Matematikalıq analiz páninen

teńsizlikke iye bolamız. Bul bolsa

f1(x)

funkciyanıń a

noqatta úzliksiz ekenligin

f (x)

2

Mısal. Mına D

x , x

2

R2 :

x

1

1,

x

2

1

R2 kvadratın alıp,

1

f1(x1, x

2)

1,

eger (x1, x2)

Dp

bolsa,

0, eger (x1, x2)

D \

Dp

bolsa

jánede

f2(x1, x2)

1, eger (x1, x2)

Dp

bolsa,

0,

eger (x1, x2)

D\Dp

bolsa

funkciyalardı

qarayıq.

Bul funkciyalar

qosındısı

f1(x1, x2) f2(x1, x2) 0

( (x1, x2) D)

bolıp,

ol usı

kóplikte

úzliksiz bolsada, f1(x1, x2), f2(x1, x2)

Meyli, M

Rm kóplikte y

f (x)

f (x , x

2

,..., x

m

)

funkciya berilgen bolıp,

1

x , x

2

,..., x

m

lerdiń hár biri T

Rk (k

N ) kóplikte berilgen funkciyalar bolsın:

1

x1

1(t)

1(t1,t2,...,tk )

x2

2(t)

2(t1,t2,...,tk )

xm

m (t)

m (t1,t2,...,tk )

Biz t

(t1,t2,...,tk ) T

bolǵanda oǵan sáykes x

(x1, x2,..., xm )

M

dep

qaraymız. Bul funkciyalar járdeminde

y

f

1(t1,t2,...,tk ), 2(t1,t2,...,tk ),...,

m(t1,t2,...,tk )

(t1,t2,...,tk )

(t)

quramalı funkciyanı dúzemiz (qaralsın, 33-bet).

2-teorema. Eger

i (t)

i (t1,t2,...,tk )

(i

1, 2,...,m)

funkciyalarınıń

hár

biri t 0

(t 0,t 0,...,t 0) noqatta úzliksiz bolıp,

f (x)

f (x , x

2

,..., x

m

) funkciya bolsa

1

2

k

1

t 0

(t 0,t 0,...,t 0)

noqatqa sáykes

x 0

(x

0, x 0,..., x 0 )

(x 0

(t0,t0,...,t0),

1 2

k

1 2

m

1

1 1 2

k

x 0

2

(t

0,t0,...,t0),

...,x 0

m

(t0,t

0,...,t0) )

noqatta

úzliksiz

bolsa,

2

1

2

k

m

1

2

k

y

(t)

(t ,t ,...,t )

quramalı

funkciya

t 0

(t 0,t 0,...,t

0)

noqatta

úzliksiz

1

2

k

1 2

k

Dálil. x

l

l

(t)

i

(t ,t ,...,t )

(i

1,2,...,m)

funkciya t 0

(t0,t

0,...,t0)

1

2

k

1

2

k

noqatta úzliksiz bolsın.

T

Rk

kóplikte t0

(t

0,t 0,...,t 0)

noqatına umtılıwshı qálegen

1

2

k

t(n)

t(n),t(n),...,t(n)

n

1,

2,...

1

2

k

izbe-izlik alayıq. Onda Geyne anıqlamasına muwapıq

t1(n)

t10

x1(n)

1(t1(n),t2(n),...,tk(n))

1(t10,t20,...,tk0)

x10

t(n)

t

0

x(n)

2

(t(n),t(n),...,t(n))

2

(t 0,t 0,...,t 0)

x

0

2

2

2

1

2

k

1 2

k

2

tk(n)

tk0

x(n)

m

(t(n),t(n),...,t(n))

m

(t 0,t 0,...,t 0)

x 0

m

1

2

k

1 2

k

m

boladı.

y

f (x , x

2

,..., x

m

) funkciya

(x 0, x 0,..., x 0 )

noqatta úzliksiz. Bul jaǵdayda

1

1

2

m

jáne Geyne anıqlamasına muwapıq

x1(n)

x10

x(n)

x20

f (x1(n), x2(n),..., xm(n))

f (x10, x20,..., xm0 )

2

xm(n)

xm0

boladı. Demek

t

(n)

t(0),

t(n)

t 0,

...,

t(n)

t

0 ge

1

1

2

2

k

k

f ( 1(t1(n),t2(n)...,tk(n)),

2(t1(n),t2(n),...,tk(n)),...,

m(t1(n),t2(n),...,tk(n)))

f (

(t

0,t0,...,t0),

2

(t0,t

0,...,t0),...,

m

(t0,t0,...,t0)).

1 1 2

k

1 2

k

1 2

k

Bul

y

f (

1(t1,t2,...,tk ),

2(t1,t2,...,tk ),...,

m (t1,t2,...,tk ))

(t1,t2,...,tk )

funkciyanıń

(t0,t0,...,t0)

noqatta

úzliksiz

ekenligin

bildiredi.

Teorema

1

2

k

1˚. Eger f (x) funkciya x 0

M noqatta úzliksiz bolsa, onda x 0 noqatınıń

jetkilikli kishi dógereginde funkciya shegaralanǵan boladı.

Dálil. Funkciya úzliksizliginiń anıqlamasına muwapıq

lim f (x) f (x 0)

x

x 0

Shekli limitke iye bolǵan funkciyanıń qásiyetlerinen (qarań, 38-bet),

f (x)

funkciyanı x 0

noqatınıń jetkilikli kishi dógereginde shegaralanǵanlıǵın tabamız.

2˚. Eger f (x) funkciya x 0 noqatta úzliksiz bolıp, f (x 0)

0 (f (x 0)

0) bolsa,

x 0 noqatınıń jetkilikli kishi dógeregindegi x noqatlarda f (x)

0 (f (x)

0) boladı.

Dálil. f (x) funkciya x 0 noqatta úzliksizligi anıqlamasına muwapıq

0

alınǵanda da sonday

0 tabılıp, barlıq x

U (x 0)

M noqatlar ushın

f (x 0)

f (x)

f (x 0)

boladı. Bul jerde

f (x 0) 0

(eger f (x 0) 0 bolsa,

f (x 0)

dep

alsaq,

pikirimizdiń dáliline iye bolamız.

Demek,

f (x)

funkciya x 0

noqatında

úzliksiz

hám

f (x 0) 0

bolsa, x 0

sign

f (x)

sign f (x 0)

3˚. Eger

f (x)

funkciya x 0

noqatında úzliksiz bolsa, x 0

noqatınıń jetkilikli

kishi dógereginde x '

M,

x "

M noqatlar ushın

teńsizlik orınlı boladı.

f (x')-f (x")

Dálil. f (x) funkciyanıń x 0 noqattaǵı úzliksizliginen,

0 alınǵanda da,

2

ushın sonday

0 tabılıp, barlıq x U (x 0) noqatlar ushın

f (x)

f (x 0)

2

boladı. Sonlıqtan x '

U (x 0),

x "

U (x 0) noqatlar ushında

f (x ')

f (x 0)

,

f (x")-f (x 0)

2

2

f (x ")

teńsizlikler orınlı boladı. Keyingi teńsizliklerden bolsa

f (x ')

ekenligi

y

f (x) f (x , x

2

,..., x

m

)

funkciya

baylamlı

M

Rm

kóplikte berilgen

1

hám úzliksiz bolsın.

