Добавил:

aruzhan_mn Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Нукусский филиал Ташкентского университета информационных технологий имени Мухаммада Ал-Хоразмий

Предмет:

Педагогика

Файл:

Matematikalıq analiz páninen

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

11.08.2024

Размер:

9.98 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Sonıda	aytıw	kerek, f x1,x2,..., xm	funkciyanıń	xi	, xi	,....,xi
				1	2	n

ózgeriwshileri boyınsha túrli tártipte alınǵan dara tuwındılar berilgen funkciyanıń túrli aralas tuwındıların júzege keltiredi.

Mısallar 1. Mına

f x , x	2	arctg x1	x	2	0
1	2	x2		2
		x2

funkciyanıń 2-tártipli dara tuwındıların tabamız:

											f										x2		,				f											x1					,
											x1							x12				x22	,				x2									x12				x22			,
						2f										f												x			2												2x x		2
																															2												1		2			,
						x 2			x1						x1							x1 x 2										x		2									2			2 2		,
							1																			1								2							x1			x2
							2f													f												x		2									x 2			x 2
																																		2									1			2				,
					x1 x2							x2							x1						x2			x			2				x 2								2			2 2				,
																															1				2							x1			x2
						2f												f															x		1								x 2			x 2
																																			1								1			2					,
				x2 x1							x1						x2						x1							x		2			x		2						2			2 2					,
																																1					2						x1			x2
						2f										f																x	1										2x x			2
																																	1										1			2			.
						x 2			x2						x2							x2					x 2								x 2								2			2 2			.
							2																			1									2						x1			x2
2. Mına
										x x							x			2		x 2				eger								x 2				x					0			bolsa,
										x x			2		1							2 ,				eger								x 2				x		2			0			bolsa,
		f x , x						1					2				x12					x22													1				2
		f x , x					2										x12					x22
			1				2
																				0,							eger								x12			x22					0			bolsa
funkciyanıń aralas tuwındıların tabamız.
Aytayıq		x1, x2						0, 0				bolsın. Onda
	f	x				x12		x22								4x12x22								,					f						x1			x12					x22					4x12x22				,
	x1	x	2 x 2					x 2							2					2 2				,				x2							x1			x12					x22				x12				x22 2	,
	x1		2 x 2					x 2							2					2 2								x2										x12					x22				x12				x22 2
							1	2						x1							x2

121

x12

x22

8x12x22

x1 x2

x 2

2 2

x12

x22

8x12x22

x2 x1

x1 x2

x 2

2 2

boladı.

Berilgen f

x1, x2

funkciyanıń

(0,0)

noqattaǵı

dara

tuwındıların

anıqlamaǵa muwapıq tabamız:

f 0, 0

lim

x1, 0

f 0, 0

0, 0

lim

f 0, 0

2f 0, 0

0, 0

x23

lim

x1 x2

2f 0, 0

x1, 0

0, 0

x13

lim

x2 x1

x13

Bul keltirilgen

mısallardan

kórinedi,

funkciyanıń

hám

aralas tuwındılar bir-birine teń bolıwıda, bolmaslıǵıda múmkin eken.

1-teorema. f

x , x

funkciya

ashıq

M (M

R2)

kóplikte berilgen

bolıp, usı kóplikte

f '

jánede

f "

aralas tuwındılarǵa iye bolsın. Eger

x x

aralas tuwındılar (x 0, x

M noqatta úzliksiz bolsa, onda usı noqatta

fx"1x2 (x10, x20) fx"2x1 (x10, x20)

boladı.
	Dálil.(x 0, x 0)			noqat			koordinatalarına				sáykes			túrde		sonday
	1		2
x1	0, x2		0 ósimler bereyik,
	x , x	2		R2 : x 0	x	1	x 0	x , x		0	x	2	x 0	x	2	M
	1	2		1		1	1	1	2			2	2		2
								122

bolsın. Bul tuwrı tórtmúyeshlik ushların kórsetetuǵın (x 0,x 0),(x 0																																																					x ,x 0),
																																													1	2						1	1	2
(x10,x20		x2), (x10			x1, x20									x2) noqatlarda funkciyanıń mánislerin tawıp,
olardan mına
P	[f (x	0	x , x 0				x			2			)	f (x			0							x , x 0)										f (x 0, x 0													x		2		)		f (x 0, x 0)]
		1	1	2						2						1									1						2								1					2					2				1	2
ańlatpasın hasıl qılamız. Bul ańlatpanı tómendegi eki
P	[f (x 0		x , x 0			x		2		)				f (x	0									x , x 0)]									[f (x 0, x 0														x			2		)	f (x 0, x 0)],
	1		1	2				2						1										1					2										1					2						2			1	2
P	[f (x 0		x , x 0				x		2			)		f (x 0, x							0							x			2	)]		[f (x						0						x , x 0)							f (x 0, x 0)]
	1		1	2					2						1					2											2								1							1				2			1	2
kóriniste jazıw múmkin.
	Endi berilgen, f				x1, x2								funkciya járdeminde x1																													ózgeriwshige baylanıslı
bolǵan
					x	1								f (x ,x					0						x			2		)			f (x ,x 0),
						1								1				2										2											1	2
x2	ózgeriwshige baylanıslı bolǵan
					x		2							f (x	0								x , x						2		)		f (x 0, x									2		)
							2							1										1					2										1			2
funkciyalardı dúzeyik.							x1						,		x2								funkciyalar
												' x		1				f '				(x , x					0						x			2			)			f		'	(x , x		0)
														1					x1					1			2									2							x1			1 2
												' x		2				f '				(x		0								x , x			2			)				f		'	(x	0, x	2	)
														2				x2					1									1			2								x2		1		2
tuwındılarǵa iye bolıp, Lagranj teoreması boyınsha
					' x				1					f "				(x , x 0													2		x	2			) x				2		,
									1					x x		2				1				2							2			2							2
														1		2
					' x						2			f	"				(x				0					1				x , x				2			)	x			1											(2)
											2			x x				1					1					1					1			2							1
															2			1
boladı, bunda			0	,	2							1.
				1	2
	Joqarıda keltirilgen P ańlatpanı																					x1			hám											x2					funkciyalar arqalı mına
							P							(x10										x1)									(x10),
							P							(x 0										x	2	)							(x		0)
															2										2									2

kóriniste jazıp, soń jáne Lagranj teoremasın qollanıp tómendegilerdi tabamız:

P	'(x 0	'	x	1	) x ,	P	'(x 0	'	x	2	) x	2
	1	1		1	1		2	2		2		2

123

														0		'1,		'2			1 .																					(3)
Nátiyjede (2) hám (3) ańlatpalardan
					P	f	"			(x			0	'	x , x 0					2			x	2		) x			1		x	2			,
						x x		2				1		1	1			2		2				2					1			2
							1	2
					P	f "					(x 0			1	x , x 0						'		x		2		) x			1	x		2
							x x		1				1	1		1		2			2				2					1			2
							2		1
bolıp, olardan
		f "		(x 0		'	x , x						0	2	x	2	)	f	"			(x 0						1			x , x 0						'	x	2		)	(4)
		x x	2	1		1		1 2						2		2		x x			1		1					1			1 2						2		2
		1	2																2		1
bolatuǵını kelip shıǵadı.
Shárt boyınsha						f "	hám							f "	aralas tuwındılar (x																0, x				0)	noqatta úzliksiz.
						x1x2								x2x1																	1			2
Sonıń		ushın					(4)							de									x1					0,			x2					0						(bunda
x0	'	x	x0,x0			2				x		2		x0,				x 0					1				x	1			x	0,x				0	'	x		2		x 0)
1	1	1		1	2	2						2		2				1					1					1			1				2		2			2		2

limitke ótsek,

fx"1x2 (x10, x20) fx"2x1 (x10, x20)

boladı. Bul teoremanı dálilleydi.

Eger f x , x	2	funkciya ashıq M (M R2) kóplikte joqarı tártipli úzliksiz
1	2

dara tuwındılarǵa iye bolsa, bul tuwındılarǵa qarata joqarıdaǵı teoremanı qaytadan qollanıw múmkin.

