Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Tensizliklerdi dalillew usillari

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

1.65 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

(a b)(c d ) ab cd

Sheshiliwi. Qarsısınan uyǵarıp qarayıq, yaǵnıy a,b,c,d lardıń mánisleriniń ǵeypara toparları ushın, mına teńsizlik durıs boladı deyik:

(a b)(c d ) ab cd

Bul teńsizliktiń eki jaǵin da kvadratqa kóteremız. Sonda mınaǵan iye bolamız:


	ab bc ad cd		ab 2	abcd cd .
Bunnan	ab ad
hám bunnan keyin		bc ad

	2
	2

biraq bul, teris emes bc hám ad sanları ushın duzilgen Koshi teńsizligine qaramaqarsı keledı.

Demek biziń bulay dep uyǵarıwımız nadurıs eken , yagnıy a ,b, c ,d lardıń teris emes qálegen mánisleri ushın, mına teńsizlik durıs eken :

(a c)(b d) ab cd

2-mısal. Tómendegi teńsizlikti dalilleń :

cos( ) cos( ) cos2 .

Sheshiliwi. Qarsısınan uyǵarip qarayıq, yaǵnıy qandayda bir menen bar bolıp , olar ushın mına teńsizlik orınlanadı dep uyǵayıq:

	cos( ) cos( )
	cos( ) cos( )			cos 2 cos 2
	cos( ) cos( )
					2
hám	cos2		1 cos 2
hám	cos2
	2
formulalarınan paydalanıp, mınaǵan iye bolamız:
		cos 2 cos 2				1 cos 2	,
							,
	2				2
bunnan	cos 2 >1 kelip shıǵadı. Durısında da β nıń qálegen mánislerinde

cos 2 1 bolatuǵın bizler qarama-qarsılıqqa kelip jolıqtıq. Demek , biziń

joqarıdaǵi	úyǵarıwımız	nadurıs eken, al sonın	ushin da
cos( ) cos( ) cos2		cos( ) cos( ) cos2	teńsizligi
durıs teńsizlik eken.

Teńlemelerdi sheshiwde teńsizliklerdi qollanıw. Meyli f (x) g(x) teńlemesin sheshiw kerek bolsın deyik, hám sonıń menen qatar qandayda bir A

degen san bar bolıp, ol san bir waqıttiń ózinde y f (x) funktsiyasınıń eń ulken mánisi hám y g(x) funktsiyasınıń eń kishi mánisi bolıp esaplansın deyik .

sonda f (x) g(x) teńlemesiniń korenleri bolıp f (x) A, g(x) A teńlemelerdi funksiyonal usılda sheshiwdiń dara jaǵdayı boladı.

a a1, a2 ,....,an

2-Misal. Teńlemeni sheshiń. x2

2 (x 1)4

Sheshiliwi. teńlemenińshep jaǵi ushın x 0

bolǵan ,barlıq mánislerde

teńsizligi,

oń jaǵi ushin

ondaǵı

x tıń qálegen mánisinde

2 (x 1)4

2 teńsizligi orınlanadı. Demek berilgen teńlemeniń kórenleri bolıp

, x 1

2 hám

2 (x 1)4

teńlemeleriniń ulıwma korenleri

esaplanadı.

teńlemesinen

x1 1, x2 1 di tabamız. 2 (x 1)4 2 teńlemesinen x 1 di

tabamız. Bul teńlemelerdiń ulıwma bir koreni bolıp , x 1 mánisi esaplanadı. Ol koren berilgen teńlemeniń birden-bir koreni boladı.

2-§. Orta mánisler arqali teńsizliklerdi dálillew

Ayırım teńsizliklerdi dálillewde teńsizliklerdi qandayda bir almastırıwlar járdeminde dálilleymız. Bunday almastırıwlar teńsizlikde berilgen ózgeriwishlerdıń orta mánisleri arqalı ámelge asırıladı.

