Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Aniq integrallar

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

2.46 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

bolǵanı ushın			f (x)g(x)		funkciyası da		usı	kesindide	integralanıwshı. Onda
integraldıń teńsizliklerge baylanıslı qasiyetinen paydalanıp,
			b		b			b
		m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx									(2)
			a		a			a
						b
teńsizligine iye bolamız.					Eger	g(x)dx 0		bolsa, onda keyingi teńsizlikten
						a
	b
	f (x)g(x)dx =0 teńligi kelip shıǵadı. Bul jadayda (1) teńligi									0 0	túrine
	a
iye bolıp retinde				[m, M ] kesindisine tiyisli qalegen sandı alǵanda (1) teńligi
				b				b
orınli boladı.			Eger	g(x)dx 0 bolsa,			onda g(x)dx 0			boladı,	sebebi
				a				a
									b
teoremanıń 3-shártine sáykes g(x) 0 .							(2) teńsizligin		g(x)dx sanına bólip,
									a
	b
	f (x)g(x)dx
a
				belgilewin		kiritsek,	(2)	teńsizligine teń		kúshli	bolǵan
	b
	b

g(x)dx

m M teńsizligi kelip shıgadı. Bul kiritilgen belgilewden (1) teńligi orınli

bolıwın kóriw qıyın emes.	g(x) 0 bolgan jadayda da teorema durıs boladı,
sebebi g(x) tı g(x)	qa ózgertiwden (1) teńligi ózgermeydi. Teorema

dálillendi. Dálillengen teoremanıń saldarı retinde orta mánis haqqında integrallıq teorema dep atalatuǵın tómendegi teorema kelip shıǵadı.

Teorema. Eger f (x) funkciyası [a,b] segmentinde úzliksiz, g(x) funkciyası [a,b] segmentinde integralanıwshı hám tańbasın saqlaytuǵın funkciya bolsa, onda sonday [a,b] noqatı bar boladı da (1) teńligi

b	b
f (x)g(x)dx	f ( ) g(x)dx	(3)
a	a
túrinde jazıladı.

Dálilleniwi. Kesindide úzliksiz funkciyalar ushın Veyershtrass teoremasına

sáykes sonday x1, x2 [a,b]	mánisleri bar boladı da	f (x1) m inf	f (x)
		x [a,b]
hám f (x2 ) M sup f (x)	teńlikleri orınlı boladı. Onda x [a,b]		ushın
x [a,b]

m f (x) M

hám (1) formuladaǵı sanı m M bolǵanı sebepli kesindide úzliksiz funkciyanıń aralıq mánisi haqqıdaǵı Koshi teoremasına sáykes

	f ( )				teńligi orınlı bolatuǵın [a,b]														noqatı bar hám sonıń ushın (1)
teńligin úzliksiz funkciyalar jadayında (3) túrinde jazıladı. Teorema dálillendi.
			Dálillengen teorema, x [a,b]											ushın						f (x) 0 sharti orınlı bolganda
[a,b] segmenti						ústinde jasalǵan iymek								sızıqlı						trapeciyanıń			maydanı ultanınıń
uzınlıǵı b a biyikligi									f ( )		ge teń bolgan tuwrımúyeshliktiń maydanına teń
degen geometriyalıq maǵananı beredi.

				40 2				2	10 2x							40 2
Mısal.														dx								teńsizligin dálilleń.
Mısal.			809											dx					400			teńsizligin dálilleń.
			809			0													400
						0
	f (x)					1				,	g(x) 10 2x											belgilewlerin			kiritip,

					2
			100		2		3 sin3 x cos x
x [0, ]							ushın		orınlı		bolǵan				0 sin3						x cos x 3		3	teńsizliginen
			2									9									16
paydalansaq,					0 2 3 sin3 x cos x							9		hám					8				1			1
											8
											8								809							100
teńsizlikleri orınli boladı. Onda (2) teńsizliginen paydalanıp,
									10 2x				1					2
8		2				2			10 2x				1
8		(10 2x)dx															(10 2x)dx						teńsizligine				iye
		(10 2x)dx															(10 2x)dx						teńsizligine				iye
809		0				0							100				0
		0				0											0

bolamız. Bunda							2					2		bolǵanı ushın berilgen teńsizlik orınlı
bolamız. Bunda						(10 2x)dx 5								bolǵanı ushın berilgen teńsizlik orınlı
						(10 2x)dx 5
						0

boladı.

5-§. Joqarı shegi ózgeriwshi integral.

