Matematikaliq analiz oqiw qollanba

4-mısal. Meyli f (x) = sin x bolsın. Onda f (x) C(R)

boladı.

◄ x0 R tochkanı alıp, 0 ge muwapıq =

deymiz.

Onda

x, | x − x0 | :

|sin x − sin x

| =2 |cos

x + x0

sin

x − x0

| | x − x

| =

0

0

2

2

boladı. ►

Tap

usıǵan uqsas

f (x) = cos x

funkciya

R

de,

f (x) = tgx

hám f (x) = ctgx

funkciyalardıń bolsa óz anıqlanıw kópliklerinde úzliksiz bolıwı kelip shıǵadı.

5-mısal. f (x) = a x ,

a 0 bolsın. Onda

f (x) C(R)

boladı.

◄ Bunnan,

lim (a x−x0 −1) = 0.

x−x0 →0

Onda

0 = lim

(a x−x0 −1)

lim

a x0 (a x−x0

− a x0 ) = 0

x−x0

→0

x−x0 →0

a x0

lim (a x

− a x0 ) = 0

lim a x = a x0

x→x0

x→x0

boladı. ►

6-mısal. Meyli

−1, eger

x 0

bolsa,

f (x) =

0,

eger x = 0

bolsa,

1,

eger

x 0

bolsa

bolsın. Bul funkciya ushın

f (+0) = 1,

f (−0) = −1

bolıp, berilgen funkciya

X = R \{0} kóplikte úzliksiz boladı.

Quramalı funkciyanıń úzliksizligi.

Meyli

y = f (x)

funkciya

X R

kóplikte,

u = F ( y) funkciya bolsa Y f

kóplikte anıqlanǵan bolıp, olar arqalı u = F ( f (x))

quramalı

funkciya dúzilgen bolsın.

2-teorema. Eger

y = f (x) funkciya

x0 X tochkada, u = F ( y) funkciya bolsa

y0 Y f tochkada ( y0 = f (x0 )) úzliksiz bolsa, onda F ( f (x))

funkciya x0

tochkada úzliksiz

boladı.

0,

0, y,

| y − y0 | : | F( y) − F( y0 )|

(5)

yamasa | F( f (x)) − F( f (x0 ))|

boladı.

Shártke muwapıq y = f (x) funkciya

x0 X

tochkada úzliksiz. Bul jaǵdayda

joqarıdaǵı 0 ǵa muwapıq

0, x, | x − x0 | : | f (x) − f (x0 )|

yamasa

| y − y0 |

(6)

boladı. (5) hám (6) qatnaslardan

0, 0, x, | x − x0 | :

| F( f (x)) − F( f (x0 ))|

kelip shıǵadı. Demek, F ( f (x)) funkciya x0 tochkada úzliksiz. ►

Meyli f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolıp, x0 X bolsın.

1. Eger

f (x) funkciya

x0 X

tochkada úzliksiz bolsa,

onda sonday 0 hám

M 0

sanları

tabılǵanda,

f (x)

funkciya

x0

tochkanıń

U (x0 )

dógereginde

shegaralanǵan boladı.

2. Eger

f (x) funkciya

x0 X

tochkada úzliksiz, f (x0 ) 0 bolsa, onda sonday

0 san tabılsa, f (x) funkciyanıń

U (x0 )

degi belgisi f (x0 ) niń belgisi kórinisinde

boladı.

Bul tastıyıqlawlardıń dállileniwi limitke iye bolǵan funkciyanıń qásiyetlerinen kelip

shıǵadı.

3. Meyli y = f (x) funkciya x0 tochkada

lim f (x) = b

(b R)

(1)

x→x0

ge iye

bolıp,

g(y) funkciya

Y kóplikte berilgen

{ f (x)| x X} {b} Y

hám y = b

lim g( f (x)) = g( lim f (x) )

(2)

x→x0

x→x0

boladı.

◄ n → da xn → x0

(xn X , xn x0 ,

n =1, 2,...) bolatuǵın qálegen {xn } izbe-

izlikti alayıq. Onda (1) qatnasqa muwapıq

lim

loga (1 + x)

= loga e (a 0,

a 1)

(3)

x

x→0

Tiykarı a = e bolǵanda lim

ln(1 + x)

=1 boladı. ►

x→0

x

2-mısal. lim

a x −1

= ln a, (a 0) qatnastı dállileń.

x→0

x

◄ Keltirilgen teńlikti dállilew ushın a x −1 = t

dep alamız. Onda x → 0 de t → 0

boladı. Usını hám (3) qatnastı itibarǵa alıp,

lim

a x −1

= lim

t

=

1

= ln a.

►

x→0

x

t→0 log

a

(1 + t)

log

a

e

3-mısal. lim

(1 + x) −1

= , ( R) dállileń.

x→0

x

◄ Bunnan,

(1 + x) = e ln(1+x)

hám x → 0 da ln(1 + x) → 0 boladı. Onda

(1 + x)

−1

=

(e ln (1+x)

−1) ln(1 + x)

x

ln(1 + x)

x

lim

(1 + x) −1

= lim

e ln(1+x)

−1

lim

ln(1 + x)

=

x

ln(1 + x)

x

x→0

x→0

x→0

kelip shıǵadı. ►

Funkciyanıń úzilis noqatları.

Meyli f (x) funkciya

(a, b)

de

(− a b + ) berilgen bolıp,

x0 (a, b)

bolsın. Bizge málim, f (x) funkciyanıń x0

tochkadaǵı oń hám shep limitleri

f (x0 + 0),

f (x0 − 0)

(3)

bar bolıp,

f (x0 − 0) = f (x0 ) = f (x0 + 0)

(4)

teńlik orınlı bolsa, onda f (x)

funkciya x0

tochkada úzliksiz boladı.

Eger f (x) funkciya x0

tochkada úzliksiz bolmasa, onda x0 tochka f (x)

funkciyanıń

úzilis tochkası delinedi.

Anıqlama. Eger (3) limitler bar hám shekli bolıp,

(4) teńliklerdiń bazı birewleri

orınlı bolmasa, onda x0

tochka f (x)

funkciyanıń birinshi túr úzilis tochkası delinedi.

Bunda

f (x0 + 0) − f (x0 − 0)

ayırma funkciyanıń x0

noqattaǵı sekiriwi delinedi.

Máselen, f (x) = [x] funkciya x = p

( p Z )

tochkada birinshi túr úziliske iye, sebebi

1

sin

,

eger

x 0

bolsa,

f ( x) =

x

0,

eger

x = 0

bolsa

úzliksiz, a tochkada ońnan, b tochkada shepten úzliksiz bolsa, onda

f (x)

funkciya [a, b]

segmentte úzliksiz boladı.

Endi segmentte úzliksiz bolǵan funkciyalardıń qásiyetlerin keltiremiz.

1-teorema. (Veyershtrasstıń birinshi teoreması). Eger

f (x)

funkciya [a, b]

segmentte úzliksiz bolsa, onda funkciya [a, b] da shegaralanǵan boladı.

◄ Bizge málim, f (x) funkciyanıń [a, b] da shegaralanǵanlıǵı

M (0,+ ), x [a, b] : | f (x)| M

ańlatadı. Kerisinshe uyǵarayıq, f (x) C[a, b] bolıp,

[a, b] da shegaralanbaǵan bolsın. Bul

jaǵdayda

n N,

xn [a, b]: | f (xn )| n (n =1,2,...)

(4)

boladı. Onda {xn } izbe-izlik ushın

xn [a, b]

(n =1, 2,...) bolǵanlıǵı

sebepli ol

izlikten jıynaqlı úles {xn

} izbe-izlik ajıratıw múmkin:

k

k → da xn

→ x0

(x0 [a, b]) .

k

Shártke muwapıq f (x)

funkciya [a, b] da úzliksiz. Bunnan,

k → da f (xn

k

) → f (x0 )

(5)

lim f (xn

) = +

k →

k

bolıwı lazım edi). Demek, f (x) funkciya [a, b] da shegaralanǵan boladı. ►

Meyli f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolsın.

Anıqlama. Eger X kóplikte sonday x0 X tochka tabılsa, x X ushın

f (x) f (x0 )

( f (x) f (x0 ))

f (x0 ) = max f (x)

( f (x0 ) = min f (x))

X

X

kórinisinde belgilenedi.

2-teorema. (Veyershtrasstıń ekinshi teoreması). Eger f (x) C[a, b] bolsa, onda f ( x)

funkciya [a, b] segmentte eń úlken hám eń kishi mánislerge erisedi, yamasa

с1 [a, b],

x [a, b]:

f (x) f (c1 ),

с2 [a, b],

x [a, b] :

f (x) f (c2 )

boladı.

x [a, b] :

f (x) M ,

1

xn = x

[a, b] izbe-izlik payda bolıp, onıń ushın

n

f (xn ) M −

1

n

lim f (xn ) = M

(6)

n→

k → da f (xnk ) → f (с1 ).

Bunnan, { f (xnk )} izbe-izlik { f (xn )}

izbe-izliktiń úles izbe-izligi.

Demek, (6) qatnasqa muwapıq

k → da f (xn

) → M

k

bolıp,

f (c1 ) = M kelip shıǵadı. Tap

usıǵan uqsas, f (x) funkciyanıń eń kishi mániske

erisiwi kórsetiledi. ►

3-teorema. Meyli f (x)

funkciya

[a, b] segmentte berilgen

bolıp, tómendegi

shártlerdi orınlı bolsın:

1) f (x) C[a, b];

2) segmenttiń shetki tochkaları a hám b lerde hár qıylı mánislerge iye, yamasa

f (a) 0 f (b)

yamasa

f (a) 0 f (b)

bolsın. Onda (a, b) da sonday x0

tochka (a x0 b) tabılsa, f (x0 ) = 0 boladı.

◄ Meyli

f (x) C[a, b]

bolıp,

f (a) 0 f (b) bolsın. [a, b]

segmenttiń f (x)

funkciyaǵa teris mánisler beretuǵın tochkalardan ibarat kóplikti E desek:

E ={ x [a, b] | f (x) 0}.

Bunnan,

a E, E [a, b]. Demek, E kóplik shegaralanǵan hám

E .

Kópliktiń anıq joqarı shegarası haqqındaǵı teoremaǵa muwapıq

sup E = x0

(x0 (a, b) )

bar boladı. Anıq joqarı shegaranıń anıqlamasına muwapıq,

n N,

xn E :

x0 −

1

xn x0

n

boladı. Demek,

f (xn ) 0.

(n =1, 2, 3,...)

f (x)

funkciyanıń [a, b] da úzliksiz bolǵanlıǵınan paydalanıp,

n → da xn → x0 bolıp, f (xn ) → f (x0 ).

f (x0 ) 0

(7)

kelip shıǵadı. Bunnan, x x0

da x E hám

f (x) 0. Sonıń ushın

lim

f (x) 0

x→ x0 + 0

bolıp,

f (x0 ) = lim f (x) 0

(8)

x→ x0 + 0

bolǵan jaǵdayda teorema dállilengen esaplanadı.

Endi f (a) l f (b) bolsın. Bul g( x) = f ( x) − l,

( x [a, b]) funkciyanı alayıq. Bul

funkciya ushın:

1) g(x) C [a, b];

2) g(a) 0 g(b)

f (x0 ) = l

boladı. ►

Monoton funkciya úzliksizligi hám úzilisi.