Eger

bul

funkciya

kópliktiń

eki

a

(a1,a2,...,am ) hám

f (с) f (с1, с2,..., сm ) 0

Dálil. Anıqlıq ushın f (a) f (a1,a2,...,am ) 0, f (b)

f ( b1,b2,...,bm ) 0

bolsın. M

Rm baylamlı kóplik bolǵanı ushın bul a hám b noqatların tutastırıwshı

boladı:

1) Sınıq sızıq ushlarınıń birewinde f (x) funkciya nol’ge

aylanadı. Bul

jaǵdayda sınıq sızıqtıń sol ushın teoremadaǵı c noqat dep alınsa,

f (c) 0 bolıp

belgili boladı. Sınıq sızıqtıń usı ushlarınıń birewin

a ' (a '1,a '2,...,a 'm ) menen,

ekinshi ushın bolsa b '(b '1,b '2,...,b 'm ) menen belgilesek, onda

f (a ')

f (a ' ,a ' ,...,a1 )

0,

1

2

m

f (b ') f (b '1,b '2,...,b 'm ) 0

boladı. Sınıq sızıqtıń bul kesindisiniń teńlemesi mına

x1

a '1

t(b '1

a '1)

x2

a '2

t(b '2

a '2 )

xm

a 'm

t(b 'm

a 'm )

(0 t 1) kórinisinde jazıladı.

Eger ózgeriwshi x

(x1, x2,..., xm ) M

noqattı sınıq sızıqtıń usı kesindisi

boyınsha ǵana ózgeredi dep alınatuǵın bolsa, onda

f (x)

f (x1, x2,..., xm ) kóp

ózgeriwshili funkciya tómendegi

F(t) f (a '1 t(b '1

a '1), a2 t(b '2

a '2),....,

a 'm

t(b 'm a 'm))

Ekinshi tárepten t 0 hám t

1 de bul funkciya túrli belgili mánislerge iye:

F(0)

f (a '1,a '2,...,a 'm )

0,

F(1)

f (b '1,b '2,...,b 'm )

0.

teoremaǵa muwapıq, (0,1) intervalda sonday t0

noqat tabılıp

F(t0)

0

boladı. Demek,

F(t0)

f (a '1

t0(b '1 a '1),

a '2

t0(b '2

a '2),..., a 'm t0(b 'm

a 'm )) 0

Eger

с1

a '1

t0(b '1

a '1)

с2

a '2

t0(b '2

a '2)

сm

a 'm

t0(b 'm

a 'm )

dep alsaq,

c

(c1,c2,...,cm ) M.

hám

f (c)

f (c1,c2,...,cm )

0 boladı. Bul

joqarıda keltirilgen teoremanı dálilleydi.

Tómendegi teoremada usıǵan uqsas dálillenedi.

2-teorema (Bol’cano-Koshidiń ekinshi teoreması). f (x)

f (x1, x2,..., xm )

funkciya baylamlı M

Rm kóplikte berilgen hám úzliksiz bolıp, M kópliktiń eki

a (a1,a2,...,am )

hám

b

(b1,b2,...,bm )

noqatında

f (a)

A, f (b)

B,

A

B

bolsın.

A menen

B arasında

qálegen

C san alınsada,

M kóplikte

sonday

c (c1,c2,...,cm ) noqat tabılıp,

f (c)

f (c1,c2,...,cm ) C '

boladı.

3-teorema (Veyershtrasstıń birinshi teoreması). Eger

f (x) funkciya

shegaralanǵan tuyıq M

Rm kóplikte berilgen hám úzliksiz bolsa, funkciya usı M

kóplikte shegaralanǵan boladı.

Dálil. Meyli kerisi orınlı bolsın, yaǵnıy f (x) funkciya shegaralanǵan tuyıq M

kóplikte úzliksiz bolsa da ol usı kóplikte shegaralanbaǵan bolsın. Onda

n

N

ushın sonday x(n)

M noqat tabılıp,

f (xn )

n

(1)

boladı. Bunday noqatlardan

x(n)

, x(n)

M

(n

1,2,..) izbe-izlik dúzemiz. M

kóplik

shegeralanǵan

bolǵanlıqtan, ondaǵı

x(n)

izbe-izlikte

shegaralanǵan.

Bol’cano-Veyershtrass teoremasına (usı

baptıń 2-§

ine)

muwapıq

x(n)

izbe-

izlikten

jıynaqlı

bolǵan

x(nk )

úles

izbe-izlik

ajıratıw

múmkin:

x(nk )

x 0 (k

). M tuyıq kóplik bolǵanı

ushın

x 0 M

boladı.

f (x)

funkciyanıń M kóplikte úzliksiz ekenliginen bolsa

f (x(nk ))

f (x 0)

f (x(nk )

n

k

yaǵnıy f (x(nk ))

(k

kе) bolsa, ekinshi tárepten

f (x(nk ))

f (x 0)

bolıp

qaladı.

Bul qarama-qarsılıq f (x)

funkciyanı M kóplikte

shegaralanbaǵan

dep

alınıwınıń nátiyjesinde

kelip

shıqtı.

Demek, f (x) funkciya

M kóplikte

f (x) funkciya M

Rm kóplikte berilgen bolsın.

5-anıqlama. Eger

0 sanı

ushın, sonday

0 tabılıp,

M kópliktiń

(x ', x ")

teńsizligin qanaatlandırıwshı qálegen x '

hám x " (x '

M, x " M )

noqatlarında

f (x ')

f (x ")

Funkciyanıń tegis úzliksizligi anıqlamasındaǵı

0 san

0 ge baylanıslı

boladı. Eger f (x) funkciya M

Rm kóplikte tegis úzliksiz bolsa, ol usı kóplikte

úzliksiz boladı.

Mısallar

1. Mına

f (x , x

2

)

x 2

x

2

1

1

2

funkciyanıń D

(x , x

2

)

R2 : x 2

x 2

1

kóplikte

tegis

úzliksiz

bolıwı

1

1

2

kórsetilsin.

0 sanın alıp, ol boyınsha tabılatuǵın

0 sanın

dep alsaq,

4

onda

(x ', x ")

((x ' , x ' ),(x " , x "

))

(x "

x ' )2

(x " x '

2

)2

1

2

1

2

1

1

2

teńsizligin qanaatlandırıwshı

(x '1, x '2)

D,

(x "1, x "2)

D

noqatlar ushın

f (x ' , x ' )

f (x " , x " )

(x ' )2

(x ' )2

[(x " )2

(x " )2

]

1

2

1

2

1

2

1

2

(x '

x " )(x '

x " )

(x '

x " )(x '

x "

2

)

2 (x "

x ' )2

(x "

2

x '

2

)2

1

1

1

1

2

2

2

1

1

2 (x "

x ' )2

(x "

x

2

)2

4

1

1

2

boladı. Demek, berilgen funkciya D

R2

kóplikte tegis úzliksiz.

2. Tómendegi

96

funkciyanı A

(x , x

2

) R2

: 0

x 2

x 2

1

kóplikte qarayıq. Bul

1

1

2

kóplikte tegis úzliksizlik anıqlamasındaǵı shárt orınlanbaydı, yaǵnıy

0 ushın

sonday

0 hám x '

(x '1, x '2)

A,

x "

(x "1, x "2)

A

noqatlar

tabılıp,

(x ', x ")

hám de

f (x '1, x '2)

f (x "1, x "2)

boladı. Haqıyqattanda

0 ushın

1 dep hám

1 ,

1

A,

1

,

2

A

2n

2n

n n

noqatların alsaq, n n0

1

ushın

1 , 1 ,

1

,

1

1

hám

2

n n

2n

2n

n

2

de

f

1

,

1

f

1

,

1

3n2

1

n

n

2n

2n

Onda bazıbir

0 san hám ıqtıyarlı

0

san ushın M kóplikte (x ', x ")

teńsizlikti qanaatlandırıwshı sonday x '

hám x "

(x ' M, x " M ) noqatlar tabılıp,

f (x ")

f (x ')

n

0

( n 0,

n

1,2,...)

(2)

Uyǵarıwımızǵa

muwapıq,

joqarıdaǵı

0

san hám

ıqtıyarlı

n

0 (n 1,2,...)

noqatlar tabılıp