Лабораторная работа №13

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ КОММУНИКАЦИЙ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА» (СПбГУТ)

Факультет Инфокоммуникационных сетей и систем Кафедра Защищенных систем связи

Дисциплина Криптографические методы защиты информации

ОТЧЕТ ПО ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №13

Решение задач дискретной математики

(тема отчета)

Информационная безопасность (10.03.01)

(код и наименование направления/специальности)

Студент группы ИКБ-06:

Ерохин А.Г.

(Ф.И.О.) (подпись)

Д.т.н., проф. каф. ЗСС:

Яковлев В.А.

(Ф.И.О.) (подпись)

Цель работы: Приобретение навыков выполнения вычислений дискретной математики.

Ход выполнения лабораторной работы:

В ходе выполнения работы необходимо решить 4 задания. Вариант, используемый для заданий, является номером студента в группе – 10.

Задание 1. Найти наибольший общий делитель

НОД (8888; 2410) = 2 * НОД (4444; 1205) = 2 * НОД (4444 – 3*1205; 1205) = 2 * НОД (829; 1205) = 2 * НОД (829; 376) = 2 * НОД (77; 376) = 2 * НОД (77; 68) = 2 * НОД (9; 68) = 2 * НОД(9; 5) = 2 * НОД (4; 5) = 2 * НОД (4; 1) = 2

Ответ: НОД (8888; 2410) = 2

Задание 2. Используя алгоритм быстрого возведения в степень, вычислить

3¹¹⁰ mod 7 = 9⁵⁵ mod 7 = (9⁵⁴ * 9) mod 7 = (9^(3*18) * 9) mod 7 = 1¹⁸ mod 7 * 9 mod 7 = 2

Ответ: 2

Задание 3. Найти обратный элемент к числу а по mod b

a = 61, b = 107

a * a^-1 mod b = 1

Для решения используем расширенный алгоритм Евклида

a*x + b*y = 1

61*x + 107*y = 1

a		b		q		R
61	=	107	*	0	+	107
107	=	61	*	1	+	46
61	=	46	*	1	+	15
46	=	15	*	3	+	1
15	=	1	*	15	+	0

1	=	46	+	(-3)	*	15
15	=	61	+	(-1)	*	46
46	=	107	+	(-1)	*	61

1 = 107 + (-1)*61 + (-3)*(61+ (-1)*(107 + (-1)*61))

1 = 107 + (-1)*61 + (-3)*(61 + 61 – 107)

1 = 107 + (-1)*61 + (-3)*(-107) + (-3)*(2*61)

1 = (-7) * 61 + 4 * 107

x = -7 = 100 mod 7 = 100 = a^-1

Ответ: a^-1 = 100

Задание 4. Используя тест Ферма, проверить является ли число р простым

Теорема. Если p-простое и НОД(a, p) = 1, то 𝑎^p−1 = 1 𝑚𝑜𝑑 p

Исследуемое число: p = 229

1. Выберем 3 случайных числа a: a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7

2. Для каждого a вычислим НОД (a_i; p):

НОД (3; 229) = НОД (3; 229 – 3 * 76) = НОД (3; 1) = 1

НОД (5; 229) = НОД (5; 229 – 5 * 45) = НОД (5; 4) = НОД (1; 4) = 1

НОД (7; 229) = НОД (7; 229 – 7 * 32) = НОД (7; 5) = НОД (2; 5) = НОД (2; 1) = 1

3. Так как проверки в пункте 2 пройдены, то переходим к следующему этапу. Для каждого 𝑎_𝑖 проверяем: 𝑎_𝑖^p−1 = 1 𝑚𝑜𝑑 p:

3^229-1 = 1 mod 229

3²²⁸ = 1 mod 229

81⁵⁷ = 1 mod 229

81 * 149²⁸ = 1 mod 229

81 * 217¹⁴ = 1 mod 229

81 * 144⁷ = 1 mod 229

81 * 144 * 126³ = 1 mod 229

214 * 126 * 75 = 1 mod 229

20 * 126 = 1 mod 229

2520 = 1 mod 229

2520 mod 229 = 1

2520 – 229*11 = 1

Следовательно 3^229-1 mod 229 = 1.

5^229-1 = 1 mod 229

5²²⁸ = 1 mod 229

125⁷⁶ = 1 mod 229

53³⁸ = 1 mod 229

53² * 27¹² = 1 mod 229

61 * 121² = 1 mod 229

61 * 214 = 1 mod 229

13054 = 1 mod 229

13054 mod 229 = 1

13054 – 229*57 = 1

Следовательно 5^229-1 mod 229 = 1.

7^229-1 = 1 mod 229

7²²⁸ = 1 mod 229

111⁵⁷ = 1 mod 229

43¹⁹ = 1 mod 229

43 * 17⁹ = 1 mod 229

43 * 104³ = 1 mod 229

43 * 16 = 1 mod 229

688 = 1 mod 229

688 mod 229 = 1

688 – 229*3 = 1

Следовательно 7^229-1 mod 229 = 1.

4. Так как все проверки пройдены, то можно сделать вывод, что число 229 – простое, с итоговой вероятностью, что мы приняли составное число за простое:

Вывод: В ходе выполнения лабораторной успешно закрепили навыки выполнения вычислений дискретной математики. Были выполнены такие операции как: вычисление НОД, алгоритм быстрого возведения в степень, вычисление обратного элемента по модулю с использованием расширенного алгоритма Евклида, а также использовали тест Ферма, для определения простоты числа, с итоговой вероятностью равной 0,125.

Санкт-Петербург 2023 г