Máselen, fx'1 , fx'2 , fx''1x2 lerge teoremanı qollap tómendegilerdi tabamız:

							f "'						f "'						f "'						,
							x x x		2				x x x		1					x x x				1
							1	1	2				1	2	1						2	1		1
							f "'						f "'							f "'
							x x x			2			x x x			1					x x x				1
							1	2		2			2	2		1					2		2		1
f (IV )				f (IV )				f	(IV )						f		(IV )								f (IV )				f (IV )			.
x x x x			2	x x x x			2	x x x x					1			x x x x					2				x x x x			1	x x x x			1
1	1	2	2	1	2	1	2		1		2	2	1				2	1	1		2				2	1	2	1	2	2	1	1

Funkciyanıń joqarı tártipli differencialları. Kóp ózgeriwshili funkciyanıń joqarı tártipli differencialı túsinigi keltiriwden aldın, funkciyanıń n n 1 márte differenciallanıwshılıǵı túsinigi menen tanısamız.

f(x) funkciya ashıq M (M				Rm ) kóplikte			berilgen		bolıp, x 0 M
bolsın.Bizge málim f(x) funkciyanıń x 0						noqattaǵı ósimi mına
f (x 0) A	x	1	A	x	2	... A x	m	o	.
1		1	2		2	m	m
					124

kóriniste jazılsa, funkciya x 0

noqatta differenciallanıwshı dep atalar edi, bunda

A , A ,..., A

turaqlı

sanlar,

...

2 .

Bul

1 2

jaǵdayda A

f (x

0 )

1,2,..., m .

Aytayıq, f(x) funkciya M kóplikte f 'x1, f 'x2,...,

f 'xm

dara tuwındılarǵa iye

bolsın. Eger bul dara tuwındılar x 0

noqatta differenciallanıwshı bolsa, f(x) usı

noqatta eki márte differenciallanıwshı funkciya dep ataladı.

Ulıwma, f(x) funkciya M kóplikte barlıq n 1- tártipli dara tuwındılarǵa

iye bolıp, bul dara tuwındılar x 0

M noqatta differenciallanıwshı bolsa, f(x)

funkciya x 0 noqatta n márte differenciallanıwshı funkciya dep ataladı.

2-teorema. Eger ashıq M kóplikte f(x) funkciyanıń barlıq n-tártipli dara

tuwındıları bar hám x 0

M noqatta úzliksiz bolsa, f(x) funkciya x 0

noqatta n

márte differenciallanıwshı boladı.

Meyli,

f x

x ,x

,...,x

funkciya

ashıq M (M

Rm )

kóplikte

berilgen bolıp, ol x

x1,x2,...,xm

noqatta differenciallanıwshı bolsın.

Onda bul funkciyanıń x noqattaǵı differencialı

dx1

dx2 ...

dxm

(5)

boladı, bunda dx1,dx2,...,dxm ler x1, x2,..., xm ózgeriwshilerdiń ıqtıyarlı ósimleri.

Endi f(x) funkciya x M noqatta eki márte differenciallanıwshı bolsın.

2-anıqlama. f(x) funkciyanıń x noqattaǵı differencialı df(x) diń differencialı berilgen f(x) funkciyanıń ekinshi tártipli differencialı dep ataladı

hám d 2 f dep belgilenedi:

d2f d df .

Joqarıdaǵı (5) ańlatpanı itibarǵa alıp, differenciallaw qaǵıydalarınan paydalanıp tómendegini tabamız:

d2f d df

...

125

dx1d

dx2d

...

dxmd

dx1

dx2 ...

dxm dx1

x12

x1 x

x1 xm

dx1

dx2 ...

dxm

dx2

x22

x2 x1

x2dxm

+ … … +

dx1

dx2

...

dxm dxm

(6)

xm x1

xm2

xmx2

dx2

2 ...

dx1dx2

dx1dx3

...

dx1dxm

x1 x

dx2dx3

dx2dx4

...

dx2dxm

x2 x

2	2 f	dxm 1dxm .
	xm 1 xm

f (x1, x2,..., xm ) funkciyanıń	(x1, x2,..., xm ) noqattaǵı úshinshi, tórtinshi

hám taǵı sonday tártipli differencialları da dál joqarıdaǵıday anıqlanadı.

Ulıwma, f (x) funkciyanıń x noqatındaǵı (n-1) tártipli differencialı dn 1f (x) tıń differencialı berilgen f(x) funkciyanıń usı noqattaǵı n- tártipli differencialı dep ataladı hám dn f dep belgilenedi. Demek,

dn f d dn 1f .

