Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Aniq integrallar

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

2.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

2-mısal. x a(t sint), y a(1 cost), 0 t 2 cikloydasınıń bir arkası

OX kósheriniń dógereginde aylanıwında payda bolǵan aylanba betliktiń maydanın tabıń.

Sheshiliwi. (S) formulasına sáykes,										2		t		64
		2								2
		2
P(L) 2 a	2	(1 cost)	(1 cost)	2	sin	2	tdt 8 a		2		3 dt				a2.
P(L) 2 a		(1 cost)	(1 cost)		sin		tdt 8 a			sin		2		3
		0								0		2		3
		0								0
3-mısal. r = 5(1 + sin q), 0 q teńlemesi								menen		berilgen			iymek sızıǵı
			2

polyarlıq kosher dógereginde aylanıwında payda bolǵan betliktiń betiniń maydanın tabıń.

Sheshiliwi. (D) formulasına sáykes,


2		2

P 10 (1 sin )sin						25(1 sin )2					25cos2 d 5			2	(1 sin )3 sin d
	0													0
				3							54	2 76
	2			3							54	2 76
	2
10	2 (sin		cos		) sin			cos		d			.
10	2 (sin	2	cos	2	) sin		2	cos	2	d		3	.
		2		2			2		2			3
			8-§. Anıq integraldıń fizikalıq qollanıwları

1.Ózgeriwshi kúshtiń jumisı. Ózgeriwshi F(t) kúshiniń [a,b] segmentinde

islegen jumısı A F (t)dt formulası járdeminde tabıladı (1-§ tı qarań).

1-mısal. Sırtqı kúshlerdiń, massası m bolǵan deneni jerdiń betinen kosmostıń jer orayınan R ge teń qashıqlıqtaǵı noqatına shıǵarıw ushın, orınlawı zárúr bolǵan minimal jumısın esaplań.

Sheshiliwi. Máseleni sheshiw jolın apiwayılastırıw maqsetinde denege jerden basqa kosmos obektleri tásir etpeydi dep esaplaymız. Sonda massası m bolǵan

denege jer tárepinen dene menen jer orayı		arasındaǵı r			qashıqlıǵınan	ǵárezli
bolǵan pútkil álemlik tartılıw kúshi	F		Mm	tásir	etedi. Bunda
	T		r2

gravitaciyalıq turaqli, M jerdiń massası. Sonıń menen birge deneni jerdiń betinen kóteriw ushın oǵan FT kúshine qarama-qarsı baǵıtlanǵan sıtqı FS kúshi menen tásir etiliwi hám FS FT shárti orınlı bolıwı tiyis. Sonda minimal jumıs FS FT sheklik jaǵdayında islenedi. Onda jerdiń radiusın Rj , jer betinen dene ótkeriliwi

tiyisli bolǵan kosmos noqatına

shekemgi

qashıqlıqtı

R arqalı belgilep,

izlenip

atırǵan minimal jumıstıń A

F (r)dr

dr Mm(

)

A Mm(

)

yaǵnıy

bolıwın

kóremiz.

Bunnan

berilgen

deneni

jerdiń

betinen sheksiz uzaqlastırılǵan kosmos noqatına jiberiw ushın

A lim A Mm lim(

)

jumısin islew talap etiliwin kóremiz.

2. Materiallıq noqattıń qozǵalısına baylanıslı máseleler.

2-mısal. Materiallıq noqattıń OX

kósherı boyınsha tuwrı sızıqlı qozǵalıs

teńlemesi

S S (t) ,

t [t

,t ]

túrinde berilgen bolsa, onda materiallıq noqattıń

háreketin

kúzetiw waqıtıniń

baslanǵısh

momentinen waqıttıń

momentine

shekemgi

waqıt

intervalinda

ótken

jolı

S S(t1) S(t0)

formulası

menen

anıqlanadı. Eger

materiallıq

noqattıń tezliginiń waqittan ǵarezli boliw nızamı

v (t), t [t0,t1]

málim

bolsa,

onıń

waqıtıniń baslanǵısh t0

momentinen

t t1 momentine shekemgi waqıt intervalında basıp ótken jolın tabıń.