1.Joqarı shegi ózgeriwshi bolǵan	integral. f (x)	funkciyası [a,b]
segmentinde integrallanıwshı funkciya bolsa, onda x [a,b]		ushın joqarı shegi
ózgeriwshi integral dep atalatuın,
x
F (x) f (t)dt			(1)
a
integralı bar boladı hám ol tómendegi qasiyetlerge iye.
1-teorema(úzliksizlik qasiyeti). Eger f (x) funkciyası [a,b]			segmentinde
integrallanıwshı funkciya bolsa, onda F (x)	funkciyası [a,b]	segmentinde

úzliksiz funkciya boladı.

Dálilleniwi. Meyli x [a,b]

hám

x x [a,b]

bolsın.

Onda

F (x)

funkciyasınıń x [a,b] noqatındaǵı ósimi,

x x

F F (x x) F (x)

f (t)dt

(2)

túrinde jazıladı.

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde integrallanıwshı funkciya

bolǵanı

ushın

bul

funkciyası [a,b]

segmentinde

shegaralanǵan, yaǵnıy

M 0 : x [a,b]

f (x)

M .

Endi

integraldı

bahalaw

qaıydasınan

paydalanıp,

x x

f (t)dt

f (t)

dt M dt M x ,

yaǵnıy

M x teńsizligine iye bolamız. Bunnan

x 0

da F 0 ,

yaǵnıy F (x) funkciyası x hoqatında

úzliksiz.

noqatı

[a,b]

kesindisiniń

qalegen noqatı bolǵanı ushın

F (x)

funkciyası [a,b] segmentinde úzliksiz.

2-teorema (differenciallanıwshılıq qasiyeti). Eger

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde integrallanıwshı hám

x0 [a,b]

noqatında úzliksiz funkciya bolsa,

onda F (x) funkciyası

x0 [a,b]

noqatında differenciallanıwshi funkciya boladı

hám onıń tuwındısı ushın

F (x0 )

f (x0 )

teńligi orınlı.

Dálilleniwi.

Meyli

x 0

hám

x0 , x0 x [a,b]

bolsın.

Onda

x0 x

F (x ) lim

f (t)dt

boladı.

f (x )

bolǵanı

ushın teorema

lim( F f (x )) 0

dálillengen boladı, eger

teńliginiń orınlı bolıwı kórsetilse.

Bul teńligin Dálilleniwi ushın tómendegi turlendiriwler orınlanadı:

f (x

f (t)dt

f (x0 )

( f (t) f (t0))dt

Teńliginen hám integraldı bahalaw qaǵıydasınan paydalanıp,

x0 x

f (x0 )

( f (t) f

(x0 ))dt

| x |

f (t) f (x0 ) |dt

(3)

teńsizligine iye bolamız. Teorema shártine sáykes

f (x)

funkciyası

x0 noqatında

úzliksiz, yaǵnıy

0 ( ) : t U (x0)

f (t) f (x0)

boladı.

[a,b]

f (x)

Meyli

bolsın. t

shetki noqatları x0 hám

x0 x bolǵan kesindige

tiyisli bolǵanlıqtan

t x

. Sol sebepli keyingi teńsizlik tek

shártin qanaatlandıratuǵın x

lar ushın ǵana orınlanadı. Onda (3) teńsizliginen

x0 x

f (x0)

| f (t) f (x0) |dt

| x |

teńsizligi kelip shıǵadı. Solay etip,

0 sanına sonday

( ) sanı tabıladı

da 0

shártin qanaatlandıratuǵın x lar ushın

f (x0 )

teńsizligi

lim( F f (x

)) 0

orınlı.

Bul

teńliginiń orınli

bolıwı menen teń

kúshli.

x 0 x

Teorema dálillendi.

F (x0 )

f (x0 )

Dálillengen teoremada

bolǵan jaǵdayda

teńligi

f (a)

hám

bolǵan jaǵdayda

f (b)

túrinde

F (a 0)

F (b 0)

jazıladı.

Sonıń menen birge dálillengen teoremadaǵı joqari shegi ózgeriwshi integraldıń tuwındısı, integral astındaǵı funkciyanıń, argumentiniń mánisi integraldıń joqari shegine teń bolǵandaǵı, mánisine teń bolıwı matematikalıq analizdiń áhmiyetli faktı bolıp esaplanadı.