Biz joqarıda f(x) funkciyanıń ekinshi tártipli differencialı onıń dara tuwındıları arqalı (6) qatnası menen ańlatatuǵının kórdik.

f(x) funkciyanıń keyingi tártipli differenciallarınıń funkciya dara tuwındıları arqalı ańlatpası barǵan sayın quramalasıp baradı. Sol sebepli joqarı

126

tártipli differenciallardı, simvollıq kóriniste, ápiwayıraq formada ańlatıw áhmiyetli.

f(x) funkciya differencialı

df	f	dx1	f	dx2 ...	f	dxm

	x1		x2		xm

di simvollıq kóriniste (f ti formal túrde qawsırmadan shıǵarıp) tómendegishe

dx1

dx2

...

dxm f

jazamız. Onda funkciyanıń ekinshi tártipli differencialın

d2f

...

(7)

dep qaraw múmkin. Bunda qawsırma ishindegi qosındı kvadratqa kóterilip, soń f ke «kóbeytiriledi». Keyin dáreje kórsetkishleri dara tuwındılar tártibi dep esaplanadı.

Usı tárizde kiritilgen simvollıq ańlatıw f(x) funkciyanıń n-tártipli differencialın

											n
dn f		dx	1		dx	2	...		dx	m	f

	x1			x2				xm

dep jazıw imkaniyatın beredi.

Kóp ózgeriwshili funkciyanıń Teylor formulası

1-bólim, 6-bap, 7-§ de bir ózgeriwshili funkciyanıń Teylor formulası, onıń túrli formada jazılıwı hámde Teylor formulasınıń túrli formadaǵı qaldıq

aǵzaları úyrenilgen edi. Máselen, F(t) funkciya t

noqattıń dógereginde

berilgen bolıp, onda F '(t),

F"(t),...,F(n

1)(t) tuwındılarǵa iye bolǵanda

F t

F ' t

t t

F " t

2 ...

F(n)

t t

R t

(1)

n !

boladı, bunda qaldıq aǵza Rn (t) bolsa tómendegishe

127

a) Koshi kórinisinde R

F (n

n !

b) Lagranj kórinisinde R

F(n

1)!

v) Peano kórinisinde

((t

)n )

jazıladı (bunda 0

x ,x

,..., x

funkciya

ashıq

M (M

Rm )

kóplikte

berilgen. Bul

kóplikte

(x 0, x

0,..., x 0 )

noqattı

alıp,

onıń

U ((x

0, x 0,..., x 0 ))

dógeregin

qarayıq.

Kórinip

tur,

' , x ' ,..., x '

U ((x 0, x

0,..., x 0

))

noqat

penen

(x 0, x

0,..., x 0 )

noqattı tutastırıwshı tuwrı sızıq kesindisi

x , x

,..., x

: x

t(x '

x 0),

x20

t(x2'

x20),

...,

xm0

t(xm'

xm0 );

t 1

usı U ((x 0, x

0,..., x

0 )) dógerekke tiyisli boladı.

Aytayıq,

x ,x

,..., x

funkciya U ((x 0, x 0,..., x

0 ))

márte

differenciallanıwshı bolsın.

Endi f

x1,x2,..., xm funkciyanı A kóplikte qarayıq. Onda

x ,x

,...,x

f (x

t(x '

x 0),x

t(x '

0),...,x

t(x '

x 0 ))

bolıp, f

x1,x2,...,xm

t ózgeriwshiniń [0,1] de berilgen funkciyasına aylanıp

qaladı:

F t

f (x10

t(x1' x10);x20

t(x2'

x20),...,xm0

t(xm'

xm0 )),

1 . (2)

Bul funkciyanıń tuwındıların esaplayıq:

F '

x1'

x10

x2'

x20

...

xm'

xm0

x1'

x10

x2'

x20

...

xm'

xm0

f ,

F "

x1'

x10

x2'

x20

...

xm'

xm0

x12

x22

xm2

128

x1'

x10

x2'

x20

...

xm'

xm0

xm'

xm0

xm2

1 xm

x1 x2

x1'

x10

x2'

x20 ...

xm'

xm0

f .

Ulıwma k tártipli tuwındı mına

F(k)

x1'

x10

x2'

x20 ...

xm'

xm0

1, 2,...,n

(3)

kórinisinde boladı. (Onıń durıslıǵı matematikalıq indukciya metodı járdeminde dálillenedi).