Sheshiliwi.

Tuwrı

sızıqlı

qozǵalıstaǵı

materiallıq

noqattıń

tezligi

v (t)

dS (t)

t [t 0 ,t1] bolǵanı ushın, materiallıq noqattıń basıp ótken jolı

S S(t) S(t0 )

teń

boladı, eger háreket baǵıtı turaqlı bolsa. Ulıwma

jaǵdayda

materiallıq

noqattıń

kósherı

boyınsha

teń

ólshewli bolmaǵan

qozǵalıstıńda háreket baǵıtı turaqlı

bolmasa, onda ótilgen joldı,

(t)

formulası járdeminde esaplaydı.

3-mısal(tuwrı sızıqlı emes qozǵalıs). Sırǵanamastan OX

kósherı boyınsha

domalap

baratuǵın

radiusı

teń

dóńgelekte

noqatı

belgilengen.

Dóńgelektiń bir tolıq aylanıwında M noqatı ótken jolın tabıń.

Sheshiliwi. Meyli waqittıń

t 0 baslanǵısh momentinde M

noqatı tómengi

awhalında

OXY

koordinatalar

sisteması

basında

bolsın.

noqatınıń

koordinataları menen burılıw múyeshi arasındaǵı ǵárezlilik,

y r(1 cos ),

x r( sin ), 0 2

túrinde jazıladı. Bul formulalar menen anıqlanatuǵın iymek sızıq cikloyda arkası

bolıwı málim. Al bizler izlep otırǵan jol usı arkanıń uzıliǵına teń, yaǵnıy
2		2		2


S	d		2r(1 cos )d 2r sin
S	d		2r(1 cos )d 2r sin		2d 8r.
0	0		0

3. Materiallıq sızıqlar hám plastinkalardıń inerciyalıq hám statikalıq momentleri. 1. Materiallıq noqattıń radiusı r ge teń sheńber boyınsha teń

ólshewli qozǵalısındaǵı múyeshlik tezligi menen v sızıqlı tezligi v r

teńligi arqalı baylanısadı. Tegislikte	massası m bolǵan A materiallıq noqatı
berilgen bolsın. Bul noqat bazıbir l	kósheriniń dógereginde orayı O l noqatıda

bolǵan, radiusı r ge teń sheńber boyınsha aylanǵanda onıń kinetikalıq energiyası

E	mv2				mr2 2	túrinde ańlatıladı. Eger A materiallıq noqatınıń bunday aylanba

2			2
qozǵalısın xarakterleytuǵın								I mr 2 shamasın kiritsek, onda kinetikalıq energiya
E		I 2		túrindegi ápiwayı kórinisine iye boladı. Usı kiritilgen						I mr2	shamasına

2
A materiallıq noqatınıń l								kósherine (O noqatına) baylanıslı inerciyalıq momenti
dep ataladı. A						materiallıq noqatınıń l			kósherine baylanıslı statikalıq momenti
dep A noqatı menen l							kósherine shekemgi qashıqliqtıń d			shaması menen A
noqatına jaylastırılǵan massanıń kóbeymesine aytıladı hám Ml										arqalı belgilenedi,
yaǵnıy				Ml md . Eger				tegislikte	OXY dekart koordinatalar		sisteması
belgilengen hám						A(x, y)	noqatına m massası jaylastırılǵan bolsa, onda A(x, y)

materiallıq noqatınıń koordinata kósherlerine hám koordinata basına baylanıslı

inerciyalıq

momentleri

sáykes

túrde

IOX

my2 ,

IOY

mx2

hám

m(x2 y2 ) ,al koordinata kósherlerine baylanıslı statikalıq momenleri sáykes

túrde MOX

my,

MOY mx

formulaları járdeminde tabıladı.