3-teorema(úzliksiz funkciyanıń baslanısh funkciyası bar bolıwı). Eger

funkciyası segmentinde úzliksiz bolsa, onda ol usı segmentte baslanǵısh funkciyasına iye, bul dáslepki funkciya (1) formulası menen berilgen joqarı shegi ózgeriwshi integral boladı hám sonıń ushın

x
f (x)dx f (t)dt C	(4)
a
teńligi orınlı. Bunda C erikli turaqlı.
Dálilleniwi. f (x) funkciyası [a,b] segmentinde úzliksiz bolǵanı ushın	F (x)

funkciyası x [a,b] noqatında differensiallanıwshı boladı hám onıń tuwındısı

					x
f (x) funkciyasına teń,	yaǵnıy		(x)	(		f (x) . Bunnan baslanısh
		F	(x)	(	f (t)dt)
					a
funkciyanıń anıqlamasına sáykes		F (x)		funkciyası		f (x)	funkciyasınıń [a,b]
segmentindegi baslanısh	funkciyası boladı. Onda					f (x)	funkciyasınıń [a,b]

segmentindegi baslanısh funkciyalar kópligi retinde (4) formulası orınli. Teorema dálillendi.

Saldar. Dálillengen teoremalardan [a,b]	segmentinde úzliksiz	f (x)
funkciyasınıń harqanday dáslepki funkciyası
x
G(x) f (t)dt C, x [a,b]		(5)
a
kórinisine iye bolıwı kelip shıǵadı. Bunda C	erikli turaqlı.
6-§. Anıq integrallardı esaplaw usılları
1. Nyuton-Leybnic formulası.
Teorema. Eger f (x) funkciyası [a,b]	segmentinde úzliksiz hám	G(x)
onıń usı segmenttegi bazıbir baslanǵısh funkciyası bolsa, onda
b
f (x)dx G(b) G(a)		(1)
a

teńligi orınlı.

Dálilleniwi. Úzliksiz funkciyanıń baslanǵısh funkciyası bar bolıwı haqqındaǵı teoremaǵa sáykes f (x) funkciyasınıń [a,b] segmentindegi baslanǵısh funkciyası

		G(x) f (t)dt C						(2)
			a
túrinde	jazıladı. (2)	formulada	x a	bolǵanda		C G(a)	bolǵani	ushın
					x
x [a,b] mánislerinde bul formulanı				G(x) f (t)dt G(a)			túrinde	jazıw
					a
múmkin.
Onda	x b	dara	jadayında			keyingi	teńlikten
b		b
G(b)	f (t)dt G(a) f (t)dt G(b) G(a)				teńligine iye bolamız. Teorema
G(b)	f (t)dt G(a) f (t)dt G(b) G(a)
a		a

dálillendi. (1)-formulanıń oń tárepin G(x) ba

G(b) G(a) túrinde belgilep,

onı

f (x)dx G(x) ba G(b) G(a)

túrinde jazadı hám Nyuton-Leybnic formulası yamasa differenciallıq esaptıń tiykarı formulası dep ataydı.

1-mısal. Nyuton-Leybnic formulası járdeminde

1 , n 1,2,

isbe-

k 1

izliginiń shegin tabıń.

Sheshiliwi. Sn

(

)

túrinde

jazıp

alsaq,

onda

teńliktiń oń

k 1

n k 1

f (x) x

tárepi

funkciyasinıń

[0,1]

segmentin

T {x

, k 0,n}

maydalaw hám { , k 1, n

}

tańlawındaı

integrallıq

qosindı

boladı. Bunda

(T )

0, eger

. Onda anıq integraldıń anıqlamasınan hám Nyuton-

Leybnic formulasınan paydalanıp,

lim S

lim ( k)

1 1 x dx

shegine iye bolamız.

k 1

2-mısal.

Eger

f (x) funkciyası

haqıyqıy

sanlar

kósherinde

úzliksiz, al

u(x), v(x)

funkciyaları

haqıyqıy

sanlar

kósherinde

differenciallanıwshi

funkciyalar

bolsa,

onda

Nyuton-Leybnic

formulasınan

paydalanıp

f (x)

funkciyasınıń tómengi shegi u(x) , joqarı

shegi

v(x)

bolan

integralınıń

tuwındısın tabıń.