5-teorema. a,b R da monoton bolǵan f (x) funkciya usı

a,b nıń qálegen

tochkasında úzliksiz boladı yamasa birinshi túr úzliksizlikke iye boladı.

◄ Meyli f (x) funkciya a,b da ósiwshi bolsın. Meyli

x0 a,b , (x0 − , x0 + ) a,b

( 0)

bolsın. Monoton funkciyanıń limiti hakqındaǵı teoremaǵa muwapıq

lim

f (x) = f (x0 − 0) f (x0 ),

x→x0 −0

lim

f (x) = f (x0 + 0) f (x0 )

x→x0 +0

f (x0 − 0) = f (x0 ) = f (x0 + 0)

bolsa, onda f (x)

funkciya x0 tochkada úzliksiz, Eger

f (x0 − 0) f (x0 + 0)

bolsa, onda

f (x)

funkciya x0 tochkada birinshi túr úzliksizlikke iye boladı. Tap usıǵan

uqsas f (x)

funkciya a,b de kemeyewshi bolǵanda da tastıyıqlaw dállilenedi. ►

6-teorema. Eger f (x)

funkciya X R aralıqta úzliksiz hám qatań ósiwshi (qatań

kemeyiwishi) bolsa, onda Y f

={ f (x)| x X } aralıqta keri f −1 ( y) funkciya bar bolıp, ol

Meyli f (x) funkciya X R kóplikte bepilgen bolsın.

Anıqlama. Eger qálegen 0

san alınǵanda hám sonday 0 san tabılsa,

| x '−x' '|

teńsizlikti qanaatlandırıwshı qálegen

x', x' ' X ushın

| f (x ' ) − f (x' ' ) |

sin x − sin x

x + x

x − x

x − x

= 2

cos

sin

=

2

2

3-mısal.

f (x) =

1

, x X = (0, 1]

bolsın. Onda X = (0, 1] da teń ólshewli úzliksiz

х

bolmaydı.

◄ 0

sandı, máselen, =

1

dep alınıp, x' hám

x'' tochkalar sıpatında

2

x =

1

, x

=

1

(n N)

n

n +1

dep alınsa, bul jaǵdayda | x'−x' '| ayırma tómendegishe

| x − x |=

1

−

1

=

1

n

n +1

n(n +1)

boladı. Bunnan

(| x'−x' '| ) nı háp qansha kishi qılıp alıw múmkin bolsa, onda

| f (x' ) − f (x ) | =

−

1

=| n − (n +1) | =1

1

=

1

x

x

2

boladı. Demek, f (x) =

1

funkciya X = (0, 1] de teń ólshewli úzliksiz emes. ►

x

Teopema (Kantop teopeması). Eger

f (x) C [a, b] bolsa, onda f (x) funkciya

[a, b] da teń ólshewli úzliksiz boladı.

◄ Meyli

f (x) C [a, b] bolıp hám funkciya [a, b]

da ólshewli úzliksizligi bolmasın.

Onda bazı 0 hám qálegen 0

ushın [a, b]

da sonday x' hám x'' tochkalar tabılsa,

| x − x |

| f (x ) − f (x ) |

boladı. n → + da

n →0

( n

0,

n =1, 2, ...)

bolatuǵın qálegen { n } izbe-izlikti

alamız. Onda

x1 − x1

1

f (x1 ) − f (x1 )

,

x − x

2

f (x ) − f (x )

,

2

2

2

2

.........................................................

x − x

n

f (x ) − f (x )

,

n

n

n

n

.........................................................

boladı. Bunnan, {xn' } ushın xn'

[a, b] (n =1, 2, 3, ...) bolıp, onnan

k → + da xn'

→ x0

(x0 [a, b])

k

bolatuǵın úles izbe-izlik ajıpatıw múmkin. Usı waqıtta, x''

ushın hám

nk

k → + da xn' '

→ x0

k