2. Eger massaları sáykes

mk , k 1,n

bolǵan n

materiallıq noqatlar sistemasın

radiusları sáykes

rk , k 1, n

bolǵan sheńberler boyınsha belgilengen

l kosheri

dógereginde turaqlı

múyeshlik tezliginde aylandırılsa, onda bunday qozǵalıstaǵı

noqatlar sistemasınıń qosındı kinetikalıq energiyası

m v2

n m

2r2

(1)

k 1

túrinde jazıladı.

Eger

noqatlar

sistemasınıń

bunday

aylanba

qozǵalısın

xarakterlewshi I m r2

shaması kiritilse, onda qosındı kinetikalıq energiyanı

E I 2

k 1

ápiwayı

túrinde

jazıw

múmkin. Usı

kiritilgen

shamasına

materiallıq

noqatlar

sistemasınıń

berilgen

kósherine

baylanıslı

inerciyalıq

momenti dep ataydı. Demek, massaları sáykes

mk , k 1,n

bolǵan

Ak , k 1, n

materiallıq noqatlar sistemasınıń belgilengen l

kósherine

baylanıslı

inerciyalıq

momenti bul sistemaǵa kiritilgen hárbir noqattıń usı

kósherine

baylanıslı

inerciyalıq momentleriniń qosıdısına teń boladı.

mk , k 1, n

Massaları

sáykes

bolǵan

Ak , k 1, n

materiallıq

noqatlar

sistemasınıń belgilengen

kósherine baylanıslı

statikalıq momenti

dep usı

noqatlardıń hár birinen

kósherine baylanıslı statikalıq momentleri qosındısına

aytamız. Bunday Ak , k 1,n

materiallıq noqatları

sisteması berilgen jaǵdayda

mk , k 1,n

massaları

awırlıq

orayı

dep

atalatuǵın

C(xC , yC )

noqatına

jámlenedi. Usı

C(xC , yC )

awırlıq

orayınıń l kósherine

baylanıslı

statikalıq

momenti

Ak , k

1,n

materiallıq

noqatlar sistemasınıń

kósherine

baylanıslı

statikalıq momentine teń boladı.

Eger tegislikte

OXY

dekart koordinatalar sisteması belgilengen bolsa, onda

joqarıda

keltirilgen

anıqlamalarǵa

sáykes

massaları sáykes

mk , k 1,n

bolǵan

Ak (xk , yk ), k 1, n

materiallıq noqatlar sistemasınıń koordinata kósherlerine hám

koordinata basına baylanıslı inerciyalıq momentleri sáykes túrde

m y

hám

m (x2 y2 )

k k

m k xk

k k

k 1

formulaları járdeminde, al statikalıq momentleri bolsa,

mk xk

MOX mk yk , MOY

k 1

formulaları járdeminde tabıladı. Materiallıq noqattıń statikalıq momenti hám materiallıq noqatlar sistemasınıń awırlıq orayınıń anıqlamalarına sáykes

MOX mk yk myC M XC , MOY mk xk mxC MYC ,

m mk

k 1

teńlikleri

orınlı.

Bunda

M XC ,

MYC

awırlıq

orayınıń sáykes OX , OY

kósherlerine

baylanısli

statikalıq

momentleri.

Bunnan

C(xC , yC )

awırlıq

orayınıń koordinataları ushın

mk yk ,

mk xk ,

MOX

k 1

formulalarına iye bolamız.

y f (x),

a x b

3. Meyli L materiallıq iymegi

teńlemesi

menen

berilgen

bolsın.

