikindey kiritiledi.

f

x

f x1,x2,...,xm

funkciya

qandayda

bir

ashıq

M (M

Rm )

kóplikte

berilgen

bolıp,

x 0 (x 0, x 0,..., x 0 )

M bolsın.

1

2

m

1-anıqlama. Eger x 0

noqatınıń sonday

U (x 0)

x

x ,x

,..., x

m

Rm :

(x, x 0)

1 2

(x1

x10 )2 ...

(xm

xm0 )2

M

dógeregi tabılıp, x

U (x 0) ushın

f (x)

f (x 0)

(f (x)

f (x 0))

bolsa, f(x)

funkciya x 0

noqatta maksimumge (minimumge) iye

delinedi,

maksimumı (minimumı) delinedi.

2-anıqlama. Eger x 0

noqattıń

sonday U (x 0 ) dógeregi tabılıp,

x U (x 0) \ {x 0} ushın f (x)

f (x 0)

(f (x) f (x 0)) bolsa, f(x) funkciya x 0

f (x 0)

max

f x , (f (x 0)

min

f (x) ).

x U (x 0 )

x U (x

0 )

142

Funkciyanıń

maksimum hám minimumı ulıwma at penen onıń

ekstremumı dep ataladı.

Mısal. Mına

x 2

x 2

f x , x

2

1 x 2

x 2

,

1

1

1

2

1

2

U

r

0, 0

x , x

2

R2 : x2

x2

r2

0 r 1

1

1

2

dógeregi alınsa, onda

x1,x2

Ur 0, 0

\ 0, 0

ushın

<f 0, 0

f x , x

2

1 x 2

x 2

1

1

1

2

boladı.

1 hám 2-anıqlamalardan kórinedi, f(x) funkciyanıń x 0 noqattaǵı mánisi

f (x 0) di onıń usı noqat

dógeregindegi

noqatlardaǵı

mánisleri menen ǵana

Funkciyanıń ekstremumınıń zárúrli shárti.

f

x ,x

2

,..., x

m

funkciya ashıq M (M

Rm ) kóplikte berilgen. Aytayıq,

1

f x ,x

,...x

m

funkciya

x 0

(x 0, x 0,..., x 0 )

noqatta

maksimumge

1

2

1

2

m

(minimumge) iye bolsın. Anıqlamaǵa muwapıq

x 0

(x 0, x 0,..., x 0 )

noqattıń

1 2

m

sonday U (x 0)

М dógeregi tabıladı,

x , x

2

,..., x

m

U (x 0) ushın

1

f

x ,x

2

,...,x

m

f (x 0,x 0,..., x 0 )

(f x , x

2

,..., x

m

f (x 0, x 0,..., x 0 )),

1

1 2

m

1

1 2

m

dara jaǵdayda

f (x ,x 0,...,x 0 )

f (x 0,x 0,...,x 0 )

(f (x ,x

0,...,x

0 )

f (x 0,x 0,...,x 0 ))

1 2

m

1 2

m

1 2

m

1 2

m

boladı. Nátiyjede bir ózgeriwshige

x1

ge baylanıslı bolǵan

f (x1 , x20,..., xm0 )

funkciyanıń U (x 0 )

de eń úlken (eń kishi) mánisi f (x 0, x 0,..., x

0 ) ge eriskenin

1

2

m

kóremiz. Egerde x 0 noqatta f ' (x 0) dara tuwındı bar bolatuǵın bolsa, onda Ferma

f '

(x 0, x 0,..., x 0

)

f '

(x 0)

0

x1

1 2

m

x1

f '

(x 0) 0,

f '

3

(x 0) 0,....,

f '

(x 0) 0

x2

x

xm

1-teorema. Eger f(x) funkciya x 0

noqatta ekstremumge erisse hám usı

noqatta barlıq

f '

, f '

,..., f '

dara tuwındılarǵa iye bolsa, onda

x1

x2

xm

f ' (x 0)

0, f '

(x 0)

0,...,

f '

(x 0)

0

x1

x2

xm

boladı.

Biraq f(x) funkciyanıń bazıbir x '

Rm noqatta barlıq dara tuwındılarǵa

iye hám

f '

x '

0, f '

x '

0,..., f '

x '

0

x1

x2

xm

f x1,x2

x1,x2

funkciyanı

qarayıq. Bul

funkciya

f '

x , x

2

x

2

,

f '

x , x

2

x

1

dara

x1

1

x2

1

tuwındılarına iye

bolıp,

olar

(0,0)

noqatta

nol’ge

aylanadı.

Lekin

f x1,x2

x1,x2

funkciya

(0,0)

noqatta

ekstremumge

iye

emes.

(Bul

1-eskertiw. Eger f(x) funkciya

x 0 noqatta differenciallanıwshı

bolsa,

onda funkciyanıń ekstremumǵa erisiwiniń zárúrli shártin mına

df (x 0)

0

(3)

144

onıń usı noqatta barlıq f '

, f '

,..., f '

dara tuwındılarǵa iye bolıwı kelip shıǵadı.

x1

x2

xm

x 0 noqatta funkciya ekstremumge erisiwinen teoremaǵa muwapıq

f ' (x 0)

0,

f '

(x 0) 0,..., f '

(x 0) 0

x1

x2

xm

Baǵıt boyınsha tuwındı

Bizge málim, bir ózgeriwshili y

f (x)funkciyanıń

x

R,y

R

f

tuwındısı bul funkciyanıń ózgeriw tezligin bildiretuǵını

x

málim. Kóp ózgeriwshili y

f x1,x2,...,xm

funkciyanıń

x ,x

2

,..., x

m

Rm,y R

dara tuwındılarıda bir ózgeriwshili funkciyanıń

1

tuwındısına uqsas ekenligin itibarǵa alıp, bul

f

,

f

,...,

f

dara

x1

x2

xm

tuwındılarda y

f x1,x2,...,xm funkciyanıń sáykes Ox1,Ox2,...,Oxm

qaraymız, y

f (x , x

2

)

f (A)

funkciya ashıq M kóplikte (M R2) berilgen

1

bolsın. Bul kóplikte qálegen A (x 0, x 0)

noqatın alıp, ol arqalı bazıbir tuwrı sızıq

0

1

2

x

1

x 0

x

2

x 0

1

cos ,

2

cos .

bolatuǵını kelip shıǵadı. Ádette cosα

hám

cosβ

lar

tuwrı sızıqtıń

baǵıtlawshı kosinusları delinedi.

tuwrı sızıǵında A0

den ózgeshe hám M kóplikke tiyisli bolǵan A noqattı

A

(x1,x2) alıp, A0A kesindi M kóplikke tiyisli bolsın. Egerde A noqat A0 ge

qaraǵanda

tuwrı sızıqtıń oń baǵıtı tárepinde bolsa (sızılmadaǵıday), onda A0A

kesindi uzınlıǵı

A0,A

nı oń belgi menen, teris baǵıt tárepinde jaylasqan

bolsa, teris belgi menen alıwǵa kelisemiz.

1-anıqlama. A noqat

baǵıtlanǵan tuwrı sızıq boylap

A0

noqatqa

umtılǵanda (A

A0) mına qatnas

f A

f A0

f (x1, x2)

f (x10, x20)

A0, A

((x10, x20),(x1x2))

diń

limiti bar bolsa,

bul

limit

f

x ,x

2

f

A

funkciyanıń

A

(x 0, x 0)

1

0

1

2

noqattaǵı baǵıtı boyınsha tuwındısı dep ataladı hám

f (A )

f (x 0, x 0)

0

yamasa

1

2

dep belgilenedi. Demek

f

lim

f

A

f

A0

A , A

A

A0

0

Endi

f

x1, x2

funkciyanıń

baǵıt

boyınsha

tuwındısınıń

bar

bolatuǵınlıǵı hámde onı tabıw máselesi menen shuǵıllanamız.

1-teorema. f x , x

2

funkciya ashıq

M kóplikte

(M

R2)

berilgen

1

bolsın.

Eger

bul

funkciya

A

(x

0, x

0)

noqatta

((x 0, x 0)

M )

0

1

2

1

2

differenciallanıwshı bolsa, onda funkciya usı noqatta qálegen

baǵıtı boyınsha

tuwındıǵa iye hám

f (A )

f (x 0, x 0)

f (x 0,x 0)

f (x 0,x 0)

0

1

2

1

2

cos

1

2

cos

(13.8)

x1

x2

Dálil.

Shártke

muwapıq

f x , x

2

funkciya

A

(x 0, x 0)

noqatta

1

0

1

2

f A

f A

f (x , x

2

)

f (x 0, x 0)

0

1

1

2

ushın

f (x 0, x

0)

x 0)

f (x 0, x

0)

x 0)

f A

f

A

1

2

(x

1

1

2

(x

2

o

(1)

0

x1

1

x2

2

boladı, bunda

A , A

(x

1

x 0)2

(x

2

x

0)2

0

1

2

(1) teńliktiń eki tárepin

A0, A ǵa bólsek, onda

f A

f A

f (x 0, x

0) x

1

x 0

f (x 0, x

0) x

2

x 0

o

0

1

2

1

1

2

2

(2)

A0, A

x1

x2

boladı.

Nátiyjede (2) teńlik mına

f A

f A0

f (x 0, x 0)

f (x 0,x

0)

0

1

2

cos

1

2

cos

A0, A

x1

x2

kóriniske keledi. Bul teńlikte A

A0

ge (yaǵnıy

0 ge) limitke ótsek, onda

f A

f A

f A

f A

f (x 0, x 0)

f (x 0, x 0)

lim

0

lim

0

1

2

cos

1 2

cos

A , A

x

x

A A0

0

1

2

0

boladı. Demek,

f A

f (x

0, x

0)

f (x 0, x 0)

f (x

0, x

0)

0

1

2

1

2

cos

1 2

cos

1

x1

x2

f x , x

2

аrctg

x1

1

x2