Matematikaliq analiz oqiw qollanba

boladı. f (x) C [a, b] bolıwınan k → +

da f (x'

) → f (x

0

),

f (x' '

) → f (x

0

) bolıp,

n

k

n

k

olardan k → + de f (x'

) − f (x' ' ) → 0

kelip shıǵadı. Bul bolsa

n N ushın

nk

nk

| f (x' ) − f (x

' ' ) |

n

n

Meyli

f (x)

funkciya

(a,b ) R

da

berilgen

bolıp,

x0 (a,b ), x0

+ x (a,b ) bolsın.

f (x0 )= f (x0

+ x)− f (x0 ) ayırma

f (x)

funkciyanıń x0

tochkadaǵı ósimi delinedi.

lim

f (x0 + x) − f (x0 )

x

x→0

limit bar hám shekli

bolsa,

onda

f (x) funkciyanıń x0 tochkadaǵı tuwındısı

delinedi hám

df (x0 )

f ( x0 ) yamasa ( f (x)) x

kórinisinde belgilenedi. Demek,

dx

0

f (x

) = lim

f (x0 + x) − f (x0 )

.

(1)

0

x→0

x

Eger x0 + x = x bolsa, onda x = x − x0

hám x → 0 da x → x0

bolıp, (1)

qatnas tómendegi

f (x0 ) =

lim

f (x) − f (x0 )

(2)

x − x

x→x0

0

f (x) − f (x0 )

=

x − x0

=1

x − x0

x − x0

bolıp,

lim

f (x) − f (x0 )

=1

x − x

x→x0

x 0

f (x)= x

f (x) =1

Eger

bolsa, onda

bolıp,

boladı.

x 0

f (x)= −x

f (x) = −1

Eger

bolsa, onda

bolıp,

boladı.

Eger

x = 0 bolsa, onda

f (x) − 0

=

| x |

bolıp, x → 0 da bul qatnaslardıń limiti

0

x − 0

x

bolmaydı. Demek, berilgen funkciya

x0 = 0 tochkada tuwındıǵa iye bolmaydı.

Funkciyanıń oń

hám

shep

tuwındıları. Meyli f (x)

funkciya

X R

kóplikte berilgen bolıp, (x0 − ,

x0 ) X

( 0) bolsın.

2-anıqlama. Eger

lim

f (x) − f (x0 )

x − x

x→x0 −0

0

limit bar bolsa, bul limit

f (x) funkciyanıń x0 tochkadaǵı shep tuwındısı delinedi

hám

f (x0 − 0) kórinisinde belgilenedi:

f

(x

− 0) =

lim

f (x) − f (x0 )

.

0

x→x0 −0

x − x

0

Meyli

f (x) funkciya

X R kóplikte berilgen bolıp,

(x0 , x0 + ) X

( 0) bolsın.

3-anıqlama. Eger

lim

f (x) − f (x0 )

x − x

x→x0

+0

0

limit bar bolsa, onda bul limit

f (x) funkciyanıń x0 tochkadaǵı oń tuwındısı

delinedi hám

f (x0 + 0) kórinisinde belgilenedi:

f

(x

+ 0) =

lim

f (x) − f (x0 )

.

0

x→x0 + 0

x − x

0

Máselen,

f (x) =| x | funkciyanıń x0

= 0 tochkadaǵı oń tuwındısı f (+0) =1,

shep tuwındısı

f (−0) = −1 boladı.

Funkciya tuwındısınıń geometriyalıq hám mexanikalıq mánisleri.

Meyli

f (x) funkciya (a,b ) da berilgen bolıp,

x0 (a,b ) tochkada

f '(x0 ) tuwındıga

tg ( x) =

MP

=

f (x0 + x) − f (x0 )

M 0 P

x

bolıp, onnan

( x) = arctg

f (x0 + x) − f (x0 )

x

kelip shıǵadı. Funkciya úzliksizliginen paydalanıp,

lim ( x) = lim arctg

f (x0

+ x) − f (x0 )

=

x

x→0

x→0

f (x0 + x) − f (x0 )

= arctg lim

= arctgf (x0 ).

x

x→0

Demek, x → 0

da ( x) niń limiti bar hám

f (x0 ) = tg

kelip shıǵadı. Demek, funkciyanıń x0

tochkadaǵı

f '(x0 ) tuwındısı urınbanıń

múyeshlik koefficentin belgileydi. Bunda urınbanıń teńlemesi

y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )

kórinisinde boladı.

Meyli P tochka tuwrı sızıq boylap

s = s(t)

nızam menen háreket qılsın,

bunda t −waqıt, s −ótilgen jol. Eger waqıttıń t1

hám

t2 (t1 t2 ) mánislerindegi

ótilgen jol s(t1 ),

s(t2 ) bolsa, onda bul qatnas

s(t2 ) − s(t1 )

t2 − t1

[t1 , t2 ] waqıt aralıǵındaǵı ortasha tezlikti ańlatadı.

Tómendegi

lim

s(t2 ) − s(t1 )

t

− t

t2 →t1 +0

2

1

limit háreketdegi tochkanıń t1 waqıttaǵı tezligin bildiredi.

Demek, hárekettegi P tochkanıń t

waqıttaǵı tezligi v(t) , óttilgen s(t) joldıń

tuwındısınan ibarat boladı:

v(t) = s (t).

Meyli f (x) funkciya (a, b) R da berilgen bolsın.

Teorema. Eger f (x) funkciya x0 (a, b)

tochkada shekli f (x0 ) tuwındıǵa

iye bolsa, onda

f (x)

funkciya x0

tochkada úzliksiz boladı.

◄ Meyli

f (x)

funkciya x0 (a, b) tochkada shekli f (x0 ) tuwındıǵa iye

bolsın. Anıqlamaǵa tiykarlanıp

f (x

) = lim f (x0 )

= lim

f (x0 + x) − f (x0 )

0

x→0

x

x→0

x

f (x) =| x |

funkciya

x = 0 tochkada úzliksiz, biraq usı tochkada tuwındıǵa iye

emes.

6.2. Tuwındını esaplaw qaǵıydaları hám formulaları

Meyli f (x)

hám g (x) funkciyaları (a,b ) R da berilgen

bolıp,

x0 (a,b )

tochkada f (x0 ) hám

g (x0 )

tuwındılarǵa iye bolsın. Tuwındınıń

anıqlamasına muwapıq

lim

f (x) − f (x0 )

= f (x

),

(1)

0

x→x0

x − x

0

lim

g(x) − g(x0 )

= g (x

)

(2)

0

x→x0

x − x

0

boladı.

1)

f (x) g(x) funkciya x0 tochkada tuwındıǵa iye bolıp,

( f (x) g(x)) x

= f (x0 ) g (x0 )

0

boladı.

2)

f (x) g(x) funkciya x0 tochkada tuwındıǵa iye bolıp,

( f (x) g(x)) x

= f (x0 ) g(x0 ) f (x0 ) g (x0 )

0

boladı.

3)

f (x)

funkciya (g(x0 ) 0)

x0 tochkada tuwındıǵa iye bolıp,

g(x)

f (x)

f (x0 ) g(x0 ) − f (x0 ) g (x0 )

=

2

x0

g

(x0 )

g(x)

boladı.

1-nátiyje. Eger

f (x) funkciya x0 tochkada

f (x0 ) tuwındıǵa iye bolsa,

onda c f (x) funkciya

(c = const )

x0 tochkada tuwındıǵa iye bolıp,

(c f (x)) x0

= c f (x0 )

boladı.

2-nátiyje. Eger

f1 (x), f2 (x), ...,

fn (x)

funkciyalar

x0

tochkada

tuwındılarǵa iye bolıp, с1, с2 , ..., сn

turaqlı sanlar bolsa, onda

'

(x0 ) + ... + cn

'

(x0 )

(c1 f1 (x) + c2 f 2 (x) + ... + cn f n (x)) x0

= c1 f1

(x0 ) + c2 f 2

f n

boladı.

Quramalı funkciyanıń tuwındısı. Meyli

y = f (x) funkciya X R , g(y)

funkciya

f (x) | x X

kóplikte

berilgen

bolıp,

x0 X

tochkada

f '(x0 )

tuwındıǵa,

y0 f (x) |

x X tochkada

( y0 = f (x0 ))

g (y0 )

tuwındıǵa iye

bolsın. Onda g( f (x)) quramalı funkciya x0

tochkada tuwındıǵa iye bolıp,

(g( f (x)))'x = g ( f (x0 )) f (x0 )

0

boladı.

Keri funkciyanıń tuwındısı.

Meyli y = f (x)

funkciya

(a,b ) da berilgen,

úzliksiz hám qatań ósiwshi (qatań kemeywshi) bolıp, x0 (a,b ) tochkada

f '(x0 )

( f '(x

0

) 0) tuwındıǵa iye bolsın. Onda

x = f −1 ( y) funkciya y

0

( y = f (x ))

0

0

tochkada tuwındıǵa iye hám

1

f −1

( y) x0

=

f (x0 )

+

x

(x + x) − x

1

x

−1

−1

= x

x

x

x

bolıp, x → 0 da (x ) = x −1

boladı. ►

2-mısal. (a x ) = a x ln a boladı, bunda a 0 , x R .

◄ f (x) = a x funkciya ushın

a x+ x − a x

= a x

a x −1

x

x

bolıp, x → 0 da (a x ) = a x ln a boladı. ►

3-mısal. (sin x) = cos x ,

(cos x) = −sin x boladı, bul jerde x R .

◄ f (x)= sin x funkciya ushın

x

sin(x + x) − sin x

= 2

1

sin x cos x + x

=

sin 2

cos x +

x

x

x

x

2

2

2

2

4.

(loga x)' =

1

,

a 0,

a 1, x 0.

x ln a

(loga | x |)'

=

1

,

a 0,

a 1,

x 0.

x ln a

(ln x)' =

1

,

x 0.

x

(ln | x | )'

=

1

,

x 0.

x

5.

(sin x)' = cos x,

x R.

6. (cos x)' = −sin x,

x R.

7. (tgx)'=

1

,

x

+ n ,

n Z.

cos2

x

2

8. (ctgx)' = −

1

,

x n ,

n Z.

sin2

x

9. (arcsinx)'=

1

,

| x | 1

1 − x 2

10.

(arccosx)'= −

1

,

| x | 1

1 − x 2

11.

(arctgx)'=

1

,

x R.

1 + x 2

12.

(arcctgx)'= −

1

,

x R.

1 + x 2

13.

(shx)' = chx,

x R.

14.

(chx)' = shx,

x R.

15.

(thx)' =

1

,

x R.

ch2 x

16.

(cthx)'= −

1

,

x 0.

sh2 x

Funkciyanıń differencialı

Meyli f (x)

funkciya (a, b) da berilgen

bolıp, x0 (a, b) , x0 + x (a, b)

bolsın. f (x0 ) = f (x0 + x) − f (x0 )

ayırma f (x) funkciyanıń x0

tochkadaǵı

ósimi delinedi.

1-anıqlama. Eger f (x0 ) nı

f (x0 ) = A x + x

kóriniste anıqlaw

múmkin

bolsa,

onda

f (x) funkciya x0

tochkada

differenciallanıwshı delinedi, bunda A = const, x → 0 , da → 0.

Teorema. f (x) funkciya

x (a, b) tochkada differenciallanıwshı bolıwı

ushın onıń usı tochkada shekli

f (x) tuwındıǵa iye bolıwı zárúrli hám jetkilikli.

◄Zárúrligi.

f (x) funkciya

x (a, b)

tochkada

differenciallanıwshı

bolsın. Anıqlamaǵa tiykarlanıp,

f (x) = A x + x

boladı, bunda A = const , x → 0 , da → 0.

Bul teńlikten paydalanıp, f (x)

= A + ,

x

lim

f (x) = lim ( A + ) = A.

x→0

x

x→0

Demek, f (x) bar bolıp hám

f (x) = A.

Jetkilikligi. f (x) funkciya x (a, b) da shekli f (x)

tuwındıǵa iye bolsın.

Anıqlamaǵa muwapıq

f (x) = lim

f (x + x) − f (x)

= lim f (x)

x→0

x

x→0

x

boladı. Eger f (x)

− f (x) = bolsa, onnan

x