Bunda

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde

úzliksiz

differenciallanıwshı funkciya. Eger

iymegine

bólistirilgen

massanıń

sızıqlı

tıǵızlıǵı birge teń dep esaplasaq, onda

L materiallıq

iymeginiń massası usı

iymektiń S (L)

uzınlıǵına teń boladı. Endi [a,b] segmentin T {xk , k

0, n}

maydalaymız,

(T ) bul maydalawdıń maydalıǵı bolsın. Sonda [a,b] segmentiniń

bul maydalanıwına L

iymeginiń

T {L , k 1, n} maydalanıwı sáykes keledi.

Lk {y f (x), xk 1

x xk } ,

hám S(Lk )

Bunda

dx ,

k 0, n .

1 ( f (x))

xk 1

(T )

Bunnan

T {xk , k

0, n

} maydawınıń

maydalıǵı

jeterli kishi bolǵanda

S(L ) m

1 ( f (x ))2 x

, k 0,n boladı.

Eger

(T ) 0 da

S (L ) 0 sa,

onda

iymeginiń

hárbir L

bólegin

, f (x

))

túrindegi materiallıq noqat dep qabıl etiw múmkin. Sonlıqtan L

iymeginiń

hám

kósherlerine hám

koordinata

basına baylanıslı

inerciyalıq momentlerin sáykes

I k

m ( f (x ))2 ( f (x ))2

1 ( f (x ))2 x , I k

m x x2

1 ( f (x ))2 x ,

k k

m (x2

( f (x ))2 )

túrlerinde hám OX

hám OY

kósherlerine baylanıslı

statikalıq momentlerin sáykes

f (x )m f (x ) 1 ( f (x ))2 x , Mk

x m x

1 ( f (x ))2 x

k k

túrlerinde

ańlatıw múmkin. Sonda

iymeginiń

koordinata

kósherlerine hám

koordinata basına baylanıslı inerciyalıq momentleri,

I k

( f (x ))2 1 ( f (x ))2 x , I

I k

x2 1 ( f

(x ))2 x ,

k 1

I (x2 ( f (x ))2) 1 ( f (x ))2 x

k 1

al koordinata kósherlerine baylanıslı statikalıq momentleri bolsa,

I k

f (x ) 1 ( f

(x ))2 x , M

I k

1 ( f (x ))2

k 1

boladı.

f (x) funkciyası [a,b] segmentide úzliksiz differenciallanıwshi bolǵanı


ushın	f (x) 1 ( f (x))2 , x			1 (
funkciyaları	usı	segmentte úzliksiz
Onda joqarıdaǵı		juwıq teńliklerinde
iymektiń OX , OY		kósherlerine		hám
momentleri,
b			b


f (x))2 , ( f (x))2	1 ( f (x))2 , x2			1 ( f

hám sonıń ushın integrallanıwshi boladı.

(T ) 0 da shekke otip, materiallıq koordinata basına baylanıslı inerciyalıq

IOX f 2(x)	1 ( f (x))2 dx,	IOY x2 1 ( f (x))2 dx ,			IO (x2 f 2 (x)) 1 ( f (x))2 )dx
a		a			a
formulalarına hám OX , OY kósherlerine baylanıslı statikalıq momentleri
	b				b
	MOX	f (x) 1 ( f (x))	2	dx,		2	dx
	MOX	f (x) 1 ( f (x))		dx,	MOY x 1 ( f (x))		dx
	a				a

formulalarına sáykes anıqlanıwı múmkinligin kóremiz. Endi L materiallıq iymeginiń C(xC , yC ) massalar orayınıń koordinataların tabıw ushın

MOX

C M XC , MOY x

C MYC

teńliklerinen paydalanıp,

m S (L)

bolǵanı ushın,

f (x) 1

( f (x))2 dx

, y OX

formulalarına iye bolamız. Bul formulalardan ekinshisin

2 ge kóbeytip,

C b

2 y

1 ( f (x))2 dx 2

f (x) 1 ( f (x))2 dx

túrinde jazsaq, 1 ( f (x))2 dx S(L)

teńligi

L {y f (x), a x b} iymeginiń

uzınlıǵı, al 2 f (x) 1 ( f (x))2 dx P(L)

formulası

bolsa

usı

L iymegi OX

kosheri dógereginde aylanǵanda payda bolǵan betliktiń betiniń

P(L) maydanın

tabıw formulası ekenligin esapqa alsaq,

2 yCS(L) P(L)

teńligine iye bolamız.

Bul teńlik L iymegi ózi menen kesilispeytuǵın, biraq bir tegislikte jatıwshı kosher dógereginde aylanǵanda payda bolǵan betliktiń betiniń maydanı bul aylanıwdaǵı L iymeginiń massalar orayı sızgan sheńberdıń uzınlıǵın hám L iymeginiń óziniń

S (L) uzınlıǵınıń kóbeymesine teń degen maǵana beredi. Usi natiyje mexanikada

Guldenniń birinshi teoreması dep ataladı.

1-mısal. Uzınliǵı d ǵa teń bolǵan birtekli sterjenniń ortasına baylanıslı inerciya momentin, statikalıq momentin hám massalar orayınıń koordinataların tabıń.

Sheshiliwi. Sterjenniń ortasına baylanıslı inerciya momenti degende onıń qaq ortası arqalı ótetuǵın hám sterjenge perpendikulyar bolǵan qálegen kósherge baylanıslı inerciya momenti túsiniledi. Bizler sterjendi qaq ortası koordinata

basında bolatuǵınday etip OX kósheriniń		d	x	d	kesindisine jaylastıramız.

	2		2

Sonda sterjenniń ortasına baylanıslı inerciya momentin esaplaw ushın onıń OY kósherine baylanıslı inerciya momentin esaplaw jeterli boladı, yaǵnıy

IOY d x2

			2
Endi	m		bolǵanı ushın
		d

							d
dx		f (x) 0, x [		d	, d ]		2
				d

			2 2				d
						2
	md 2
IOY			boladı.
IOY	12		boladı.
	12

x2dx d 3 . 12

Bunda m sterjenniń massası. f (x) 0, x [

] bolǵanı ushın

2 f 2(x)

0dx 0,

IO IOX

IOY IOY .Statikalıq momentleri:

IOX

( f (x))2 dx

d 2

f (x) 1 ( f (x))2 dx 0 ,

MOX

MOY

x 1 ( f

|d 2

xdx

0. Awırlıq orayı

0 boladı.

4. Meyli

G {(x, y) : a x b, 0 y f (x)}

iymek sızıqlı trapeciyası berilgen

bolsın.

Bunda

f (x)

funkciyası

[a,b] segmentinde

úzliksiz

funkciya. G

trapeciyasina

m massa

ǵa teń tıǵızlıqta bolistirildi. Kelip shıqqan materiallıq

trapeciyasınıń

OY kósherine baylanıslı inerciyalıq momentin esaplaw máselesin

qarastıramız.

[a,b]

segmentin

T {x

b a

k, k 0,n} usılında maydalap,

{ k , k 1, n

k k [xk 1, xk ], k 1, n

tańlawın júzege asıramız. Sonda

[a,b] segmentiniń

usılında maydalanıw

usılına

materiallıq trapeciyanıń

Gk {(x, y) : xk 1 x xk , 0 y f (x)}, k 1,n

maydalanıwı

sáykes

keledi. T maydalawınıń (T ) maydalıǵı

jeterli

kishi bolsa,

Gk , k 1, n

trapeciyaları

ultanı

biyikligi

f (xk ) , k 1, n

teń bolǵan jińishke

tuwrımúyeshliklerden parqı júdá kem boladı. Usınday

k materiallıq

tuwrımúyeshliklerdiń massası

f ( k ) xk , k 1, n

ǵa

teń hám

kósheri

dógeregindegi aylanba qozǵalısındaǵı bul tuwrımúyeshliklerdiń noqatlarınıń sızıqlı

shama menen vk k ,

tezligi

k 1, n

ǵa

teń.

