Matematikalıq analiz páninen

Funkcional izbe-izlikler. Endi E N,

F kóplik sıpatında X

R kóplikte

berilgen funkciyalar kópligi f (x)

ti alıp, to’mendegi

: N

f (x)

: n

fn (x)

(1)

1 ,

2

, ... ,

n , ...

f1(x),

f2(x),

...,

fn (x), ...

Nátiyjede : n

fn (x) sáwlelendiriwdiń obrazlarınan dúzilgen to’mendegi

f1(x), f2(x),..., fn (x),...

(2)

kóplik payda boladı.

(2) kóplik

R de berilgen funkcional izbe-izlik (funkciyalar izbe-

izligi) dep ataladı hám ol fn (x)

dep belgilenedi.

ózgeriwshilerine

x

X,n

N

baylanıslı boladı.

Mısallar.

1.

hár

bir

natural n

sanǵa

1

funkciyanı sáykes qoyıwshı

n2

x 2

sáwlelendiriw bolsın. Onda mına X

,

kóplikte berilgen

1

,

1

,

1

,...,

1

,...

1

x 2

4

x 2

9

x 2

n2

x 2

sin

x

, sin

x

,

sin

x

,..., sin

x

,...

1

2

3

n

funkcional izbe-izlik payda boladı. Ol X

0,

kóplikte berilgen bolıp, ulıwma

aǵzası

fn

(x) sin

x

boladı.

n

3. To'mendegi

x,

x,

x2

x, ...

aǵzaları

,

aralıqta berilgen funkciyalar bolıp, jup nomerli orında turǵan

aǵzaları bolsa

0,

aralıqta berilgen dep qaraymız. Onıń ulıwma aǵzası

n

1

fn (x)

x 2

, eger n-taq san bolsa,

x

, eger n-jup san bolsa

izbe-izliktiń qásiyetleri 1-bólimniń 3-babında keń túrde úyrenilgen edi.

1-anıqlama. Eger fn x0

sanlar izbe-izligi jıynaqlı (tarqalıwshı)

bolsa,

fn (x) funkcional izbe-izlik x0

noqatta jıynaqlı (tarqalıwshı) dep ataladı, x0

noqat

ataladı.

Biz ayırım waqıtta M kóplik M R

fn (n) funkcional izbe-izliktiń

ekvivalenti

fn (x)

funkcional izbe-izlik M oblastta (kóplikte) jıynaqlı

(tarqalıwshı) bolsın degen aytımdi islete beremiz.

Bazıbir fn (x)

funkcional izbe-izlik berilgen bolıp, M M R bolsa usı

izbe-izliktiń jıynaqlılıq oblastı bolsın. Onda x0

M ushın oǵan sáykes

f1(x0),

f2(x0),...,

fn (x0),...

izbe-izlik

lim fn(x0)

limitke iye boladı.

n

3

Eger

M

M

R

kóplikten alınǵan hár bir x ke, oǵan sáykes keletuǵın

f1(x), f2(x),..., fn (x),...

izbe-izliktiń limitin sáykes qoysaq, yaǵnıy

f

: x

lim fn (x),

n

onda M kóplikte berilgen f(x) funkciya payda

boladı. Bul f(x) funkciyanı

fn (x)

izbe-izliktiń limit funkciyası dep ataymız. Demek,

lim fn(x)

f (x)

x

M .

(4)

n

Mısallar. 1. To’mendegi

fn (x)

1

(n

1,

2, ...)

n2

x

2

funkcional izbe-izlik

x

R de jıynaqlı bolıp, limit funkciya 0 ge teń:

x R

ushın

1

lim fn(x)

lim

0

n2

x2

n

n

2. Tómendegi

f (x)

n2x

1

(n

1, 2, ...)

n

funkcional izbe-izlik tek ǵana bir x

0

noqatta

ǵana

jıynaqlı,

qalǵan

barlıq

noqatlarda tarqalıwshı boladı:

1,

eger x

0

bolsa,

lim f (x)

lim (n2x

1)

, eger

x

0

bolsa,

n

n

n

-

,

eger

x

0

bolsa.

3. To’mendegi

fn (x)

n

sin

x

(n

1,2,...)

n

x

R de jıynaqlı bolıp, onıń limit funkciyası

funkcional izbe-izlik

f (x)

x

boladı. Haqıyqattan da,

sin

x

x

n

lim fn (x)

lim n

sin

lim

x

x.

n

x

n

n

n

n

4. Tómendegi

f (x)

xn

(n

1,2,...)

n

funkcional izbe-izlikti qarayıq. Bul funkcional izbe-izlik ushın,

x

1,

de

lim f (x)

lim xn

,

n

n

n

x

1

bolǵanda

lim f (1)

lim 1n

1,

x

(

1,

1)

de

n

n

n

lim f (x)

lim xn

0,

x

(

,

1

bolǵanda

berilgen

funkcional

izbe-

n

n

n

Solay etip, berilgen

f (x)

{x n

} funkcional izbe-izliktiń jıynaqlılıq oblastı

n

M

( 1,1 bolıp, limit funkciya

f (x)

0,

eger

1

x

1 bolsa,

1,

eger

x

1 bolsa

boladı.

