Математика

I тип:

; , , = ≠ 0

+

( + ) ∙

1

( + )

∫

= ∫

=

∫

=

∫

=

ln| + | +

+

+

+

+

II тип:

, , , = ≠ 0, , > 1

(+)

∫

= ∫

∫

( + )

∫( + )− ( + ) =

( + )− +1

=

=

+ =

( + )

(1 − )

( + )

( + )

=

+

(1 − )( + )−1

III тип:

;

, ,

=

≠

0,

=

2

+

+

∫

− если < 0

2 + + нельзя разложить на множители.

2 + +

Тогда необходимо выделить полный квадрат, чтобы привести к табличному виду 7):

∫

1

=

+ ,

= ≠ 0

2 + 2

Аналогично дроби ∫

сводят к 9):

√2+ +

∫

= ln | + √2 ± | + ,

= ≠ 0

√2 ±

IV тип:

+

, , , ,

=

≠

0,

=

2

+

+

∫

+

− если < 0

2 + + нельзя разложить на множители.

2 + +

Тогда необходимо найти производную знаменателя

(

2

+ +

)′

= 2 + и выделить её в числители,

после чего перейти к сумме интегралов, один из которых после подстановки = 2

+ + сводится к

|

|

+ , а второй сводится к III типу.

табличному 5): ∫ = ln

Аналогично интегрируют дроби:

+

√2+ +

IV тип:

+

,

, , , = ≠ 0, =

2+ +

=

1

+

2

и

+

=

1

+

2

2 + +

( − )

( − )

2 + +

( − )

( − )

1

2

1

2

= 1( 1 − 2)

1

=

( 1− 2)

= −1 2 − 2 1} значения

и

0 = 1 + 2

1

2

( )

+

+

+

=

1

+

2

+ +

+

1

1

+

2

2

+ +

+

( )

+

2

2

+ +

(

2

+ + )

2

(

2

+ + )

( + )

( + )

Пример:

+ 1

+ 1

1

2

+

=

=

+

+

4 + 2

2(2 + 1)

2

2 + 1

Воспользуемся методом неопределённых коэффициентов 2:

Приравняем коэффициенты при

+ 1 = ( 2 + 1) + ( 2

+ 1) + 2( + )

одинаковых степенях:

0

: 1 = 2

1

2

+ 1 = 3

+ + 2 + + 3

+ 2

1: 1 =

1

1

1

2

2

2: 0 = + = −1

2

+ 1 = 3( + )

+ 2( + ) + +

3: 0 = + = −1

1

2

1

2

1

Получаем, что:

+ 1

1

1

+ 1

=

+

−

4 + 2

2

2 + 1