Matematikaliq analiz oqiw qollanba

sup F = b .

Endi,

lim f (x)= b

bolıwın

dálilleymiz.

Anıq joqarǵı

shegaranıń

x→x0 −0

anıqlaması boyınsha:

1) x X x x0 ushın f (x) b;

2) x X x x0 ,

x x0 :

f (x ) b − ,

( 0 )boladı.

Eger = x0

− x 0 bolsa, onda x ( x0 − , x0 ) ( x0

− , x0 ) ushın

b − f (x ) f (x) b b +

bolıp,

f (x)− b

teńsizlik orınlı bolsın. Bunnan

lim f (x) = b . ►

x→x0

−0

Meyli

f (x) funkciya

X R kóplikte

berilgen

bolıp, ( x0 , x0 + ) X

bolsın ( 0 ). Onda x0 R noqat X kópliktiń limit noqatı boladı.

2-teorema. Eger f (x) funkciya X

kóplikte

kemeyiwshi

bolıp, ol

f (x)− f (y)

(1 )

Solay etip, n → de zn → x0

eken, onda limit anıqlamasına muwapıq

0 , n0 N , n n0 :

zn − x0

boladı. Onda m n0 , n n0 ushın

f (zm )− f (zn )

teńsizlik orınlanadı. Bynnan

f (zn ) izbe-izliktiń fundamental ekenligi kelip

3)

Egep (x)

( (x) 0 )

sheksiz kishi funkciya

bolsa, onda

1

(x)

sheksiz úlken funkciya boladı.

4)

Egep (x)

sheksiz úlken

funkciya bolsa, onda

1

sheksiz

kishi

(x)

Meyli f (x) hám g(x) funkciyalardı

X R kóplikte berilgen bolıp, x0

noqat X kópliktiń limit noqatı bolsın.

1-anıqlama. Eger

turaqlı C 0

sanı hám 0 san tabılǵanda,

x X (U (x0 ) \ {x0 })

ushın

| f (x) | C | g(x) |

Máselen, x → 0 da x2 = O(x) boladı, sebebi x (−1,1) da

x2

x

.

Eger

f (x) funkciya

x0 noqat dógereginde shegaralanǵan bolsa,

onda

x → x0 da

f (x)= O(1) kóriniste jazıladı

« O » nıń qásiyetleri:

1) Eger

lim

f (x)

= b

bolsa, onda x → x

da f (x)= O( g(x)) boladı.

x→x0 g(x)

0

2) Eger

x → x0 de

f (x)= O( g(x))

hám

g(x)= O(h(x)) bolsa,

onda

x → x0 de

f (x)= O(h(x)) boladı. Demek, x → x0

de O(O(h(x)))= O(h(x)).

3) Eger

x → x0 de

f (x)= O( g(x))

hám

h(x)= O( g(x)) bolsa,

onda

x → x0 de

f (x)+ h(x)= O( g(x)) boladı.

4) Eger

x → x0 de f1(x)= O( g1(x))

hám

f2 (x)= O( g2 (x)) bolsa,

onda

x → x0 de

f1(x) f2 (x)= O( g1(x) g2 (x)) boladı.

2-anıqlama. Eger hár qanday 0 san alınǵanda hám sonday 0 san

tabılǵanda,

x X (U (x0 ) \ {x0 })

ushın

| f (x) | | g(x) |

teńsizlik orınlı bolsa, onda x → x0

de f (x) funkciya g(x) funkciyaǵa qarata joqarı

tártipli sheksiz kishi funkciya

delinedi hám

f (x)= o( g(x)) yaki f = o(g)

1) