
Лабораторная работа №9
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)
Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем
Кафедра Защищенных систем связи
Дисциплина Математические основы защиты информации
ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №9
Тест Рабина – Миллера
(тема отчета)
Информационная безопасность (10.03.01)
(код и наименование направления/специальности)
Студент: |
|
|
|
Ерохин А.Г. |
ИКБ-03 |
||
(Ф.И.О.) |
|
|
(подпись) |
Студент: |
|
|
|
Чистяков А.С. |
ИКБ-03 |
||
(Ф.И.О.) |
|
|
(подпись) |
Студент:
Пантюхин М.А. ИКБ-03
(Ф.И.О.) (подпись)
К.тех.н, доцент кафедры ЗСС: Кушнир Д.В.
(Ф.И.О.) (подпись)
Санкт-Петербург
2022

Часть 1. Тест Рабина – Миллера
Тест Миллера — Рабина — вероятностный полиномиальный тест простоты. Тест Миллера — Рабина позволяет эффективно определять, является ли данное число составным. Однако, с его помощью нельзя строго доказать простоту числа. Тем не менее тест Миллера — Рабина часто используется в криптографии для получения больших случайных простых чисел.
Алгоритм был разработан Гари Миллером в 1976 году и модифицирован Майклом Рабином в 1980 году.
Как и для теста Ферма, все числа m>1, которые не проходят этот тест – составные, а числа, которые проходят, могут быть простыми. Для этого теста нет аналогов чисел Кармайкла. В 1980 году было доказано, что вероятность ошибки теста Рабина-Миллера не превышает 1/4. Таким образом, применяя тест Рабина-Миллера r раз для разных оснований, мы получаем вероятность ошибки 2−2r.
Число m - 1 однозначно представляется в виде m - 1=2s∙t, где t нечётно. Целое число a, 1< a < m, называется свидетелем простоты числа m, если выполняются два условия:
m не делится на a;
at ≡ 1 mod m или существует целое k, 0≤ k < s, такое, что:
Теорема Рабина утверждает, что составное нечётное число m имеет не более φ(m)/4 различных свидетелей простоты, где φ(m) – функция Эйлера.
Алгоритм теста Рабина-Миллера
Алгоритм параметризуется количеством раундов r. Рекомендуется брать r порядка величины log2(m), где m — проверяемое число. Для данного m находят такое целое число s и целое нечётное число t, что m − 1 = 2s∙t. Выбирается случайное число a,1 < a < m. Если a не является свидетелем простоты числа m, то выдается ответ «m - составное», и алгоритм завершается. Иначе, выбирается новое случайное число a и процедура проверки повторяется. После нахождения r свидетелей простоты, выдается ответ «m, вероятно, простое», и алгоритм завершается.
2
Алгоритм может быть записан на псевдокоде следующим образом:
Ввод:
число проверяемое на простоту: m > 2 (нечётное натуральное); параметр, определяющий вероятность ошибки теста r.
Вывод:
составное, означает, что m точно составное;
или вероятно простое, т.е. m с высокой вероятностью является простым.
Представить m − 1 в виде 2s·t, где t нечётно, можно сделать последовательным делением m - 1 на 2.
цикл А: повторить r раз:
Выбрать случайное a в диапазоне [2, m − 2] x ← at mod m
если x = 1 или x = m − 1 то перейти на следующую итерацию цикла А для r = 1 .. s − 1
x ← x2 mod m
если x = 1 то вернуть составное
если x = m − 1 то перейти на следующую итерацию цикла А вернуть составное
вернуть вероятно простое
Из теоремы Рабина следует, что если r случайно выбранных чисел оказались свидетелями простоты числа m, то вероятность того, что m составное, не превосходит 4 - r.
Задание
1.Выбрать два простых и два составных нечетных числа (не кратных 3, 5 и 7) и еще одно составное число Кармайкла. Выбирать числа для выполнения задания по следующей формуле:
Вычисляем: X = ((№ студента в группе)+110)*23. Далее произвольно в диапазоне X±20 выбрать нужные числа (если в бригаде один студент, то проверяем 4-ые числа, если два, то 8, если три то 12). Число Кармайкла выбирать по следующему алгоритму:
студент в группе с номером 1. Берёт число 1105 студент в группе с номером 2. Берёт число 1729 студент в группе с номером 3. Берёт число 2465 студент в группе с номером 4. Берёт число 2821
3

студент в группе с номером 5. Берёт число 6601 студент в группе с номером 6. Берёт число 8911
для студентов с большими номерами выбирать число Кармайкла циклически, 7-й берёт опять число 1105 и т.п. Сколько человек в бригаде, столько разных чисел Кармайкла должно быть проверено.
2.Проверить каждое из чисел тестом Рабина-Миллера. При выполнении задания в EXCEL выбирать k таком образом, чтоб вероятность принять составное за простое была не более 0,0625. При программировании алгоритма выбирать k таком образом, чтоб вероятность принять составное за простое была не более 10-3.
Вариант 7.
По формуле составим числа для проверки: X = (7+110) * 23 = 2691 Простые числа: 2707 и 2689 Составные числа: 2701 и 2717 Число Кармайкла: 1105
Для числа 2707:
Для числа 2689:
Для числа 2701:
Для числа 2717:
Для числа Кармайкла 1105:
4

Вариант 17.
По формуле составим числа для проверки: X = (17+110) * 23 = 2921 Простые числа: 2939 и 2917 Составные числа: 2921 и 2911 Число Кармайкла: 6601
Для числа 2939:
Для числа 2917:
Для числа 2921:
Для числа 2911:
Для числа Кармайкла 6601:
5

Вариант 24.
По формуле составим числа для проверки: X = (24+110) * 23 = 3082 Простые числа: 3083 и 3067 Составные числа: 3091 и 3077 Число Кармайкла: 8911
Для числа 3083:
Для числа 3067:
Для числа 3091:
Для числа 3077:
Для числа Кармайкла 6601:
Для выполнения задания была написана программа на языке программирования С++.
6
Листинг:
#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
setlocale(LC_ALL, "Rus"); srand(time(NULL));
int r, m, a, s = 0, t, x = 1; cout << "Введите число: "; cin >> m;
r = log2(m); t = m - 1;
while (t % 2 == 0) { t /= 2;
s += 1;
}
for (int i = 0; i < r; i++) {
a = rand() % (m-2) + 2;
for (int j = 0; j < t; j++) { x = x * a;
if (x > m) {
x = x % m;
}
}
if ((x == 1) || (x == m - 1)) { continue;
}
for (int l = 0; l < s - 1; l++) { x = (x * x) % m;
if (x == 1) {
cout << "Число составное" << endl; exit(0);
}
if (x == m - 1) { break;
}
}
if (x == m - 1) { continue;
}
cout << "Число составное" << endl; exit(0);
}
cout << "Число вероятно простое" << endl; cout << "Вероятность того, что " << m;
cout << " составное, не превосходит " << pow(4, -r) << endl;
}
7