Orta mánisler oń sanlar izbe-izligi ushın

- A

a2 ... an

orta arifmetikalıq mánis

- G n

a a .... a

orta geometriyalıq mánis

- K

... a2

orta kvadratlıq mánis

- Nn

orta garmonikalıq mánis

a 1 a 1

... a 1

Máselen a1 , a2 oń sanlar ushın joqarıdaǵı orta mánisler tómendegishe anıqlanadı:

a a

2a a

, G

a a ,

1 2

, N

1 2

Orta mánislerdi bir-biri menen tómendegishe teńsizliklerge alıp kelseń

boladı.

Orta arifmetikalıq hám orta geometrik mánisler ushın Koshi teńsizligi

orınlı

a1 a2

... an

n a a .... a

Yaǵniy An Gn hám An Gn teńlik tek ǵana a1 a2 ... an teńlik bolǵanda

orınlı.

1-mısal. Eger a 0,b 0,c 0

bolsa a b c

ab bc ac teńsizlikti

dálilleń.

Sheshılıwı:

Teńsizliktı dálillew ushın tómendegishe úsh teńsizlikdı dúzıp

alamız.

a b

ab, a b 2

ab,b c 2 bc,a c 2 ac,

teńsizliklerdiń qosındısınan

2(a b c) 2(ab bc ac)

nátiyjede

(a b c) (ab bc ac)

teńsizlik payda boladı, eger a b c bolsa teń boladı. Teńsizlik dálillendi. 2-mısal. x, y 0 bolsa, x2 y2 1 xy x y teńsizlikti dálilleń. Sheshılıwı: Teńsizlikdı apıwayılastıramız

x2 y2 1 xy x y							x2		x2		y2		y2	1	1
x2 y2 1 xy x y
						2		2		2		2		2	2
	x	2	y	2	xy,
	x		y
	2		2
	2		2
y2			1
				y,		x2 y2 1 xy x						y.
	2		2	y,		x2 y2 1 xy x						y.
	2		2
	x	2	1	x,
	x		1
	2		2
	2		2

teńsizlik dálillendi.

2) Orta geometrik hám orta garmonikalıq mánisler G a H a teńsizligi orınlı bolıwın tekseremız.

Dálili.

a1 a2 ... an
a1 a2 ... an	n a	a	.... a
	n a	a	.... a
n	1	2	n
n

Koshi teńsizliginen paydalanip

x2 y2 1

arasındaǵı teńsizlik.


							1	1		1	1
							1	1		1
H (a) 1					n		a1	a2	... an
H (a) 1	1			1		1
	1			1	...	1		n
					...
		a1		a2
		a1		a2		an
			G		a 1
n a 1a 1...a 1			G		a 1
1 2	n
Teńsizlikke iye bolamız. Egerde a1 a2 ... an										bolsa G a H a teń boladı.
								14

3-mısal. Eger a,b,c 0	bolsa		3					a b c	teńsizliktı dálilleń.
3-mısal. Eger a,b,c 0	bolsa	1	1		1				teńsizliktı dálilleń.
		1	1		1		3

		a		b		c

		1	1	1
Sheshılıwı : Teńsizliktı kóbeytsek	9 a b c				, de bunnan

	a		b	c

a b c 33
a b c 33					abc

	1	1	1	3			1

		b	c			3
						3	abc
a							abc


	1	1	1	9 3 abc
a b c						9.
		b
					abc
a			c	3	abc

3) Orta arifmetik hám orta kvadratlıq mánisler arasındaǵı teńsizlık.
K	a A a teńsizlik orınlı bolıwın dálilleymiz.

		a2	a2	... a2	a a	... a
		1	2	n	1 2	n
				n		n
				n		n

Dálillew: Teńsizlikti dálillew ushın Koshi teńsizliginen paydalanamız 1 i j n boyınsha teńsizlikti jazamiz.

2 2a a

Usı boyınsha tómendegi teńlik arqalı korsetemiz.

a1 a2 ... a3 2 a12 a22

... an2 2 aia j

1 i j n

a2 a2

... a2

a2 ... a2 .

1 i j n

Egerde a1 a2 ... an

bolsa K a A a teńlik kelip shıǵadı.

4-mısal. Eger

a 0,b 0,c 0, d 0 bolsa, tómendegi teńsizliktı dálilleń.

a b

c d

a c

b d

a d

b c

6 4 abcd

Sheshılıwı: Koshi teńsizligine paydalanıp tómendegishe teńliklerdi dúzemiz.

a b

c d

a b

c d

cd 2 4

abcd

a c

b d

a c

b d

bd 2 4

abcd

a d

b c

a d

b c

bc 2 4

abcd

Endi teńliklerdi qosamız.

Nátiyjede

a b

c d

a c

b d

a d

b c 6 4 abcd

kelip shıǵadı. Teńsizlik dálillendi.

5-mısal. a1,a2 ,b1,b2 sanları ushın tómendegi teńsizlikti dálilleń.

						2 b b 2 .
a2	a2	b2	b2	a a	2	2 b b 2 .
1	2	1	2	1	2	1	2

Sheshılıwı: teńsizliktı dálillew ushın Koshi teńsizliginen paydalanamız.


a2b2		a2b2		2 a2b2a2b2
1	2	2	1	1	1	2	2

						a2b2			a2b2 2										a b a b						2a b a b
						a2b2			a2b2 2										a b a b						2a b a b
						1	2		2				1						1		1	2		2				1		1		2	2
			a2b2			a2b2		a2b2						a2b2							a2b2					a2b2						2a b a b
			1	2		2	2		1			2			2		1					1		1				2			2			1	1	2	2
						a2		a2				b2 b2										a b a									b 2
							1		2					1			2							1		1		2				2

						a2 a2			b2			b2								a b a b									a b a b
						a2 a2			b2			b2								a b a b									a b a b
						1	2		1					2							1	1		2			2					1	1		2	2
																							2 a b a b
						2 a2			a2					b2		b2							2 a b a b
							1					2		1							2						1	1				2	2
																																				2 a b a b
a2	a2	b2	b2			2 a2			a2					b2		b2							a2			a2					b2			b2		2 a b a b
1	2	1		2			1					2		1							2			1				2					1		2		1	1	2	2
																		2 a1 b1 2 a1 b2 2
						a12 a22					b12 b22							2 a1 b1 2 a1 b2 2

																													2 a1 b2							2
					a12 a22					b12 b22													a1 b1						2 a1 b2							2
Teńsizlik			kelip shıǵadı.									Egerde									a1b2 a2b1										bolsa				teńlik			orınlı			boladı.

Teńsizlik dálillendi.

6-mısal. Eger a 0,b 0,c 0 sanları bar bolsa,

a b c a2 b2 c2 9abc

teńsizligin dálilleń.

Sheshılıwı: Koshi teńsizligi boyınsha tómendegishe teńsizliklerdi dúzemiz. a b c 33abc

a2 b2 c2 33a2b2c2

Eki teńsizlikdi oń hám shep jaqlarin bir-birine kóbeytemiz. Nátiyjede

a b c a2 b2 c2 93a2b2c2 9abc

Nátiyjede joqarıdaǵı biz dálillemekshi bolǵan teńsizlik kelip shıǵadı. Teńsizlik dálillendi.

7-mısal. Eger x 0, y 0, z 0 bolsa

xy yz zx 3xyz x y z

teńsizlikti dálilleń.

Sheshılıwı:

xy yz zx 3xyz x y z berilgen teńsizliktı kvadratqa kóteremiz.

xy yz zx 2 3xyz x y z

xy 2 2xy2 z yz 2 2 xy yz zx zx 2 3x2 yz 3xy2 z 3xyz2

x2 y2 y2 z2 z2 x2 xyz x y z

(1)

Koshi teńsizliginen paydalanıp tómendegi teńliklerdi dúzemiz.

x2 y2 x2 z2
x2 y2 x2 z2
	x4 y2 z2	x2 yz		x2 yz,
2	x4 y2 z2	x2 yz		x2 yz,
2
y2 z2 x2 y2
y2 z2 x2 y2
	x2 y4 z2	xy2 z		xy2 z,
2	x2 y4 z2	xy2 z		xy2 z,
2
z2 x2 z2 y2
z2 x2 z2 y2
	x2 y2 z4	xyz2	xyz2
2	x2 y2 z4	xyz2	xyz2
2

Aqırǵı úsh teńsizlikti qossaq, (1) teńsizlik kelip shıǵadı. Teńsizlik dálillendi.

				n 1 n
8-mısal. n natural sanlar ushın n!				2	teńsizliktı dálilleń.
				2
	n 1 n		n 1
	n 1 n		n 1
Sheshılıwı: n!		n n!			(1)
Sheshılıwı: n!		n n!			(1)
	2			2

n N san bolǵanlıqtan sonǵı teńsizlikti tómendegishe túrlendiremiz.

n 1	1	n 1 n	1	1 2 3 ... n
2	n	2	n

Bul teńliktı teńsizliktıń oń jaǵı menen almastıramız.

1 2 3 ... n

n n!

Nátiyjede orta arifmetikalıq hám orta

geometriyalıq mánisler arasındaǵı

qatnasqa tiykarlanıp (1) teńsizlik

n 2 sanları ushın dálillendi.

9-mısal. Oń a,b,c sanları ushın abc 8 shárt qanaatlandırılsa, onda

1 a3

1 b3

1 c3

1 a3

Teńsizlikti dálilleń.

Sheshılıwı: Orta arifmetikalıq hám orta geometriyalıq mánisler boyınsha Koshi teńsizliginen paydalanıp,

2 a2

1 a3

1 a 1 a2 a

2 b2

1 b3

1 b 1 b2 b

2 c2

1 c3

1 c

1 c2 c

Qatnaslardı alamız. Endi tómendegi teńsizliktı dálillesek jetkilikli boladı:

19 17

4a2	4b2	4c2	4

2 a2 2 b2	2 b2 2 c2	2 c2 2 a2	3

3 a2 2 c2 b2 2 a2 c2 2 b2 2 a2 2 b2 2 c2

a2b2 b2c2 c2a2 2 a2 b2 c2 a2b2c2 8 72

Bul teńsizlik tómendegi teńsizliklerdi aǵzama-aǵza qosiwdan kelip shıǵadı.

a2b2 b2c2 c2a2 33

abc 4 48,

2 a2 b2 c2 6 3a2b2c2 24

Demek joqarıdaǵılardan teńsizliktıń dálilleniwi payda boldı. Teńsizlik dálillendi. 10-mısal. Eger 0 a b c shárt orınlansa, onda tómendegi teńsizlikti

dálilleń.

a 3b b 4c c 2a 60abc

Sheshılıwı: Orta arifmetikalıq hám orta geometriyalıq mánisler boyınsha

berilgen Koshi teńsizliginen tómendegishe paydalanamız:

a 3b b 4c c 2a a b b b b c c c c c 2a

4 4ab3 55b c4 33a2c 60a12 b20 c15


				2					1				1
60abc		c15					60abc	c12				c	20
60abc	1				1		60abc	1			1
	1				1			1			1
	a	12	b			20		a		12		b		20


	1			1
c			c
c		12	c	20
60abc					60abc
60abc					60abc
a			b

c c

Bunda

1 boladı. Teńsizlik dálillendi.

a b

Shınıǵıwlar.

1. Eger a,b,c R hám a2

b2 c2

1 bolsa, onda tómendegi teńsizliktı dálilleń.

a a3

2. Eger a 0,b 0 bolsa

teńsizlikti dálilleń.

Eger a ,a ,a ,a ,a 0

bolsa

a2 a2

a a

teńsizlikti dálilleń.

4. Eger a 0,b 0,c 0 bolsa

a b c

abc teńsizlikti dálilleń.

5. Eger a 0,b 0,c 0 bolsa

3 teńsizlikti dálilleń.

6. Teńsizliktı dálilleń.

a b c d

a2 b2 c2 d 2

7. Eger a 0,b 0,c 0 bolsa, onda tómendegi teńsizliktı dálilleń.

a2 ab	b2 bc	c2 ac	0
a b	b c	a c

8.Eger a 0,b 0,c 0 bolsa, a b c ab bc ac teńsizliktı dálilleń.

9.Eger a 0,b 0,c 0 bolsa, a3 b3 c3 a2 bc b2 ac c2 ab

10. Eger a 0,b 0 sanları bar bolsa,

c x 2 b c2

x2 a

teńsizlikti dálilleń.

11. Eger a,b,c 0

hám a b c 1onda tómendegi teńsizlikti dálilleń.

a b c 2 b a c 2 c a b 2

12. Eger a,b,c 0

hám a2 b2

1 onda tómendegi teńsizlikti dálilleń.

a a3

c c3

13. Eger a 0 bolsa, onda tómendegi teńsizlikti dálilleń.

a3 b3 3ab2 4 2

14. Eger a,b,c R bolsa, onda tómendegi teńsizlikti dálilleń.

a b 4 b c 4 a c 4 74 a4 b4 c4

15. Eger x, y, z 0 hám

x y z 3 bolsa, onda tómendegi teńsizlikti dálilleń.

y z xy xz yz

16. Eger a 0,b 0,c 0 bolsa, onda tómendegi teńsizlikti dálilleń.

a3 b3 c3 15abc 2 a b c a2

b2 c2

ab bc ac

17. Eger a,b,c 0 bolsa

7 dálilleń.

18. Eger a,b,c 0 bolsa, onda tómendegi teńsizlikti dálilleń.

ab bc ac

3 1

a2 b2 c2

b c a

19. Egerde n natural san bolsa, tómendegi teńsizlikti dálilleń.

n 1 n 2n !!

20. Egerde n natural san bolsa, tómendegi teńsizlikti dálilleń.

n!	2	n 1 2n 1 n

		6

21. Egerde n natural san bolsa, tómendegi teńsizlikti dálilleń.

3n 3n 1 2 4 n

3n !

22. Eger x, y, z 0 hám x y z 2 bolsa,

x3 y y3 z z3 x

xy3 yz3 zx3

ni dálilleń.

23. Eger a,b,c 0 bolsa,

a b

b c

a c

ni dálilleń.

b c

24. Oń a,b,c sanlardıń kóbeymesi birge teń bolsa,

1, 2

0,64

teńsizlikti dálilleń.

25. Oń

a,b sanlar ushın

teńsizlikti dálilleń.

3 a b 3

3ab2

3a2b b3

26. Oń a,b,c sanlar ab bc ca 1 teńlikti qanaatlandirsa,

6b 3

6c 3

abc

teńsizlikti dálilleń.

27. Eger x 0 hám n-oń putin san bolsa, onda tómendegi teńsizliktı dálilleń.

xn		1
1 x x2 ... x2n		2n 1

28. Eger a, b sanları oń hám hár qiyli sanlar bolsa, onda tómendegi teńsizliktı

dálilleń. an an1b an2b2 ... abn1 bn n 1 ab 2

29. Eger a 0, b 0, 0 p 1 sanları ushın tómendegi teńsizlikti dálilleń.

a b p a1 p a pb

30.Haqiyqiy oń x, y, z sanlar ushın shártdi xyz 1qanaatlandirilsa tómendegi

teńsizlikti dálilleń.	x5		y2		z5	1
	x5 y2 z2		y5 z2 x2		z5 x2 y2

3-§. Teńsizliklerdi dálillewde Matematikalıq indukciya metodınan paydalanıw

Matematikalıq induktsiya metodı teoremalardı, tastıyıqlawlardı hám teńsizliklerdı dálillewde keń túrde paydalanıladı.