Funkcional izbe-izliktiń tegis jıynaqlılıǵı. Bazıbir fn (x)

:

f1(x), f2(x),

...,

fn (x), ...

(2)

funkcional izbe-izlik berilgen bolıp, M

M

R bolsa bul izbe-izliktiń jıynaqlılıq

Demek,

fn (x)

funkcional izbe-izlik M kópliktiń hár bir x0 x0 M

noqatında,

n

ke sáykes f x0

ge umtıladı.

lim fn

x0

f

x0 .

n

Izbe-izliktiń limiti anıqlamasına muwapıq bul tómendegini ańlatadı:

0 sanı

alınǵanda da, sonday n0

N tabılıp, barlıq n

n0 ushın

fn

x0

f

x0

boladı. Bunda n0 natural san

0 ge hám alınǵan x0 noqatqa ǵárezli boladı:

n0 n0

, x0

(sebebi,

x ózgeriwshiniń

M kóplikten alınǵan túrli mánislerinde

M kópliktegi barlıq noqatlar ushın ulıwma bolǵan n0

natural sandı tabıw

múmkinbe? degen soraw tuwıladı. Bunı tómendegishe túsiniw kerek:

0 sanı

alınǵanda da,

n n0 hám x M ushın

fn (x) f (x)

bolatuǵın n0 N

tabılmaydı, yaǵnıy qandayda bir

0

0

sanı

ushın qálegen úlken n

N sanı

alınǵanda sonday x

M tabılıp

fn (x)

f (x)

0

teńsizlik orınlanadı.

Mısallar. 1. To’mendegi

fn (x)

sin nx

n

funkcional izbe-izlikti qarayıq. Bul izbe-izliktiń jıynaqlılıq oblastı M

,

, limit funkciyası bolsa

lim f (x)

lim sin nx

0

n

n

n

n

boladı. Demek f (x)

0. Bunin’ jıynaqlılıqtıń xarakteri tómendegishe:

5

fn (x)

f (x)

nx

0

nx

1

1

(7)

1 n

2x 2

1 n2x 2

nx

n0

1 x

boladı, x 0 bolsa, kórinip tur,

n ushın

fn (0) f (0) 0 boladi.

Biraq máselen,

0

1

4

dep alsaq, qálegen n N sanı hám x

1

noqat ushın

n

f

1

f

1

1

1

n

n

1

2

n

1

n2

0

n2

boladı.

Demek, barlıq x

(0

x

1) noqatlar ushın ulıwma bolǵan hám (7) teńsizlik

formulanı úyrenip (kórinip tur, ol jerde

x

0 da n0

) te keliw múmkin

edi).

M

M R

kóplikte bazıbir

fn (x)

funkcional izbe-izlik berilgen bolıp,

ol limit funkciyaǵa iye bolsın. Bul limit funkciyanı f (x)

(x

M) dep belgileyik.

2-anıqlama. Eger

0 alınǵanda da sonday

n0

N tabılıp,

qa’legen

n n0 hám qa’legen x

M noqatlar ushın bir jola

fn (x) f (x)

teńsizlik orınlansa,

fn (x)

funkcional izbe-izlik M kóplikte f(x) ke tegis jıynaladı

(funksional izbe-izlik tegis jıynaqlı) dep ataladı. Keri jaǵdayda, (yaǵnıy

n

N

alınǵanda da, sonday

0

0 hám x0

M bar bolıp,

fn

x0

f

x0

0

teńsizlik

orınlansa)

fn (x)

funkcional

izbe-izlik M kóplikte f(x)

ke

tegis

jıynalmaydı (funkcional izbe-izlik tegis jıynaqlı emes) dep ataladı.

fn (x) funkcional izbe-izliktiń f(x) ke tegis jıynaqlılıǵı tómendegishe

belgilenedi:

fn (x)

f (x) (x M).

Joqarıda keltirilgen mısallardıń birinshisinde

fn (x)

sin nx

funkcional izbe-

n

izlik limit funkciya f (x)

0 ge [0,1] aralıqta tegis jıynaladı:

sin nx

0

(0

x 1).

n

úshinshisinde bolsa, yaǵnıy

fn (x)

nx

funkcional izbe-izlik

f (x) 0

1

n

2x 2

limit funkciyaǵa jıynalsada

nx

lim

0,