Sheshiliwi. Meyli

G(x)

funkciyası

f (x)

funkciyasınıń

bazıbir baslanısh

funkciyası bolsın. Onda Nyuton-Leybnic formulasına sáykes,

v( x)

f (t)dt G(t) v(x)

u ( x)

G(v(x)) G(u(x))

teńligin jazıw múmkin. Bunnan

quramalı funkciyalardıń tuwındısın tabıw qaiydasınan paydalanıp,

	v( x)

		f (t)dt	G(v(x)) G(u(x)) G (v(x))v (x) G (u(x))u (x)
u ( x)
						yaǵnıy
f (v(x))v u(x) f (u(x))u (x) ,						yaǵnıy
		v( x)
		v( x)

				f (t)dt		f (v(x))v	(x)		f (u(x))u (x)
		u ( x)
formulasına iye bolamız.
2. Anıq integralda ózgeriwshini almastırıw.
Teorema. Eger			f (x)		funkciyası (c, d )			intervalında úzliksiz, al x u(t)
funkciyası		( , )	intervalında úzliksiz differenciallanıwshı,							t ( , ) ushın

f (x)

u(t) x (c, d )	hám ( , ) ,	( , ) mánislerinde sáykes	u( ) a ,
u( ) b mánislerin qabıl etse,
	b
	f (x)dx f (u(t))u (t)dt
	a

teńligi orınlı boladı. Bul teńligine anıq integral belgisi astında ózgeriwshini almastırıw formulası delinedi.

Dálilleniwi. funkciyası shetki noqatları a (c, d ) hám b (c, d ) bolǵan segmentinde úzliksiz bolǵanı ushın ol usı segmentte integrallanıwshı boladı. Meyli F (x) funkciyası funkciyasınıń shetki noqatları a hám b bolǵan segmentindegi baslanǵısh funkciyası bolsın. Onda Nyuton-Leybnic formulasına sáykes,

f (x)dx F (b) F (a)

teńligi orınli.

f (x), x (c,d)

teńligi

orınlı

hám

F (u(t))

Bunda F (x)

quramalı funkciyası

funkciyasınıń baslanǵısh funkciyası boladı.

f (u(t))u (t)

Sebebi

(F (u(t))) F (u(t))u (t)

f (t)u (t) .

Onda

Nyuton-Leybnic

formulasına

sáykes,

f (u(t))u (t)dt F(u(t))

F(u( )) F(u( )) F(a) F(b) f (x)dx .

Teorema dálillendi.

1-mısal.

a2 x2 dx

integralın esaplań.

x a sin t

Sheshiliwi.

túrinde

ózgeriwshi

almastırılsa,

a2 x2

a cost ,

x a bolǵanda t

dx a costdt

hám

x 0

bolǵanda

t 0 , al

bolǵanı

a_______________________ 2

ushın dálillengen teoremaǵa sáykes,

x2 dx a2 cos2

tdt

boladı.

1 ln(1 x)

integralın esaplań.

2-mısal.

1 x2

Sheshiliwi. Eger ózgeriwshi almastırıwdı x tgt

túrinde ámelge asırsaq,

ln(1 x)

ln(1 tgt)

hám

x 0

bolǵanda

t 0 ,

al x 1

1 x2

1 tg 2t

cos2 t

bolǵanda t

boladı. Sonda:

ln(1

ln(1 tgt)

dt ln(1 tgt)dt ln(

)dt

1 cos

cos

ln 2

(

lnsin(t

) lncost)dt

lnsin(t

)dt lncostdt

ln cos tdt

boladı.

integralın

esaplaymız.

Usı

maqsette

túrinde

ózgeriwshi almastırsaq, sin(

t) sin(

z) cos z bolǵanı ushın,

1 ln(1 x)

ln 2

teńligi orınlı boladı. Onda

lnsin(t

)dt

ln coszdz

3. Anıq integraldı bóleklep integrallaw usılı.

Teorema. Eger

u(x)

hám

v(x) funkciyaları

[a,b]

segmentinde úzluksiz

differenciallanıwshı funkciyalar bolsa, onda bóleklep integrallaw formulası dep

b b

		b			(x)dx teńligi orınlı.
atalatuǵın u(x)v (x)dx u(x)v(x) \|			a v(x)u		(x)dx teńligi orınlı.
	a		a
							funkciyaları				eki úzliksiz
Dálilleniwi. Teorema shártinen u v, u						v, u v	funkciyaları				eki úzliksiz
funkciyalardıń kóbeymesi retinde		[a,b]		segmentinde úzluksiz funkciyalar boladı.
Onda	kóbeymeni differenciallaw		qaıydasındaǵı (u v)								teńlikti
Onda	kóbeymeni differenciallaw		qaıydasındaǵı (u v)					u	v u v		teńlikti
			b			b			b
[a,b]	segmenti boyınsha integrallap, (u v) dx v u dx u v dx										teńligine
			a			a			a
						b
iye bolamız. Nyuton-Leybnic formulasınan						(u v) dx u v \|b a				bolǵanı ushın
						a
	b					b
keying teńlikti u(x)v (x)dx u(x)v(x) \|b				a v(x)u (x)dx				túrinde jazıw múmkin.
	a					a

Teorema dálillendi.

