Aniq integrallar

túrinde

ańlatıw

n

2

mumkin. Onda 0 V (Q ) V (q ) S s

(M

m ) x

T

T

k

k

k

k 1

teńligi

orınlı

hám

M sup f (x)

belgilewin

kiritsek,

(T )

bolǵanda

x [a,b]

n

(M

m ) x2

2 M (b a)

teńsizligi

orınlı

boladı.

Endi

nı

k

k

k

k 1

(T ) bolǵanda

4 M (b a)

túrinde tańlasaq,

0 V (Q ) V (q )

b

hám V (Q )

(T ) 0

2 xf (x)dx

Onda V (q )

qosındılarınıń

daǵı shekleri

a

b

integralına

teń

bolǵanı

ushın

denesiniń kólemin

V ( ) 2 xf (x)dx

formulası járdeminde esaplaw múmkin boladı.

a

y2

z

2

1-mısal.

x2

1 ellipsoydınıń kólemin tabıń.

a2

b2

c2

Sheshiliwi.

Ellipsoydtı

OYZ

tegisligine

parallel bolǵan

x x0

tegisligi

menen

kesemiz. Sonda

kesimde

y2

z2

1,

x x0

,

x2

ellipsı

2

1 2

(c )

0

(b )2

a

boladı.

Bul

ellipstiń

maydanın

tabıw

ushın

onıń

I-aktanttaǵı

z c

,

x x0 bóleginiń maydanın 4 ke kóbeytiw jeterli. Sonda,

b

y b sin t, y 0 t 0

y2

S (x0 ) 4c 1

dy

dy b costdt, y b

t

2

(b )

0

2

2

2

2

S (x0 ) cb (1 x0 ) .

4cb 2 cos2 tdt cb

(1 x0 ) , yaǵnıy

0

a

a2

a

a

x2

4

Onda

ellipsoydtıń

kólemi

V 2 S (x)dx 2 bc (1

)dx

abc.

Bunnan,

a

2

0

0

3

a b c r dara jaǵdayında shardıń V

4

r3 kólemi kelip shıǵadı.

3

2-mısal.

x a(t sin t), y a(1 cost)

parametrli

teńlemesi

menen

berilgen iymek sızıǵı cikloyda dep ataladı. Cikloydanıń bir arkası

OX

kósheri

dógereginde aylanıwında payda bolǵan deneniń kólemin tabıń.

0

2π

10- súwret

a

2

2

V y2dx a2

(1 cost)3dt a2 (1 3cost 3cos2 t cos3 t)dt

0

0

0

2

1 cos 2t

a

2

(1

3cost 3

(1 sin2 t) cost)dt

2

0

3

3

sin3 t 2

a3 (t 3sin t

2 3

t

sin 2t sin t

) |0

5 a .

2

4

3

keńislikte OXYZ

tuwrımúyeshli dekart koordinatalar sisteması tańlanǵan

hám

[ , ]

segmentinde

x x(t), y y(t), z z(t)

úzliksiz

funkciyaları anıqlanǵan

bolsın. Bunday jaǵdayda

[ , ]

segmentiniń

úsh

ólshewli keńislikke

úzliksiz

sáwlelendiriliwi

berilgen

delinedi.

t [ , ]

mánisine

sáykes

keliwshi

x(t), y(t), z(t) sanlar

úshligin

keńisliktegi M (t) noqatınıń koordinatası

retinde

yamasa

OM r(t)

vektorınıń

koordinatası

retinde

qarastırıw

múmkin,

yaǵnıy

OM r(t) (x(t), y(t), z(t))

. Eger t

waqıt retinde qabıl etilse, onda

x x(t),

y y(t), z z(t) ,

t [ , ]

(1)

teńlemeleri

M (t)

noqatınıń qozǵalıs

nızamın

anıqlaydı. Bul

jaǵdayda

t

nıń

[ , ]

segmentindegi múmkin bolǵan mánislerine saykes keliwshi keńisliktegi

noqatlar kópligin (1) nızamına sáykes qozǵalıwshı

M (t) noqatınıń

izi

retinde

qarastırıwǵa

boladı.

Meyli

E

usınday

noqatlar

kópligi

bolsın.

Eger

t ,t

2

[ , ], t

1

t

mánislerine

keńisliktiń

hárqıylı

M (t1), M (t2 )

noqatları

1

2

sáykes kelse hám t1 t2 teńsizligi orınlı bolsa, onda “ M (t2 ) E

noqatı

M (t1) E

noqatınan keyin” yamasa “ M (t1) E

noqatı M (t2 ) E

noqatınan

aldın” dep aytamız. Usınday ornatılǵan noqatlardıń jaylasıwı

E kópliginde de

tártip ornatadı. Bunday tártiplesken

E kópligine

ápiwayı iymek dep

ataladı.

ápiwayı iymekti L háribi menen belgileymiz hám onıń teńlemesin

L {x x(t), y y(t), z z(t), t [ , ]}

(2)

koordinatalıq túrinde yamasa

L {r r(t), t [ , ]}

(3)

vektorlıq túrinde jazadı. Bunda

r (x, y, z),

r(t) (x(t), y(t), z(t)) .

(2)

hám (3)

teńlemelerde t nı L iymeginiń parameteri dep ataydı. Parametrdiń

t hám

t mánislerine sáykes keliwshi keńisliktiń

M ( ) hám M ( ) noqatları sáykes

L iymeginiń bası hám sońı dep ataladı.

Dara jaǵdayda, eger

L iymegi OXY

tegisligine tiyisli iymek bolsa, onda

onıń teńlemesi L {x x(t), y y(t), t }

koordinatalıq kórinisinde yamasa

L {r r(t), t [ , ]}

vektorlıq

túrinde

jazadı.

Bunda

r (x, y), r(t) (x(t), y(t)) .

[ , ] segmentinde

úzliksiz bolǵan

y f (x)

funkciyasınıń grafigin

OXY

tegisligindegi

L {x t, y f (t),

t }

boladı, yaǵnıy

t

parametriniń hárbir t [ , ] mánisine birden-bir

M (t) L

noqatı sáykes keledi hám kerisinshe hárbir M L noqatına birden-bir

t [ , ]

mánisi sáykes qoyılǵan.Eger t

parametriniń t1,t2 [ , ] mánisleri bar bolıp,

M (t1) M (t2 )

teńligi orınlı bolsa, onda (1)-sáwlelendiriw óz-ara bir mánisli

bolmaydı. Bunday jaǵdayda L iymegin parametrlew ushın [ , ]

segmentin

T {tk , k 0, n}

usılında

k [tk 1,tk ], k 1, n} dara kesindilerine sonday

maydalaymiz,

natiyjede

harbir

x x(t), y y(t), z z(t) ,

t [tk 1,tk ] ,

Lk {x x(t),

y y(t), z z(t), tk 1 t tk } , k 1, n

ápiwayı iymegin anıqlasın.

Sonda L iymegi Lk 1 iymeginiń sońı Lk ,

k 1,n ,

parametrine baylanıslı

L {r1

r1(s), 1 s 1} túrinde de berilgen bolsa, onda

s s(t)

funkciyası

[ , ]

segmentinde

uzliksiz, qatań ósiwshi hám

s( ) 1, s( ) 1, r1(s(t)) r(t), t [ , ]

shártlerine boysınıwı tiyis. Sonda

[

, ]

segmentinde

s s(t)

funkciyasına

keri bolǵan t t(s)

funkciyası

1

1

hám s [ 1, 1] ushın r1(s) r(s(t)) teńligi orınlanadı.

Eger

(3)

teńlemesindegi t

parametri ornına

L iymeginiń óziniń

s s(t)

doǵasınıń uzınliǵı alınsa, onda onıń teńlemesi L {r r(s), 0 s l(L)}

túrinde

jazıladı hám L iymeginiń tabiyi

teńlemesi dep,

al

s

parametri bolsa tabiyi

parametr dep ataladı.

Meyli L

iymegi (3)

teńlemesi menen berilgen

hám t

parametriniń

t

,t

2

[ , ], t

1

t

mánislerinde

r(t1) r(t2 )

teńligi

orınli

bolsın.

Onda

1

2

x x(t1) x(t2 ), y y(t1) y(t2 ),

z z(t1) z(t2 )

teńlikleri

orınlı

bolǵanı

ushın M1 (x1, y1, z1)

noqatı

L iymeginiń óz-ózi menen kesilisiw noqatı boladı.

Eger r(t1) r(t2 ) teńligi t1 , t2

bolǵanda orınlansa, onda

L iymegi tuyıq

dep ataydı. Eger

r (t0 ) 0

bolsa,

onda

M 0 L noqatı L iymeginiń ayrıqsha

bolmaǵan noqatı

dep, al r (t0 ) 0

bolsa,

onda

M0 L noqatı L iymeginiń

ayrıqsha noqatı dep ataladı.

tuwındısı

[ , ]

segmentinde úzliksiz bolsa,

r (t)

onda (3) teńlemesi menen

berilgen L

iymegine

úzliksiz differenciallanıwshı

OMk r(tk ), k

0, n

.

Onda

M0 , M1, , M

noqatların

n

M0M1, M1M 2 , , Mn 1Mn ,

kesındıleri menen tutastırıp

L iymegine ishki

sızılǵan sınıq sızıq dep atalatuǵın hám Pn

arqalı belgilenetuǵın sınıq sızıqqa iye

bolamız. Pn sınıq sızıǵınıń k bólegi bolǵan Mk 1Mk

kesindisiniń uzınliǵı

r(t ) r(t

)

ge teń bolıwın kóriw qıyın emes. Onda P

sınıq sızıǵınıń uzınlıǵı

k

k 1

n

n

qosındısına teń boladı hám onıń mánisi [ , ] segmentin

n

r(t

) r(t

)

k

k 1

k 1

uzınlıǵı l(L) ( ) sup

teńsizligin qanaatlandıradı.

t

Dálilleniwi. [ , ]

segmentin bazıbir T {tk , k

0, n

} usılında maydalasaq

hárbir k [tk 1,tk ],

k 0, n dara

kesindisinde r(t)

funkciyası

úzliksız

hám

(tk 1,tk ),

k 0, n

intervallarında

differenciallanıwshı bolǵanı

ushın

Lagranj

teoremasına sáykes

tk 1), k

(tk ,tk 1)

teńsizligi orınlı.

r(t) funkciyası

[ , ]

segmentinde úzliksız bolǵanı

ushın [ , ]

segmentinde

shegaralanǵan, yaǵnıy

K 0 : t [ , ] r

(t)

K .

Veyershtrass

teoremasına

sáykes K sup

bolıwı múmkin. Onda L iymegine ishki sızılǵan Pn

sınıq

t

n

sızıǵınıń uzınlıǵı n

ushın

n

k 1

tk tk 1) K (tk tk 1) K ( )

r(tk ) r(tk 1)

r ( k ) (

k 1

k 1

k 1

bahası orınlı. Bunnan

l(L) sup n

( ) sup

. Teorema dálillendi.

t

L {r r(t), t }

Teorema(Ózgeriwshi doǵa tuwındısı).

Eger

iymegi úzliksiz

differenciallanıwshı

hám s(t) onıń

ózgeriwshi

duga

uzınlıǵı

bolsa, onda

s (t)

r (t)

teńligi t [ , ]

ushın orınlı boladı.

Dálilleniwi.

t [ , ]

noqatın alıp

t

ósimin

sonday beremiz

nátiyjede

t t [ , ]

bolsın. t hám

t

noqatlarına

L

iymeginiń M

hám

M

t

noqatları sáykes keledi.

hám

arqalı sáykes

duga

d ( M

M )

M M

M M

hám

xorda uzınlıqları belgilense, onda

s , r ósimleri

d( M

M

) s

,

M M

M M

r

bolǵanı

ushın

r

s

teńsizligi

orınlı

boladı. Onda

aldın

dálillengen teoremadan

s

sup r

(t)

teńsizligi orınlanadı. Bunda E shetki

t

noqatları t

t E

r

s sup

t