МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)

Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем

Кафедра Защищенных систем связи

Дисциплина Математические основы защиты информации

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №6

Теория чисел

(тема отчета)

Информационная безопасность (10.03.01)

(код и наименование направления/специальности)

Студент:

Пантюхин М.А. ИКБ-03

(Ф.И.О.) (подпись)

К.тех.н, доцент кафедры ЗСС: Кушнир Д.В.

(Ф.И.О.) (подпись)

Санкт-Петербург

2022

Часть 1. Остаток от деления.

Найдите целое частное и остаток от деления:

1.-18 на 5

-18 : 5 = (-4)*5 + 2

Частное: -4 Остаток: 2

2.n^3+2n-l на n

n^3+2n-l : n = (n^2 + 2)*n -1 = (n^2 + 1)*n + (n-1)

Частное: n^2 + 1 Остаток: n-1

3.12n^5 + 10n^4 + 2 на 2n

12n^5 + 10n^4 + 2 : 2n = (6n^4 + 5n^3)*2n + 2 Частное: 6n^4 + 5n^3

Остаток: 2

Поделите с остатком:

a)2n^2+4n+l на 2

2n^2+4n+l : 2 = (n^2 + 2n)*2 + 1

Частное: n^2+2n Остаток: 1

b)15n^4+9n^2+2 на 3

15n^4+9n^2+2 : 3 = (5n^4 + 3n^2)*3 + 2 Частное: 5n^4 + 3n^2

Остаток: 2

c)8n^2+12n-3 на 4

8n^2+12n-3 : 4 = (2n^2+3n-1)*4 + 1 Частное: 2n^2+3n-1

Остаток: 1

d)25n^5+10n^4-2 на 5

25n^5+10n^4-2 : 5 = (5n^5 + 2n^4-1)*5 + 3 Частное: 5n^5 + 2n^4-1

Остаток: 3

e)12n^2-24n+29 на 6

12n^2-24n+29 : 6 = (2n^2-4n+4)*6 + 5 Частное: 2n^2-4n+4

Остаток: 5

f)21n^8-35n^2-44 на 7

21n^8-35n^2-44 : 7 = (3n^8-5n^2-7)*7+5 Частное: 3n^8-5n^2-7

Остаток: 5

2

Поделите с остатком:

a)4n^2+7n-1 на n

4n^2+7n-1 : n = (4n+7-1)*n + (n-1) = (4n+6)*n + (n-1)

Частное: 4n+6 Остаток: n-1

b)6n^7+3n-2 на n

6n^7+3n-2 : n = (6n^6+3-1)*n + (n-2) = (6n^6+2)*n + (n-2)

Частное: 6n^6+2 Остаток: n-2

c)6n^6-18n^5+3 на 2n

6n^6-18n^5+3 : 2n = (3n^5-9n^4)*2n + 3 Частное: 3n^5-9n^4

Остаток: 3

d)4n^9+14n^5+4 на 2n

e)4n^9+14n^5+4 : 2n = (2n^8+7n^4)*2n + 4 Частное: 2n^8+7n^4

Остаток: 4

Часть 2. Цепная дробь.

Теория цепных дробей — одна из древнейших математических теорий. Чтобы показать, что такое цепная дробь, начнём с простого примера.

3

Таким же способом можно представлять все числа. Если число иррациональное, то этот процесс будет продолжаться бесконечно, никогда не остановится, а для рациональных чисел дробь такого вида конечна.

Задание: Найти представление в виде цепной дроби для отношения: (5*x+11)/47, где x – номер студента в списке группы. Количество выполненных вариантов должно совпадать с количеством студентов в бригаде.

4

Часть 3. Решение задач.

1.На какие цифры не может оканчиваться квадрат целого числа; куб целого числа?

Решение: Последняя цифра числа в n-й степени определяется по возведению в степень последней цифры данного числа, т.е для определения на какие цифры может заканчиваться квадрат целого числа достаточно возвести в квадрат все числа от 0 до 9:

02 = 0; 12 = 1; 22 = 4; 32 = 9; 42 = 16; 52 = 25 62 = 36; 72 = 49; 82 = 64; 92 = 81

Следовательно, натуральное число в квадрате может оканчиваться на 0, 1, 4, 5, 6, 9, и не может оканчиваться на 2, 3, 7, 8.

Аналогично для куба:

03 = 0; 13 = 1; 23 = 8; 33 = 27; 43 = 64; 53 = 125 63 = 216; 73 = 343; 83 = 512; 93 = 729

Следовательно, натуральное число в квадрате может оканчиваться на 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Натуральное число в кубе может иметь на конце любую цифру.

Ответ: Квадрат целого числа не может оканчиваться на: 2, 3, 7, 8 Куб целого числа может иметь на конце любую цифру

2.Докажите, что пятая степень любого целого числа оканчивается на ту

Если число n оканчивается на 4 или на 9, то последние цифры степеней этого числа чередуются в зависимости от чётности показателя степени, то есть образуют цикл длины два (4 – 6 – 4 или 9 – 1 – 9 ). Если число n оканчивается на 2, 3, 7 или 8, то последние цифры степеней этого числа образуют цикл длины четыре (2 – 4 – 8 – 6 –2, 3 – 9 – 7 – 1 – 3, 7 – 9 – 3 – 1 – 7 или 8 – 4 – 2 – 6 – 8 соответственно).

3.На какую цифру оканчивается сумма квадратов пяти последовательных целых чисел?

Решение: Пусть n – первое число, тогда n+1, n+2, n+3, n+4 – последовательные числа.

2 + ( + 1)2 + ( + 2)2 + ( + 3)2 + ( + 4)22 + ( 2 + 2 + 1) + ( 2 + 4 + 4) + ( 2 + 6 + 9) + ( 2 + 8 + 16) 5 2 + 20 + 30

В полученной сумме слагаемое 30 и 20n не дают информации об последней цифре, т.к оканчиваются на 0, поэтому последнюю цифру

определяет 5 2. Получаем, что если первое число нашей последовательности n – чётное, то на конце числа будет 0, иначе – 5. Ответ: 0 или 5

4. Некоторое трехзначное число сложили с числом, записываемым теми

5

же цифрами, но в обратном порядке, и получили 1777. Какие числа складывали?

Решение: Пусть первое число abc, тогда abc+cba = 1777. Так как полученной число четырёхзначное, то цифры a и с должны быть больше или равно 4. Сумма двух цифр, оканчивающаяся на 7, при цифрах больше или равно 4 достигается в случае если сумма образует число 17. Для этого есть единственный случай 9+8 = 17. Обозначив таким образом примем a = 9, c = 8, тогда: 9b8+8b9 = 17(2b+1)7. По условию 2b+1 = 7, следовательно, b = 3, тогда abc = 938, cba = 839

Ответ: 938 и 839

5.Докажите, что произведение пяти последовательных целых чисел делится на пять.

Доказательство: В любом наборе из 5 последовательных чисел есть либо число, оканчивающееся на 5, либо оканчивающееся на 0, следовательно при произведении чисел, в конце полученного числа всегда будет 0, а такое число делится на 5 без остатка.

6.Докажите, что число (a^5 + 9а) делится на пять при любом целом а. Доказательство: a^5 оканчивается на ту же цифру, что и число a. При умножении a на 9, последняя цифра может иметь любое значение от 0 до 9, причём справедливо то, что a^5 + 9а оканчивается на 0. Пример, пусть а = 4, тогда a^5 оканчивается на 4. 9а = 36, оканчивается на 6, следовательно 4+6 = 10.

7.Докажите, что разность квадратов двух нечетных чисел делится на 8. Доказательство: пусть m – одно нечётное число, а число n – другое.2 − 2 – разность квадратов этих чисел.

2 − 2 = ( − )( + )

8 8

Разность и сумма двух нечётных чисел – число чётное, поэтому справедливо следующее:

произведение чётных, или чётного и нечётного числа – число чётное, следовательно 1 2 2 = 0. Получаем, что (2 − 2) 8 = 0

8.Найдите наименьшее натуральное число, которое делится на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10.

Решение: НОД(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 1, т.к есть простые числа, следовательно НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) вычисляется простым произведением этих чисел: НОК(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) = 10! = 3628800

Ответ: 3628800

6

9.Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 7 и дающее остаток 1 при делении на каждое из чисел 2, 3, 4, 5, 6.

Решение: НОД(2, 3, 4, 5, 6) = 1, т.к. есть простые числа, следовательно НОК(2, 3, 4, 5, 6) вычисляется простым произведением этих чисел: НОК(2, 3, 4, 5, 6) = 6! =720. В таком случае, число которое при делении на 2, 3, 4, 5, 6 даёт в остатке 1 равно 721. Проверка, 721 mod 7 = 0 Ответ: 721

10.При любом натуральном n найдите наибольший общий делитель чисел:

а) n^2 + 3n + 1 и n + 3; б) 3n^4 + 6n^2 + 1 и n^3 + 2n.

Решение: воспользуемся алгоритмом Евклида для нахождения НОД n^2 + 3n + 1 = (n + 3)*n + 1

(n + 3) = 1 * (n + 3) + 0

НОД(n^2 + 3n + 1, n + 3) = 1

3n^4 + 6n^2 + 1 = (n^3 + 2n)* 3n + 1 n^3 + 2n = 1*( n^3 + 2n) = 0

НОД(3n^4 + 6n^2 + 1, n^3 + 2n) = 1

Ответ: a) 1

б) 1

11.Докажите, что наибольший общий делитель чисел а и b делится на любой их общий делитель.

Доказательство: НОД(a, b) – произведение всех общих делителей, являющихся простыми числами, следовательно произведения их случайного набора образуют множество делителей, каждый из которого содержит какие-то из «базовых» делителей. Поэтому, а и b делится на любой их общий делитель

12.Докажите, что натуральные числа 4n-1, n и 2n-1 попарно взаимно просты.

Доказательство: из задания 10 можно сделать вывод, что:

4n – (4n-1) = 4n-4n+1 = 1 Следовательно НОД(n, 4n-1) = 1 (4n-1) - 2(2n-1) = 4n-1-4n+2 = 1 Следовательно НОД(4n-1, 2n-1) = 1 2n – (2n-1) = 2n-2n+1 = 1 Следовательно НОД(n, 2n-1) = 1

13.Докажите, что при любом натуральном n: n^2(n^2-1) делится на 12.

Доказательство: 2( 2 − 1) = 2( − 1)( + 1). Получаем, что в произведении участвуют 3 последовательных числа, а среди них всегда есть одно, которое делится на 3. Если n – чётное, то 2 = 0, тогда 2 4 = 0. Если n – нечётное, то ( − 1) и ( + 1) – чётные, следовательно их произведение делится на 4. Следовательно при любом натуральном n число 2( 2 − 1) делится на 12.

7