1- mısal. ln xdx

integralın esaplań.

u ln x du

1dx 2ln 2 1.

Sheshiliwi.

ln xdx

x ln x |

x x

dv dx v x

2- mısal. Jn sinn xdx,

n 1,2,

integralın esaplań.

Sheshiliwi.

; n 1 bolsa,

n 0 bolsa,

J1 sin xdx

dx x |0

cos x |0 1;

n 2

bolsa,

berilgen integraldı

sinn 1 xd ( cos x)

túrinde

jazıp,

bóleklep

integrallaw

formulasın

qollanıw

múmkin.

Sonda

u sinn 1 x du (n 1)(sinn 2 x) cos xdx;

dv d ( cos x) v cos x

hám

Jn (sinn 1 x)( cos x) |20

(n 1) sinn 2 x cos2 xdx (n 1) sinn 2

x (1 sin2 x)dx

(n 1) sinn 2 xdx (n 1) sinn xdx (n 1)J2

(n 1)Jn ,

yaǵnıy

Jn (n 1)J2

(n 1)Jn

boladı.

Bunnan

n 1

J2 , n 2,3

túrindegi

rekkurent formulasına iye bolamız. Bul formulada n 2m , m N

bolsa, onda

2m 1

2m 3

(2m 1)!!

2m 2m 2

(2m)!!

n 2m 1 bolsa, onda

J2m 1

2m 2

(2m)!!

2m 1

(2m 1)!!

boladı.

3- mısal. x2 sin xdx integralın esaplań.

hám U

Sheshiliwi.
			u x2 du 2xdx

x2 sin xdx						x2 cos x \|0 2 xcos xdx
0			dv sin xdx v cos x					0

2 2 x cos xdx . Endi teńliktiń oń tárepindegi integraldı esplaw ushın
	0
bóleklep	integrallaw formulasınan				jáne		bir márte	paidalanamız, sonda
		u x du dx
		u x du dx
xcos xdx
xcos xdx		dv cos xdx v sin x		xsin x \|0			sin xdx cos x \|0 2
							0
							0

boladı, yaǵnıy x2 sin xdx 2 4 .

7-§. Anıq integraldıń geometriyalıq máselelerdı sheshiwde qollanıwları

1. Tegisliktegi figura hám onıń maydanı. Tegisliktegi noqatlardıń harqanday shegaralanǵan kópligi tegisliktegi figura dep ataladı. Tegisliktegi figuranı shekli sandaǵı óz-ara ishki kesilispeytuǵın tuwrımúyeshlikler birikpesi túrinde ańlatıw múmkin bolsa, onda bul figura kletkalı figura dep ataladı.

Tuwrımúyeshlik dep tegisliktiń	E {(x, y) : a	1	x b	, a	2	x b } túrindegi
		1	1		2	2

noqatları kópligine yamasa bul kóplikten onıń shegarasınıń bazıbir bólegin yamasa shegarası tolıǵı menen alıp taslanǵanda kelip shıǵatuǵın koplikke aytadı.

E tuwrımúyeshliginiń maydanı dep, E tuwrımúyeshligine onıń	shegarasınıń
tiyisli bolıwınan yamasa tiyisli bolmawınan biyǵarez, (b1 a1 )(b2	a2 ) sanına
aytadı.

Kletkalı figuranıń maydanı dep onıń quramındaǵı tuwrımúyeshlikler maydanlarınıń qosındısına aytıladı. Kletkalı figuralardıń maydanı onı tuwrımúyeshliklerge maydalaw usılınan ǵárezli bolmaǵan teris emes san bolıwın hám bul maydan additivlik, invariantlıq, monotonlıq qasiyetlerine iye bolıwın kórsetiw múmkin. Additivlik qasiyet, óz-ara kesilispeytuǵın eki kletkalı figuralardıń maydanı olardıń maydanlarınıń qosındısına teń bolıwın; invariantlıq qasiet, eki teńdey (kongruent) bolǵan kletkalı figuralardıń maydanları da teń bolıwın; monotonlıq qasiet, eger eki kletkalı G figuraları ushın G U shárti orınlı bolsa, onda G figurasınıń maydanı U figurasınıń maydanınan úlken bola almawın ańlatadı.

Tegisliktegi K figurası kvadratlanıwshı figura dep ataladı, eger 0 sanı ushın q K Q shártin qanaatlandıratuǵın q hám Q kletkalı figuraları tabılıp, 0 S(Q) S(q) teńsizligi orınlı bolsa. Bunda S (q) hám S (Q) sanları sáykes

<<< < Предыдущая 1 23 / 93 4 5 6 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб4Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf