Математика

Вопрос 33.

Вопрос 34.

Вопрос 35.

Функция нескольких переменных:

Функция от 2-х переменных:

Пусть дано множество D из пар (x;y) , а так же и задано правило f: для каждой пары чисел (x;y) существует единственное значение , тогда = ( ; ) определена на D.

Областью определения функции 2-х переменных: множество пар (x;y), при которых определяется функция

= ( ; )

Способы задания функции нескольких переменных:

1)Словесный

2)Табличный - зависимость u от 1 , 2 , … , задаётся в виде таблицы

3)Аналитический:

a.Явное задание (т.е. формулой = ( 1 , 2 , … , ) )

b.Неявное задание (т.е. уравнением ( 1 , 2 , … , , ) = 0 ).

4)Функцию = ( ; ) можно задать графически

График функции двух переменных:

Вопрос 37.

Частные приращения функции двух переменных:

Частные производные функции двух переменных:

Частной производной по от функции = (; ) называется предел отношения частного приращения ∆ к приращению ∆ при стремлении ∆ к нулю.

Частной производной по от функции = (; ) называется предел отношения частного приращения ∆ к приращению ∆ при стремлении ∆ к нулю.

Производные высших порядков функции двух переменных:

Вопрос 38.

Полное приращение функции двух переменных:

Сообщив аргументу приращение ∆, а аргументу приращение ∆ получим для новое приращение ∆, которое называется полным приращением функции и определяется формулой:

Полный дифференциал функции двух переменных:

Если функция = (; ) имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке(; ) и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных:

′ ∆ + ′ ∆ =

∆ = ; ∆ =

Дифференциалы высших порядков:

= ( −1 )

Выражение дифференциала второго порядка через производные:

2 = ( )

Вопрос 40.

Производная неявно заданной функции одной и двух переменных:

Функция от одной переменной = ( ) задана неявно: (, ) = 0, тогда производная такой функции равна:

′ = − ′

′

Функция от двух переменной = ( , ) задана неявно: (, , ) = 0, тогда производная такой функции равна:

Производная первого и второго порядков параметрически заданной функции от одной переменной:

= ( )

{ = ( ) - параметрически заданная функция

Тогда производная первого порядка вычисляется по формуле: ′ = ′

′

Следовательно, производная второго порядка вычисляется следующим путём:

Производная кусочно заданной функции одной переменной: см. Вопрос 16

Вопрос 41.

Исследование функции двух переменных на экстремумы:

Теорема 1: Функция от двух переменных = ( , ) имеет экстремум в точке 0 если:

Критические точки: Для функции = ( , ) -это внутренние, изолированные точки из ( ), в которых:

0 − критическая точка Теорема 2: ∆( 0) = ′′ ∙ ′′ − ( ′′ )2 > 0} функция = ( , )имеетв точке 0 экстремум

Алгоритм исследования на экстремумы функцию = ( , ):

1.Область определения: ( )

2.Вычислить частные производные: ′ ; ′

Вопрос 42.

Некоторые элементы теории поля:

Скалярное поле: Если каждой точке (, , )из области пространства, заданных по правилу f, существует единственное число u, тогда задано скалярное поле.

= ( ) = (, , ), где − области пространства

Примеры:

Поле ° в нагретом теле

Потенциал в электрическом поле

Векторное поле: Если каждой точке (, , ) из области пространства поставлен в соответствие единственный вектор с началом в данной точке ( ), то говорят, что в этой области задано векторное поле.

( ) ( ) ( ) ( )= , , + , , + , , , где , , − проекции, соответсвенно, на , ,

Примеры:

Скорость частиц текущей жидкости

Поле силы тяжести

Поле напряжённости и магнитное поле

Поле плотности электрического тока

во всех точках скалярного поля

Градиент скалярного поля: Вектор направлен в сторону наиболее быстрого возрастания функции , а

его величина равна быстроте изменения функции в этом направлении.

( 2) < 0 2 − сток

Ротор векторного поля: Характеристика вращения векторного поля

= − не вращается

≠ − векторное поле вращается