Лабораторная работа №5
.pdf
МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)
Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем
Кафедра Защищенных систем связи
Дисциплина Математические основы защиты информации
ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №5
Теория чисел
(тема отчета)
Информационная безопасность (10.03.01)
(код и наименование направления/специальности)
Студент: |
|
|
|
Ерохин А.Г. |
ИКБ-03 |
||
(Ф.И.О.) |
|
|
(подпись) |
Студент: |
|
|
|
Чистяков А.С. |
ИКБ-03 |
||
(Ф.И.О.) |
|
|
(подпись) |
Студент:
Пантюхин М.А. ИКБ-03
(Ф.И.О.) (подпись)
К.тех.н, доцент кафедры ЗСС: Кушнир Д.В.
(Ф.И.О.) (подпись)
Санкт-Петербург
2022
Часть 1. Мультипликативная инверсия.
Мультипликативная инверсия (нахождение обратного элемента по модулю) в Zn (на множестве целых чисел) два числа a и b мультипликативно инверсны друг другу, если a·b = 1(mod n)
В модульной арифметике целое число может или не может иметь мультипликативную инверсию. Целое число и его мультипликативная инверсия сравнимы с 1 по модулю n. Может быть доказано, что a имеет мультипликативную инверсию в Zn, если только НОД(n, a) = 1.
Нахождение мультипликативной инверсии для числа a по модулю b:
Способ 1. Если НОД(a,b)=1, то существуют целые числа α и β, для которых верно равенство α·a+β·b = 1 (соотношение Безу). Данные числа (α и β) могут быть найдены по расширенному алгоритму Евклида.
Рассматривая соотношение α·a+β·b = 1, приведем его по модулю b: (α·a) mod b +(β·b) mod b= 1 => α·a= 1 mod b, т.е. коэффициент α и есть мультипликативная инверсия (обратный элемент).
Способ 2. Теорема Эйлера. Для любого модуля «m» и целого числа «a», взаимно простого с «m», справедливо сравнение aφ(m) ≡ 1mod m. Следствие: a- 1 ≡ aφ(m)-1 mod m для взаимнопростых «a» и «m».
Задание 1. Найти мультипликативные инверсии.
1.Найти мультипликативные инверсии каждым способом и выполнить проверку на правильность результата
Способ 1. Вариант 7.
a = 21, b = 167
НОД(21,167) = 1 = 8 * 21 + (-1) * 167; α = 8 и β = -1 8 * 21 = 1 mod 167
−1 = 8 = 8 167
Проверка: 21 * 8 mod 167 = 168 mod 167 = 1
Вариант 17.
a = 11, b = 181
НОД(11,181) = 1 = 33 * 11 + (-2) * 181; α =33 и β = -2 33 * 11 = 1 mod 181
−1 = 33 = 33 181
Проверка: 11 * 33 mod 181 = 363 mod 181 = 1
Вариант 24. a = 8, b = 173
НОД(8,173) = 1 = 65 * 8 + (-3) * 173; α = 65 и β = -3 65 * 8 = 1 mod 173
−1 = 65 = 65 173
Проверка: 8 * 65 mod 173 = 520 mod 173 = 1
2
Способ 2. Вариант 7.
a = 21, m = 167
НОД(21,167) = 1
φ(167) = 167 – 1 =166, т.к. 167 – простое число
a-1 ≡ aφ(m)-1 mod m
−1 = 21166−1 167 = 21165 167 = 11633 167 = 11411 167 = 1375 114 167 = 652 137 114 167 = 65986050 mod 167 = 8 mod 167
−1 = 8 167
Проверка: 21 * 8 mod 167 = 168 mod 167 = 1
Вариант 17.
a = 11, m = 181 НОД(11,181) = 1
φ(181) = 181 – 1 =180, т.к. 181 – простое число
a-1 ≡ aφ(m)-1 mod m
−1 = 11180−1 181 = 11179 181 = 112 6459 181 = 112 642 5619 181 = 112 642 56 466 181 =
137 466 181 = 137 135 181 = 18495 181 = 33 181−1 = 33 181
Проверка: 11 * 33 mod 181 = 363 mod 181 = 1
Вариант 24. a = 8, m = 173
НОД(8,173) = 1
φ(173) = 173 – 1 =172, т.к. 173 – простое число
a-1 ≡ aφ(m)-1 mod m
−1 = 8172−1 173 = 8171 173 = 319 173 = 3 276 173 = 3 1342 173 = 3 137 173 =
411 173 = 65 173−1 = 65 173
Проверка: 8 * 65 mod 173 = 520 mod 173 = 1
3
Часть 2. Решение задач.
1.Число n при делении на 16 дает в остатке 3. Какой остаток при делении на 12 даст число 3n?
Решение: 16 = 3 → ≡ 3 16
3 12 ≡ 3(3 16) 12 ≡ 9 12 Ответ:
2.Какие остатки при делении на 24 могут иметь простое число и его квадрат?
Решение: 24 =
Число 24 – чётное, следовательно, если остаток от деления на 24 будет числом чётным, то такое число не будет являться простым → = 2 + 1 Остаток при делении на 24 не может превышать 23 →
= 2 + 1 , где [0; 11]
Аналогично и для 2:
2 24 = , = 2 + 1, [0; 11] Ответ: = , = + , [ ; ]
= , = + , [ ; ]
3.Какие остатки при делении на p имеют квадраты и кубы целых чисел, если p = 5, p = 7?
Решение: Так как рассматриваются квадраты и кубы целых чисел, то при делении на простые числа 5 и 7 в остатке могут быть любые значения [0; 4] для = 5 и [0; 6] для = 7 Ответ: [; ] для =
[; ] для =
4.Доказать, что остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8 равен 1.
Решение: Нечётное число 2 + 1 Квадрат нечётного числа (2 + 1)2
Рассмотрим следующее выражение: (2 + 1)2 8 (2 + 1)2 8 = (42 + 4 + 1) 8 =
(42 + 4) 8 + 1 8 = 4( 2 + ) 8 + 1 8
Рассмотрим первое слагаемое: 4( 2 + ) 8 Квадрат нечётного числа также является числом нечётным, а сумма двух нечётных чисел есть число чётное →
4
( 2 + ) 2 = 0, следовательно: 4( 2 + ) 8 =
8 |
( |
2 |
+ |
) 8, где |
2+ |
– целое число. Получаем, что |
|
2 |
2 |
|
|||||
8 |
( |
2 |
+ |
) 8 = 0 |
→ 4( 2 + ) 8 = 0. Таким образом |
||
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
(2 + 1)2 8 = 4( 2 + ) 8 + 1 8 = 1 8 Ответ: ( + ) =
5.Доказать, что сумма квадратов двух последовательных натуральных чисел при делении на 4 даёт остаток 1.
Решение: Первое число , второе число + 1 Сумма квадратов этих чисел 2 + ( + 1)2
Рассмотрим следующее выражение: ( 2 + ( + 1)2) 4 ( 2 + ( + 1)2 ) 4 = ( 2 + 2 + 2 + 1) 4 = (2 2 + 2 + 1) 4 = (2 2 + 2 ) 4 + 1 4 = 2( 2 + ) 4 + 1 4
Рассмотрим первое слагаемое: 2( 2 + ) 4 Пусть – чётное число. Тогда очевидно, что квадрат чётного
числа 2 – так же число чётное. Сумма двух чётных чисел – число чётное → ( 2 + ) 2 = 0, следовательно:
2( 2 + ) 4 = 4 ( |
2+ |
) 4, где |
2+ |
– целое число. |
|
|
2 |
|
|||
2 |
|
|
|
||
Получаем, что 4 ( 2+ ) 4 = 0 → 2( 2 + ) 4 = 0.
2
Таким образом ( 2 + ( + 1)2) 4 = (2 2 + 2 ) 4 + 1 4 = 0 + 1 4 = 1 4
Пусть – нечётное число. Тогда очевидно, что квадрат нечётного числа 2 – так же число нечётное. Сумма двух нечётных чисел – число чётное → ( 2 + ) 2 = 0, следовательно:
2( 2 + ) 4 = 4 ( |
2+ |
) 4, где |
2+ |
– целое число. |
|
|
2 |
|
|||
2 |
|
|
|
||
Получаем, что 4 ( 2+ ) 4 = 0 → 2( 2 + ) 4 = 0.
