Aniq integrallar

lim (ST sT ) 0 teńligi orınlı bolsın. Darbu qosındılarınıń 5-qasiyetinen

(T ) 0

0 I I

lim (ST sT ) 0

s

I

I * S

.

Onda

S

s

hám

sheginiń

T

*

T

T

T

(T ) 0

anıqlamasınan

0 ( ) 0:

(T )

T ,

0 ST

sT

bolǵanı ushın

0 I

I S

s

teńsizligi

[a,b]

segmentiniń

(T )

T

T

bolǵan T

maydalawında orınlı boladı. Onda I hám I sanları T maydalawınan

ǵárezli

emesligi,

0 sanınıń

erikli

ekenliginen

I

iye bolamız. Endi

I

I I

J

belgilewin kiritip,

s

T

I

I * S

teńsizligi tiykarında

s

T

J S

*

T

sT T ( ) ST

T

hám Darbu

qosındılarınıń

1-qasiyetinde

bolganı

ushın,

T ( ) J

ST sT

teńsizligine iye bolamiz. Bul

f (x) funkciyası

[a,b]

segmentinde integrallanıwshı

hám

onıń integrali

J

ge

teń bolıwın

ańlatadı.

Teorema dálillendi.

Dálillengen

teoremadan

eger

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde

integrallanıwshı hám onıń integralı

J

sanına teń bolsa, onda

J inf ST

sup sT

teńligi orınlı bolıwın kóremiz.

n

n

Eskertiw. ST sT (Mk mk ) xk k ( f ) xk

teńligin

esapqa

alsaq,

onda

k 1

k 1

f (x)

funkciyasınıń

[a,b]

segmentinde integrallanıwshı bolıw ushın orınlı hám

n

jeterli shartti, ST sT k ( f ) xk 0, eger (T ) 0 , túrinde jazıw múmkin.

k 1

3-§. Integrallanıwshı funkciyalar klassları

1-teorema. Eger

f (x) funkciyası

[a,b]

segmentinde úzliksiz bolsa, onda ol

usı segmentte integrallanıwshı funkciya boladı.

Dálilleniwi. Meyli

f (x)

funkciyası [a,b]

segmentinde úzliksiz bolsın.

Onda Kantor teoremasına sáykes

f (x)

funkciyası [a,b]

segmentinde teń

ólshewli úzliksiz, yaǵnıy

0

x

( ) 0 : x , x

[a,b]: x

f (x

)

.

Endi

[a,b]

segmentiniń

maydalanıwı

f (x )

b a

(T ) max x

bolǵan

maydalawındaǵı

0,n}

k 1,n

k

T

{xk , k

xk

xk xk 1 , dara

k [xk 1, xk ], k 1,n

,

segmentleriniń hárbirinde

f (x)

funkciyası

úzliksiz

bolǵanı

ushın

Veyershtrass

teoremasına

sáykes

f ( k ) mk inf

k , k k , k 1, n

noqatları

bar

boladı

da

f (x),

x k

f ( ) M

sup f (x) ,

xk xk 1

(T ) .

k 1, n

boladı. Bunda

k

k

x k

Teń

ólshewli

úzliksizlik

anıqlaması

tiykarında

k ( f ) Mk

mk

f ( ) f ( )

,

k 1,n

teńsizligin

jazıw

múmkin.

Bunnan

b a

n

n

S s ( f )x

x

bolıwın kóremiz.

T

T

k

k

b a k 1

k

k 1

n

Demek,

f (x)

funkciyası

ST sT

k ( f ) xk 0, eger (T ) 0

shártin

k 1

qanaatlandıradı,

al bul

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde

integrallanıwshı

bolıwı ushın zárúrli hám jeterli.

2-teorema. Eger

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde

anıqlanǵan hám

monoton funkciya bolsa, onda ol

[a,b]

segmentinde integrallanıwshı funkciya

boladı.

Dálilleniwi. Meyli

f (x) funkciyası

[a,b] segmentinde kemeyiwshi funkciya

bolsın, onda x [a,b]

ushın

f (b) f (x) f (a)

teńsizligi orınlanadı. Bul

f (x)

funkciyası [a,b]

segmentinde shegaralanǵan funkciya bolıwın ańlatadı.

Endi [a,b]

segmentiniń T {xk , k 0,n} maydalawın qarastıramız. Onda

mk f (xk ) inf

f (x) , Mk

f (xk 1 ) sup f (x) ,

k 1, n

x k

x k

teńlikleri

orınlı

boladı,

sebebi

x k

[xk 1, xk ], k 1,n

ushın

f (x

) f (x) f (xk

1) .

