Часть 1. Квадратичные сравнения

Рассмотрим случай x^2=a mod n

Частный случай. Сравнение по модулю простого числа p.

x^2=a mod p. (p-простое, a-целое, НОД(a,p)=1).

Такое сравнение имеет либо два решения, либо не имеет решений.

Пример x^2=3 mod 11 => решения x=5 mod 11 и x=-5 mod 11 (-5=6 mod 11). Т.о. решения 5 и 6.

Пример x^2=2 mod 11 => не имеет решения.

В уравнении

x^2=a mod p, a- называют квадратичным вычетом, если уравнение имеет решения; a- называют квадратичным невычетом, если уравнение не имеет решения. Если p – простое, то (p-1)/2 элементов поля Zp квадратичные вычеты и (p-1)/2 – квадратичные невычеты.

Числа 1,2,4 – квадратичные вычеты, а числа 3,5,6 – квадратичные невычеты.

Символ Лежандра

Определение. Для любого простого нечётного «p» и целого «a» символ Лежандра определяется как:

Свойства символа Лежандра (см. лекции)

2

Алгоритм вычисления символа Лежандра (см. лекции)

Критерий Эйлера. (позволяет определить, является ли число a по mod p квадратичным вычетом или невычетом)

Если a(p-1)/2 = 1 mod p, то «a» – квадратичный вычет по модулю «p».

Если a(p-1)/2 = -1 mod p, то «a» – квадратичный невычет по модулю «p».

При составном «n» возможно получение значения a(n-1)/2 = 0 mod n, что означает, что «a» делит «n» (уравнение не имеет решений).

Решение квадратичного сравнения (модуль – простое).

Случай 1. p = 4k+3, т.е. p=3 mod 4, тогда:

Пример.

x^2=3 mod 23. Решение: x=±16 mod 23.

x^2=1 mod 11. Решения нет.

Случай 2. p = 4k+1. (Решение относительно сложное – в данной работе не будет рассмотрено)

Решение квадратичного сравнения (модуль – составной).

Квадратичное сравнение по составному модулю может быть приведено к решению системы сравнений по модулю в виде простого числа. Другими словами, мы можем анализировать x^2=a mod n, если имеем разложение n на множители. Теперь мы можем решить каждое анализируемое уравнение (если оно разрешимо) и найти k пар ответов для x.

3

Пример:

X^2=36 mod 7=1 mod 7

X^2=36 mod 11=3 mod 11.

Так как каждое из чисел 7 и 11, являются числами вида 4k+3, то возможно использовать указанный выше способ решения.

Далее необходимо проверить, что 1 и 3 квадратичные вычеты. Проверка выполняется (a(p-1)/2 = 1 mod p) и далее решаем каждое уравнение в отдельности, получаем: x=±1 mod 7 и x=±5 mod 11

В итоге формируется 4-ые отдельные системы, каждая из которых даст по одному ответу. Ответ находим по модулю 77.

Итоговый ответ x=±6 и x=±27

Задание 1.

31 – студент с номером 1 в группе

37 – студент с номером 2 в группе,

…

71 – студент с номером10 в группе,

31 – студент с номером 11 в группе

…

2.Составить полную таблицу квадратов и выписать квадратичные вычеты и квадратичные невычеты (можно выписать или «обвести» в EXCEL таблице)

4

Вариант 7.

Простое число p = 59; (p-1)/2 = 29

Таблица квадратов и вычеты:

5

Вариант 17.

Простое число p = 59; (p-1)/2 = 29

Таблица квадратов и вычеты:

6

Вариант 24.

Простое число p = 43; (p-1)/2 = 21

Таблица квадратов и вычеты:

7

Задание 2.

1.Выбрать два простых числа (из любой доступной таблицы простых чисел), одно вида 4k+1, другое 4*k+3.

2. Для каждого из выбранных чисел вычислить по 4-ые квадрата для

8

чисел, которые большие половины выбранного простого числа и которые меньше половины простого числа, также для этих чисел (не квадратов) вычислить символ Лежандра. Например, для простого числа 89, надо было бы вычислить квадраты чисел: 41,42,43,44 и 45,46,47,48 и символы Лежандра для этих чисел 41,42,43,44 и 45,46,47,48. Сравните результаты (проверьте на симметричность) для чисел p вида 4k+1 и для 4*k+3 – запишите вывод.

Вариант 7.

Простые числа: p = 353 = 4*88+1 p = 383 = 4*95+3

Числа меньше 353/2: 176, 175, 174, 173 Числа больше 353/2: 177, 178, 179, 180

Символы Лежандра:

Числа меньше 383/2: 191, 190, 189, 188 Числа больше 383/2: 192, 193, 194, 195

9

Символы Лежандра:

Вариант 17.

Простые числа: p = 181 = 4*45+1 p = 163 = 4*40+3

Числа меньше 181/2: 90, 89, 88, 87 Числа больше 181/2: 91, 92, 93, 94

Символы Лежандра:

Числа меньше 163/2: 81, 80, 79, 78 Числа больше 163/2: 82, 83, 84, 85

10