2
Таким образом ( 2 + ( + 1)2) 4 = (2 2 + 2 ) 4 + 1 4 = 0 + 1 4 = 1 4
Ответ: ( + ( + ) ) =
5
6. Докажите, что сумма: 84+85+86+87+88+89+90 делится на 7 и на 87
Решение: (84+85+86+87+88+89+90) mod 7 = 84 mod 7 + 85 mod 7 + 86 mod 7 + 87 mod 7 + 88 mod 7 + 89 mod 7 + 90 mod 7 = 0 + 1 mod 7 + 2 mod 7 + 3 mod 7 + 4 mod 7 + 5 mod 7 +
6 mod 7 = (1+6) mod 7 + (2+5) mod 7 + (3+4) mod 7 = 0
(84+85+86+87+88+89+90) mod 87 = 84 mod 87 + 85 mod 87 + 86 mod 87 + 87 mod 87 + 88 mod 87 + 89 mod 87 + 90 mod 87 = 84 mod 87 + 85 mod 87 + 86 mod 87 + 0 + 1mod 87 + 2mod 87 + 3 mod 87 = (84+3) mod 87 + (85+2) mod 87 + (86+1)mod 87 = 0
Ответ: (84+85+86+87+88+89+90) mod 7 = 0 (84+85+86+87+88+89+90) mod 87 = 0
7.Докажите для целых чисел «a» и «b», что если 2a + 3b делится на 7, то и a + 5b также делится на 7.
Решение: Рассмотрим следующее выражение:
+ 5 = |
|
2 +10 |
= |
(2 +3 )+7 |
|
||
2 |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
||||
(2 +3 )+7 |
7 = |
1 |
((2 + 3) 7) + 7 7) |
||||
2 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
По условию (2 + 3) 7 = 0, следовательно
( + 5) 7 = 12 (7 7) = 0 Ответ: ( + ) = , если ( + ) =
8.Докажите, что любое простое число, большее 3, можно записать в одном из двух видов: (6n + 1) либо (6n – 1), где n - натуральное число.
Решение: Если число при делении на 6 даёт в остатке 2 или 4, то число чётное и является составным.
Если число при делении на 6 даёт в остатке 3, то число делится на 3 и является составным.
В случае (6n + 1) и (6n – 1) получаем соответственно:
(6n + 1) mod 6 = 1
(6n – 1) mod 6 = 5
Это единственные допустимые остатки при делении простого числа на 6, в противном случае такое число является составным.
6
9. Найти все такие натуральные числа p, что p и (5p + 1) – простые.
Решение: 5p + 1 – является чётным, при любом нечётном p, а простые числа являются нечётными (кроме 2).
5p + 1 – является нечётным, при любом чётном p, а как известно все простые числа кроме 2 являются нечётными. Следовательно, при p = 2, 5p + 1 = 11. Оба числа простые.
Ответ: p = 2
10. Найти все такие натуральные числа p, что p и 3p² + 1 - простые.
Решение: 3p² + 1 – является чётным, при любом нечётном p, а простые числа являются нечётными (кроме 2).
3p² + 1 – является нечётным, при любом чётном p, а как известно все простые числа кроме 2 являются нечётными. Следовательно, при p = 2, 3p² + 1 = 13. Оба числа простые.
Ответ: p = 2
11. p > 3 и p - простое число,будет ли хотя бы одно из чисел p + 1 и p - 1 а) делиться на 4?
б) делится на 5?
Решение: Рассмотрим ряд чисел p-1, p, p+1, p+2. Очевидно, что при делении на 4 каждого числа мы получим все возможные остатки от деления на 4: [0; 3], следовательно хотя бы одно из этих чисел делится на 4 без остатка (с 0 остатком) Число p и p+2 являются нечётными (p – простое число) Получаем, что всегда хотя бы одно из чисел p + 1 и p – 1 всегда делится на 4.
Рассматривая тот же ряд чисел получаем, что при делении на 5 каждого числа можем получить остатки: [0; 4], а следовательно есть такое p, при котором p + 1 или p – 1 не делятся на 5. Пример такого p: p = 13, p-1 = 12, p+1 = 14
Ответ: а) хотя бы одно из чисел p + 1 и p – 1 всегда делится на 4 б) не при всех p хотя бы одно из чисел p + 1 и p – 1
делится на 5
7
12. Может ли число 3821^(14567) - 1 быть простым?
Решение: Число, оканчивающееся на 1, в любой степени будет оканчиваться на 1, следовательно 3821^(14567) – 1 оканчивается на 0. 3821^(14567) – 1 – составное число.
Ответ: 3821^(14567) – 1 - составное число
13. Три простых числа p, q и r, большие 3, образуют арифметическую прогрессию: q = p + d, r = p + 2d. Докажите, что d делится на 6.
Решение: числа p, q и r – простые, являются нечётными, следовательно, d – должно быть чётным числом, то есть d mod 2 = 0. Так же d должно быть кратно 3, в противном случае одно из чисел должно быть равно 3, а по условию p, q и r больше 3.
14. Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Решение: рассмотрим числа n и n+17.
Простые числа, кроме 2, являются нечётными, следовательно, n+17 mod 2 = 1. Получается, что n – должно быть чётным и простым → n = 2. Тогда n+17 = 19.
Ответ: n = 2, n+17 = 19
15. Докажите, что для любых натуральных чисел a и b верно равенство НОД(a, b)*НОК(a, b) = ab.
Решение: НОД(a, b) → a = n*НОД(a, b) и b = m*НОД(a, b), где n и m – взаимно простые
Получаем, что НОК(a, b) = n*m*НОД(a, b)
Итого, НОД(a, b)*НОК(a, b) = n*m*НОД(a, b) *НОД(a, b) = n* НОД(a, b)*m* НОД(a, b) = a*b.
8
16.Доказать, что числа «27x + 4» и «18x + 3» взаимно просты при любом натуральном x.
Решение: пусть «27x + 4» и «18x + 3» взаимно просты, тогда НОД(27x + 4, 18x + 3) = 1, при любом натуральном x. В таком случае должны существовать такие α и β, что: α(27x + 4) + β(18x + 3) = 1. При α = -2 и β = 3 получаем:
(-2)(27x+4) + 3(18x+3) = 1 -54x – 8 +54x + 9 = 1
9 – 8 = 1
1 = 1
Следовательно, числа 27x + 4 и 18x + 3 взаимно просты.
Ответ: числа 27x + 4 и 18x + 3 взаимно просты
17. a и b - натуральные числа. Известно, что a^2 + b^2 делится на ab. Докажите, что a = b.
Решение: рассмотрим выражение |
2 |
+ 2 |
||||||||||
|
|
|||||||||||
|
2+ 2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
= |
|
+ |
|
= |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
По условию задачи ( 2 + 2) = 0 Следовательно ( + ) – целое число только при условии,
что a = b.
18.Какие из следующих утверждений верны:
(1)если "a" делится на "c", "b" не делится на "c", то "a + b" не делится на "c";
(2)если "a" не делится на "c" и "b" не делится на "c", то "a + b" не делится на "c";
(3)если "a" не делится на "c" и "b" не делится на c, то "ab" не делится на "c"?
Докажите верные и приведите контрпримеры к неверным.
Решение: (1) Верное утверждение По условию: = 0 и ≠ 0
( + ) = + = ≠ 0
(2) Неверное утверждение. Контрпример:
Пусть a = 7, b = 8, c = 3, тогда
= 7 3 = 1 3= 8 3 = 2 3
( + ) = (7 + 8) 3 = 15 3 = 0
(3) Неверное утверждение. Контрпример:
Пусть a = 5, b = 4, c = 10, тогда
9
= 5 10= 4 10
( ) = (4 5) 10 = 20 10 = 0
Ответ: (1) Верное утверждение
(2)Неверное утверждение
(3)Неверное утверждение
19.Изменятся ли частное и остаток, если делимое и делитель увеличить в 3 раза?
Решение: пусть делимое равно a, делитель – b, тогда
− частное, − остаток
Если увеличить делимое и делитель в 3 раза, то
33 = − частное не изменилось
3 3 = − остаток не изменился
Ответ: При увеличении делимого и делителя в 3 раза частное и остаток не изменятся
20.Найдите остаток от деления 2^100 на 3.
Решение: 2100 3 = 450 3 = 150 3 = 1 3 Ответ:
1