İnduktsiya - «alıp keledi» degendi ańlatıwshı latın sózi.

Oqıwshı dáslepki waqıtlarda matematikalıq túsiniklerdi baqlaw, tájiriybe arqalı qabıl etiwge beyimlengen boladı; tájriybe hám baqlaw arqalı matematikalıq shınlıqtı úyreniw induktsiya dep ataladı. Ulıwma túrde induktsiya

х 0,1,2,3,...39

dep dara tastıyıqlawlardan ulıwma tastıyıqlawlardı keltirip shıǵarıwǵa aytıladı. İnduktsiya tolıq, tolıq emes hám matematikalıq induksiya bolıp bólinedi.

Eger múmkin bolǵan dara jaǵdaylardıń birewinde qaldırmay qaraǵannan ulıwma juwmaq shıǵarılsa bul tolıq induktsiya boladı. Mısalı: ekinshi onlıqtaǵı ápiwayı sanlardı anıqlaw ushın ondaǵı barlıq sanlardı tómendegishe jazıwǵa boladı:

11	1 11; 12				1	2	2	3; 13	1 13; 14		1	2	7; 15	1 3	5;
16	1	2	2	2	2; 17			1 17;
18	1	2	3	3; 19		1 19; 20			1 2	2	5

Ekinshi onlıqta barlıǵı 4 ápiwayı san bar eken.

Egerde ulıwma juwmaq dara jaǵdaylardı tolıq qaramastan shıǵarılǵan bolsa, onda tolıq emes induktsiya boladı. Tolıq emes induktsiya tiykarında shıǵarılǵan juwmaqtıń durıslıǵına iseniwge bolmaydı.

Mısalı. у х2 х 41 úsh aǵzalıǵı mánislerinde ápiwayı san,

al x=40 mánisinde 412 quramalı san boladı.Solay etip biziń pikirimiz bir neshe dara jaǵdaylarda durıs bolıp, ulıwma alǵanda durıs bolmay shıqtı.

Endi soraw tuwıladı: bazı bir tastıyıqlawlar bir neshe dara jaǵdaylar ushın durıs, biraq barlıq dara jaǵdaylardı qarap shıǵıw múmkin emes, sonda bul tastıyıqlawdıń durıslıǵın qalay biliwge boladı. Bul soraw matematikalıq induktsiya metodı járdemi menen sheshiledi.

Matematikalıq induktsiya metodı

Matematikalıq induktsiya metodınıń tiykarı tómendegi printsipke tiykarlanǵan: Eger bazıbir tastıyıqlaw

1) n	1 bolǵanda durıs hám
2) usı tastıyıqlawdıń qanday da bir erikli n		k mánisinde durıslıǵınan
n k 1	bolǵanda da durıs bolatuǵınlıǵı kelip	shıqsa, onda ol tastıyıqlaw

qálegen natural n sanı ushın durıs boladı. Usı printsipke tiykarlanǵan dálillew metodı matematikalıq induktsiya metodı dep ataladı.

Endi biz Matematikalıq induksiya metodı járdeminde teńsizliklerdi dálillewdı úyrenemiz.

1-mısal: Eger n			1	bolǵanda			1				1	...	1	13	teńsizlikti

								n 1		n	2		2n	24
dálilleń.
Sheshılıwı: 1) Joqarıdaǵı tastıyıqlaw boyınsha dáslep														n	2 bolǵanda
mánisi
			1		1	1	1		7		14	13

		2	1	2	2	3	4		12		24	24
Teńsizlik orınlanadı.
2) n k 1da		1		1		...	1		13

	k		1	k	2			2k	24
	k		1	k	2			2k	24
							21

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf
#
10.08.20246.32 Mб73Matematikani oqitiw metodikasi.pdf
#
10.08.20241.7 Mб4Tenlemeler ham tensizlikler.pdf
#
10.08.20241.65 Mб3Tensizliklerdi dalillew usillari.pdf