Onda

materiallıq

n m v2

f (

)

trapeciyasınıń kinetikalıq energiyasın

k k

túrinde

k 1

jazıw múmkin. Bul teńlikte (T ) 0

da shekke ótsek, joqarıda

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde úzliksiz bolǵanı

ushın

x2 f (x)

funkciyasıda

[a,b]

segmentinde úzliksiz hám

E lim 2

f ( ) 2 x

b x2 f (x)dx

teńligi

n 2

k 1

orınlı boladı.	Endi		IOY	2			belgilewin kiritip, kinetikalıq energiyanı
orınlı boladı.	Endi		IOY	x	f (x)dx		belgilewin kiritip, kinetikalıq energiyanı
				x	f (x)dx
				a
ıqsham E	2	IOY	túrinde jazamız. Bunda IOY materiallıq trapeciyanıń OY
ıqsham E	2	IOY	túrinde jazamız. Bunda IOY materiallıq trapeciyanıń OY
kósherine baylanısli inerciyalıq momenti dep ataladı, al materiallıq trapeciyanıń
tıǵızlıǵı, yaǵnıy birlik maydanǵa tuwrı keletuǵın massa bolıp,
						m		m
								b
						S (G)

f (x)dx

formulası menen anıqlanǵan. Demek, iymek sızıqlı materiallıq trapeciyanıń OY kósherine baylanıslı inerciyalıq momenti ushın

x2 f (x)dx

f (x)dx

formulasına iye bolamız.

Materiallıq

trapeciyanıń statikalıq momenlerin esaplawdı

1 bolǵan jaǵday

ushın

qarastıramız. Bunday jaǵdayda

Gk , k 1,n

materiallıq trapeciyalardıń

S (G

)

maydanları hám sáykes

massaları

ushın

S(G ) m

f (

) x

teńligi

orınlı

boladı

hám

olardıń massalar

orayınıń

koordinatalarý

retinde

, y

1 f ( ) ,

k 1, n

noqatların aladı.

Sonda

G ,

materiallıq

trapeciyalarınıń OX

hám

kósherlerine

baylanıslı

statikalıq momentlerı

sáykes

( f ( )2 )

xk , M

f ( ) x

túrinde jazıladı. Onda

G materiallıq trapeciyasınıń statikalıq momentleri ushın

f ( ) x ,

f ( ) x

2 k 1

k 1

ańlatpalarına

iye

bolamız.

f (x)

funkciyası

[a,b] segmentinde

úzliksiz

hám

keyingi

teńliklerdiń

oń

tárepi

f 2 (x)

hám

xf (x)

funkciyalarınıń [a,b]

segmentin T

maydalaw usılındaǵı integrallıq qosındıları bolıwın kórip,

(T ) 0

shekke

ótsek,

materiallıq trapeciyasınıń koordinata

kósherlerine baylanıslı

statikalıq momentleri

MOX

2 (x)dx,

MOY xf (x)dx

2 a

formulaları járdeminde anıqlanadı degen

juwmaqqa

kelemiz.

materiallıq

trapeciyasınıń

C(xC , yC )

awırlıq orayınıń koordinataları

m S (G)

bolǵanı ushın

MOY

xf (x)dx

MOX

1 f 2 (x)dx

2 a

f (x)dx

formulalarına sáykes tabıladı. Bul formulalardan ekinshisin 2 ge kóbeytip,

2 yC f (x)dx f 2 (x)dx

teńligine

iye

bolamız.

Bunda

f (x)dx S (G)

iymek

sızıqlı

trapeciyanıń

maydanı,

bolǵanı

ushın,

V (G) 2 yC S(G)

teńligine iye

(x)dx V (G)

bolamız,

yaǵnıy G

iymek sızıqlı trapeciyasınıń

kósheri

dógereginde

aylanıwınan payda bolǵan deneniń kólemi onıń maydanı menen bul aylanıwda massalar orayı sızǵan sheńberdiń uzınlıǵınıń kóbeymesine teń boladı. Usı nátiyje Guldenniń ekinshi teoreması dep ataladı.

1-mısal. Massası m ǵa teń bolǵan G {(x, y):	0 x a, 0 y 1 x2} iymek
sızıqlı trapeciyası formasındaǵı plastinkanıń OY	kósherlerine baylanıslı inerciya

momentin, koordinata kósherlerine baylanıslı statikalıq momentlerin hám massalar orayınıń koordinataların tabıń.

Sheshiliwi. OY kósherlerine baylanıslı inerciya momenti:

x 3

x 5

x2 (1 x2 )dx

IOY

m 3

| 0

ma (5 3a )

5(3 a2 )

(1 x2 )dx

x |a0

|0a

koordinata kósherlerine baylanıslı statikalıq momentleri:

MOX

f 2 (x)dx 1 a (1 x )

a(15 10a2

3a4 )

2 0

x(1 x

)dx

x 2

(2 a

)

MOY

xf (x)dx

massalar orayınıń koordinataları;

MOY

3a(2 a2 )

MOX

(15 10a2 3a4)

4(3 a2)

10(3 a2)

2-mısal.

(x d )2 y2

r 2, 0 r d

sheńberi OY

kósheri

dógereginde

aylanǵanda kelip shıqqan betliktiń maydanın tabıń.

Sheshiliwi. Bunday betliklerdi matematikada tor

dep ataydı.

Berilgen

sheńberdiń

massalar orayı

(d ,0)

noqatı

boladı.

Usı

noqat

kósheri

dógereginde aylanǵanda kelip shıǵatuǵın sheńber uzınlıǵı

S (L) 2 d

ǵa teń, al

berilgen sheńberdiń uzınlıǵı

2 r . Guldenniń birinshi teoreması tiykarında tordıń

betiniń

maydanı P(L) 2 y S(L) 2 d 2 r 4 2dr

boladı.

Shınıǵıwlar

Berilgen sızıqlar menen shegaralanǵan figuralardıń maydanın esaplań:

1. x 2y 4 0, x y 5 0, y 0. (J.13,5) ;	2. y 6x, x 4,	y 0. (J. 48)
3. y x2 3y, y 2 x2. (J. 2 2); 4. y x2, x y2. (J. 1)		5.
3	3

y x2 8x 18, y 2x 18. (J. 36); 6. y x2 10x 16, y x 2. (J. 4,5). 7. y x, y x12 , y 0, x 3, (J. 76).

8. Polyar kósheri hám a , a 0 Arhimed spiralınıń birinshi oramı menen

shegaralanǵan figuranıń maydanın tabıń.			(J. 4		3a2 ) .
				3			a2
	a cos3

9.		úsh japıraqlı pozanıń maydanın tabıń.				(J.		).
							4

10. x a cos3 t, y asin3 t, 0 t 2 astroydası menen shegaralanǵan figuranıń maydanın tabıń.

Doǵa uzılıǵın esapań. 1. y x

yarım kubikalıq parabolasınıń 0 x 5

segmentine sáykes keliwshi doǵasınıń uzınlıǵın tabıń.

(J.

335

a , a 0

Arhimed spiralınıń

birinshi

oramınıń

uzınliǵın tabıń.

(J. a( 2 1

4 2

1)).

x et cost, y et sin t, 0 t ln

parametrli

teńlemesi

menen berilgen

iymek sızıǵınıń uzınlıǵın tabıń. (J . 2( 1)).

y ln cos x 3

funkciyası frafiginiń

0 x

segmentine sáykes keliwshi

doǵası uzınlıǵın tabıń. (J. ln( 1)).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб5Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf