Matematikalıq analiz páninen

n 1f (x10

(x1 x10), x20

(x2 x20)) x

x 0 n 1 .

xn 1

2

2

2

anıqlaması keltirilgen edi. Onı esletip ótemiz. Eger kópliktegi

R hár bir x

sanǵa qandayda bir qaǵıyda yamasa nızamǵa muwapıq kóplikten Y

R bir y

san sáykes qoyılǵan bolsa, X kóplikte funkciya berilgen dep aytılar hám ol

f : x

y yamasa y f (x)

teńlemeni qarayıq. Qandayda bir x0

sandı (x0 (a,b)) alıp, onı

joqarıdaǵı

teńlemedegi x tiń ornına qoyamız. Nátiyjede y ti tabıw ushın tómendegi

F(x0,y)

0

(1)

F

x,y

y

x2,

eger

x

0

bolsa,

y2

x,

eger

x

0

bolsa

bolsın. Onda

F

x,y

0

(2)

teńleme x

0

0 bolǵanda jalǵız y

x2

sheshimge, x

0

0 bolǵanda eki

0

y

x0

,

y

-

-x0

y

2

x 2 1

132

F x,

2

0

x 2

1

x

y

2

:

F x,

2

0

x 2

1

x 2 1

F

x,y

x

y

1 sin y

0

(4)

2

teńlemeni qarayıq. Onı tómendegishe

x

y

1 sin y

(y)

y

- ,

2

kóriniste

jazıp alamız. Kórinip

tur,

(y) funkciya

,

de úzliksiz hám

'

y

1

1 cos y

0 tuwındıǵa iye.

2

Onda keri funkciya haqqındaǵı teoremaǵa muwapıq (1-bólim, 5-bap, 7-§)

y

1

x

funkciya bar. Demek,

,

den alınǵan x tiń hár bir mánisinde (4)

teńleme jalǵız y

1 x sheshimge iye, bunnan

F

x, 1

x

0.

Hár bir x ke

1 x

ti sáykes qoyıp,

x

1 x : F(x,

1(x))

0

ayqın emes funkciyaǵa iye bolamız.

3. Joqarıda keltirilgen (2) teńlemede x

0 de

F x,y

x 2 y2 ln y 0

y 0

teńlemeni qarayıq. Bul teńleme x tıń

,

aralıqtan alınǵan hesh bir mánisinde

sheshimge iye emes. Sebebi bárqulla y2

ln y 0. Bul jaǵdayda berilgen teńleme

járdeminde funkciya anıqlanbaydı.

1-eskertiw. Meyli mına

F

x,y

0

y

1 x2, y

1 x2

x

1 x 2 ,

F x, - 1 - x 2

0

1-teorema. F(x,y) funkciya x

0

,y

0

R2 noqattıń bazıbir

U

h,k

x

0

,y

0

x,y

R2 : x

0

h x x

0

h,y

0

k y y

0

k

dógereginde

h

0, k 0

berilgen hám ol tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:

134

1) Uh,k

x0;y0

de úzliksiz;

2) x ózgeriwshiniń

x0

h;x0

h aralıqtan alınǵan hár bir tayınlanǵan mánisinde

y ózgeriwshiniń funkciyası sıpatında ósiwshi;

3) F(x0,y0)

0 .

Onda (x0, y0) noqattıń sonday

U

,

x

0

,y

0

x,y

R2

: x

0

x x

0

,

y

0

y y

0

dógeregi

0

h,

0

h tabılıp;

1’)

x

x0

,

x0

ushın

F

x,y

0

teńleme jalǵız y sheshimge

y

y0

,y0

iye, yaǵnıy F(x,y)

0

teńleme

járdeminde

x

y : F x,y

0

ayqın emes kórinistegi funkciya anıqlanadı.

2’) x

x0

bolǵanda oǵan sáykes kelgen y

y0 boladı,

3’)

ayqın

emes

kóriniste

anıqlanǵan

x

y : F x,y

0

funkciya

x0

;

x0

aralıqta úzliksiz boladı.

Dálil. Uh,k

x0,y0

dógerekke

tiyisli bolǵan

x0,y0

,

x0,y0

noqatların alayıq. Kórinip

tur,

y0

,y0

aralıqta F(x,y) funkciya

ósiwshi

boladı.

Demek,

y0

y.0

F x0,y0

F x0,y0

y0

y0

F x0,y0

F x0,y0

Teoremanıń 3-shártine muwapıq

F x0,y0

0,

F x0,y0

0.

135

Teoremanıń 1-shártine muwapıq F(x,y) funkciya Uh,k

x0,y0

de úzliksiz.

Sonlıqtan F x,y0

hám F x,y0

funkciyalar x0

h,x0

h aralıqta

5-bap,

7-§)

x0 noqattıń

sonday

dógeregi

x0

, x0

tabılıp

0

h ,

x

x0

,x0

ushın

F

x,y0

0,

F

x,y0

0

boladı.

Kórinip tur,

x0,y0

noqattıń mına

U

h,k

x

0

,y

0

x,y

R2 : x

0

x x

0

,y

0

k y y

0

k

dógeregi ushın teoremanıń barlıq shártleri orınlana bermeydi; sebebi

U ,k

x0,y0

Uh,k

x0,y0

x*

x0

,x0

noqatın

alıp, F x*,y

funkciyanı

qarayıq. Bul funkciya,

joqarıda

aytılǵanına

muwapıq

y0

,y0

aralıqta úzliksiz hám onıń

shetki

noqatlarında túrli belgili mánislerge iye:

F x*,y0

0,

F x*y0

0.

Bul jaǵdayda Bol’cano-Koshidiń birinshi teoremasına muwapıq (qaralsın, 1-

bólim, 5-bap, 7-§) sonday y * tabılıp

y*

y0

,y0

,

F

x*,y *

0

boladı. Bul tabılǵan y * jalǵız boladı. haqıyqattanda,

y y*

F x*,y

F x*,y * ,

y

y0

,y0

sebebi, F(x,y) ósiwshi bolǵanlıǵı sebepli, y

y * ushın F x,*y

F x,*y *

hám

y

y * ushın F

x,*y

F x,*y boladı.

Solay

etip,

x

tiń

x0

, x0

aralıǵınan

alınǵan

hár

bir

mánisinde

F(x 0,y)

0 teńleme jalǵız y sheshimge iye ekenligin kórsetedi. Bul bolsa F(x,y)=0

teńleme járdeminde

x

y :

F(x,y)

0

(6)

x

x0 bolsın. Onda teoremanıń 3-shárti

F

x0,y0

0 den, x0

ge y0 di

sáykes qoyılǵandaǵana

x0

y0 :

F x0,y0

0.

Demek, x

x0 de ayqın emes funkciyanıń mánisi y0 ge teń boladı.

Endi

ayqın emes

funkciyanıń

x0

,

x0

aralıqta

úzliksiz bolıwın

kórsetemiz.

Kórinip tur, x

x0

,

x0

ke sáykes qoyılatuǵın y

y0

,y0

boladı. Bul bolsa ayqın emes funkciyanıń x

x0

noqatta úzliksiz

ekenligin

bildiredi.

Ayqın emes funkciyanıń

x*

x0

,

x0

noqatta úzliksiz bolıwın

kórsetiw bul funkciyanıń x0

noqatta úzliksiz bolıwın kórsetiw sıyaqlı boladı.

Haqıyqattanda F

x,y

0 teńleme

x0,y0 noqattıń dógeregi U ,

x0,y0

de ayqın emes funkciyanıń anıqlanǵanlıǵınan, sonday y*

y0

,y0

tabılıp,

F(x*,y*)

0 boladı. Joqarıdaǵı aytılǵanlardı (x*,y*)

noqatına

qollap,

F(x,y)=0

úzliksiz bolıwın tabamız. Demek, ayqın emes funkciya x0

, x0

aralıqta

úzliksiz boladı. Teorema dálillendi.

1-eskertiw. 1-teorema, F(x,y) funkciya x ózgeriwshiniń

x0

, x0

Biz joqarıda F

x,y

0 teńlemeni (x0, y0) noqatınıń dógereginde x ti y tiń

funkciyası sıpatında anıqlaytuǵının kórsetetuǵın teoremanı keltirdik.

Dál usıǵan uqsas, F(x,y)=0 teńleme (x0, y0) noqattıń dógereginde y ti x tiń

funkciyası sıpatında anıqlaytuǵının kórsetetuǵın teoremanı keltiriw múmkin.

2-teorema. F(x,y) funkciya (x

0

,y

0

) R2 noqattıń qandayda bir U

h,k

((x

0

,y

0

))

dógereginde h 0,k

0

berilgen hám ol tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:

U ,

x0,y0

x,y

R2 : x0

x x0

,y0

y y0

dógeregi

0

h,

0

k

tabılıp,

1`)

x

x0

;

x0

ushın

F(x,y)=0

teńleme jalǵız y sheshimge

y

y0

,

y0

iye, yaǵnıy F(x,y)=0 teńleme

járdeminde

x

y :

F(x,y)

0

ayqın emes kórinistegi funkciya anıqlanadı;

2`) x

x0

bolǵanda oǵan sáykes keletuǵın y

y0

boladı;

3`)

ayqın

emes

kóriniste

anıqlanǵan

x

y :

F x,y

0

funkciya

x0

: x0

aralıqta úzliksiz boladı;

4`) Bul ayqın emes kórinistegi funkciya

x0

;

x0

aralıqta úzliksiz

tuwındıǵa iye boladı.

Dálil. Shártke muwapıq F 'y

x,y

funkciya Uh,k

x0,y0

de úzliksiz hám

F 'y x0,y0

0 . Anıqlıq ushın F 'y x0,y0

0

bolsın. Onda úzliksiz funkciyanıń

qásiyetine muwapıq

x0,y0

noqattıń sonday

U

h,k

x

0

,y

0

x,y

R2 : x

0

x x

0

,y

0

y y

0

dógeregi

0

h,

0

k

tabılıp,

x,y

U ,

x0,y0

ushın

F 'y

x,y

0. boladı. Demek, F(x,y) funkciya x ózgeriwshiniń

x0

: x0

teńleme x0

, x0

da

x

y :

F x,y

0

ayqın emes funkciyanı anıqlaydı, x

x0

bolǵanda oǵan sáykes keletuǵın y y0

boladı hám ayqın emes funkciya

x0

,

x0

da úzliksiz boladı.

139

Endi ayqın emes funkciyanıń tuwındısın tabamız. x0

noqatqa sonday

x

ósim bereyik, x0

x

x0

,

x0

bolsın. Nátiyjede

x

y :

F(x,y)

0

ayqın emes funkciyada ósimge iye bolıp,

F

x0

x,

y0

y

0

boladı. Demek,

F x0,y0

F

x0

x,

y0

y

F

x0,y0

0 .

(1)

Shártke muwapıq F 'x

x,y

hám

F 'y

x,y

dara tuwındılar

U ,

x0,y0

de

úzliksiz.

Solay etip F(x,y) funkciya

x0,y0

noqatta differenciallanıwshı

F x0,y0

F 'x

x0,y0

x F 'y

x0,y0

y

x

y.

(1`)

Bul qatnastaǵı α hám β lar ∆x hám ∆y lerge baylanıslı hám

x

0 , y

0

de

0,

0.

y

F '

x

0

,y

0

F '

x

0

,y

0

lim

lim

x

x

.

x

F 'y

x0,y0

x

0

x 0

F 'y x0,y0

y '

F 'x x0,y0

.

x x0

F 'y x0,y0

U , x0,y0

de F 'x (x,y), F'y(x,y)

dara tuwındılar úzliksiz hám F '(x,y) 0