Joqarıdaǵı F '

t ,

,..., F (n) t

tuwındılarınıń ańlatpalarına kirgen

f x1,x2,..., xm

funkciyanıń barlıq dara tuwındıları

(x10

t(x1'

x10), x20

t(x2'

x20),...,xm0 t(xm'

xm0 ))

noqatta esaplanǵan.

(1) formulada t0

0 hám t

1 dep alınsa, mına

F 1

F 0

F '

F " 0

...

F (n)

F(n 1)

2 !

n 1

n !

(4)

hasıl boladı. (Bul jerde qaldıq aǵza Lagranj kórinisinde alınǵan).

(3) hám (4) ańlatpalarınan paydalanıp tómendegilerdi tabamız:

f (x 0, x 0,..., x 0 ),

x ' , x '

,..., x '

F(k) 0

x1'

x10

x2'

x20

xm'

xm0

...

f ,

1, 2,...,n

Keyingi

teńliktegi f

x1,x2,..., xm

funkciyanıń barlıq

dara

tuwındıları

(x 0, x 0,..., x 0 ) noqatta esaplanǵan.

1 2

Demek, (1) formulaǵa muwapıq

129

f x' ,x'

,...,x'

f (x 0,x 0,...,x 0

)

x 0

...

x 0

1 2

x1'

x10

x2'

x20

...

(xm'

xm0 )f

2 !

x '

x 0

x '

x 0

...

x '

x 0

n !

x '

x 0

x '

x 0

...

x '

x 0

1 ! x1

boladı, bunda f x1,x2,..., xm funkciyanıń barlıq birinshi, ekinshi hám taǵı

basqa n-tártipli dara tuwındıları (x 0, x 0,..., x 0 ) noqatta, usı funkciyanıń barlıq

1 2

tártipli

dara

tuwındıları

bolsa

(x 0

(x '

x 0), x 0

(x '

x 0),..., x

(x '

x 0 ))

noqatta

esaplanǵan.

Bul

formula

kóp

ózgeriwshili

x1,x2,..., xm

funkciyanıń

Teylor

formulası dep ataladı.

Dara jaǵdayda, eki ózgeriwshili funkciyanıń Teylor formulası

tómendegishe boladı:

f (x 0, x 0)

x 0

f (x 0,x 0)

x 0

f x , x

1 2

1			2f (x10, x20)						x					x	0 2			2		2f (x10, x20)					x				x	0
									x			1		x				2							x	1			x	1
2!					x12							1		1						x1		x2				1				1
2!					x12															x1		x2
			2f (x10, x20)					x			2			x 0		2		...		1			n f (x10, x20)							x	1
								x						x 0				...												x
					x22									2						n !					x1n
					x22															n !					x1n
	n f (x10, x20)					x				x			0	n 1		x		x	0		...				n f (x10, x20)
						x	1			x			1			x	2	x			...
		xn	1	x			1						1				2	2										xn
		xn	1	x	2																							xn
1					2																							2
1					n 1f (x 0									(x	1		x 0), x			0		(x		2	x		0))
							1								1		1			2				2		2				x1
n 1			!													x1n		1												x1
n 1			!													x1n		1

x2 x20

x10 n

x2 x20 n

x10 n 1 ...

130

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2213 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Педагогика

#
11.08.20241.61 Mб5Didaktika__ped.pdf
#
11.08.2024725.76 Кб0Háreketli oyınlar arqalı dene tárbiyası sabaǵın.pdf
#
11.08.20243.54 Mб2Jeńil atletika hám onı oqıtıw metodikası.pdf
#
24.07.20241.24 Mб6Jumanazar Bazarbaev Ruwxıyatımız marjanları_2008.docx
#
12.08.2024832.88 Кб2Logopediya OMK.pdf
#
11.08.20249.98 Mб3Matematikalıq analiz páninen.pdf
#
11.08.20241.47 Mб4Matematikalıq túsiniklerdi qáliplestiriw.pdf
#
23.07.2024658.41 Кб10Mektepke_shekemgi_bilimlendiriw_shókemlerinde_erteklerdi_saxnalastırıw__.pdf
#
28.09.20241.31 Mб2Muzıka sawatı.doc
#
12.08.2024419.02 Кб5Oqıtıwshınıń sóylew mádeniyatı.pdf
#
11.08.20241.11 Mб2Pedagogikadan ámeliy jumıslar.pdf