Bunnan

f (xk 1) f (xk ) 0

hám

k

x (T ) max x

teńsizlikleri

tiykarında

S s

T

k

k 1,n

T

n

n

n

(Mk mk ) xk

( f (xk 1) f (xk )) xk (T ) ( f (xk 1) f (xk ))

k 1

k 1

k 1

(T )( f (a) f (b))

bolıwın kóremiz. Demek,

ST sT 0 , eger (T ) 0

shárti

orınlı. Bul bolsa

f (x)

funkciyası [a,b]

segmentinde integrallanıwshı

bolıwı ushın zárúrli hám jeterli. Teorema dálillendi.

3-teorema. Eger

f (x)

funkciyası [a,b]

segmentinde shegaralanǵan hám bólek

úzliksiz funkciya bolsa, onda bul funkciya [a,b]

segmentinde integrallanıwshı.

Dálilleniwi. f (x) funkciyası

[a,b]

segmentinde bólek úzliksiz. Onda ol usı

segmentiniń

shekli

sandaǵı

ck , k 1, n

noqatlarınan

basqa

hárbir noqatında

úzliksiz.

a c0 c1 c2

cn cn 1 b

dep

esaplaymız

hám

min (c

c

) belgilewin kiritemiz. Onda

c , k 1,n noqatlarınıń

k

k 1

k

2

k 0,n 1

dógerekleri kesilispeydi hám tolıǵı menen [a,b]

segmentine tiyisli boladı.

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde

shegaralanǵan,

yaǵnıy

f (x)

M

n

teńsizligi

x [a,b] ushın orınlı

bolatuǵın

M 0 sanı

bar.

E1

U (ck )

k 1

belgilewin

kiritsek,

onda

E [a,b] \ E1

kópligi

jabıq(tuyıq)

kóplik

boladı.

Bunda

min( ,

)

hám

E E

, E E [a,b].

Onda

f (x)

1

1

24nM

funkciyası

E kópliginde Kantor teoremasına sáykes teń ólshewli úzliksiz, yaǵnıy

0

( ) 0 :x , x E : x x

)

,

f (x ) f (x

[a,b]

2(b a)

shárti

orınlanǵan. Endi

belgilewin kiritip,

segmentiniń

min( , )

diametri

(T )

bolatuǵın

T {xk , k m}

maydalawın

qarastıramız.

m

Sonda ST sT

k ( f ) xk k ( f ) xk k ( f ) xk k ( f ) xk

k 1

k E

k E1

3

teńligi orınlı boladı. Bul teńliktiń oń

tárepindegi birinshi qosındıǵa T

maydalawınıń tek E kópligine tiyisli

kesindiler, ekinshi qosındıǵa T

maydalawınıń

tek

E1

kópligine

tiyisli

kesindiler, úshinshi qosındıǵa T

maydalawınıń E hám E1 kópliklerine kirmegen barlıq kesindiler kiritilgen.

)

Birinshi

qosındıda

k ( f ) sup

f (x )

f (x

hám

kesindiler

qosındısı

2(b a)

x,x k E

b a

dan asıp ketpeydi, ekinshi

hám úshinshi qosındılarda k ( f ) 2M hám

kesindiler

qosındısı

n 2 dan

asıp

ketpeydi,

sebebi úshinshi

qosındıda

T

maydalawınıń intervalları sanı

2n

nen artıq bola almaydı. Sonıń úshın,

m

(b a)

S s ( f )x

2M 2n 2M 2n

8Mn

T

T

k

k

2(b a)

2

24Mn

k 1

5

.

2

3

6

m

Demek, ST sT k ( f ) xk , eger

(T ) bolsa. Bul shárttiń orınlı bolıwı

k 1

f (x)

funkciyası

[a,b]

segmentinde integrallanıwshı bolıwı ushın orınlı hám

jeterli. Teorema dálillendi.

4-teorema.

Eger

f (x)

funkciyası

[a,b)

kesindisinde

anıqlanan,

shegaralanǵan,

[a,b)

ushın

[a, ] segmentinde integrallanıwshı funkciya

hám

lim

f (x)dx

shekli shegi bar bolsa, onda f (x) funkciyası [a,b]

b 0

a

f (x)dx f (u)du f (z)dz .

a

a

a

1-qasiyet. Eger

u(x)

hám v(x)

funkciyaları

[a,b]

segmentinde

integrallanıwshı

bolsa, onda

, R

sanlarında

f (x) u(x) v(x)

funkciyası [a,b]

segmentinde integrallanıwshı boladı hám

b

b

b

( u(x) v(x))dx u(x)dx v(x)dx

(1)

a

a

a

teńligi orınlı.

Dálilleniwi. [a,b]

segmentiniń tayınlaǵan T maydalawına hám tayınlaǵan

tańlawına dúzilgen u(x) , v(x) hám f (x) funkciyalarınıń integrallıq qosındıların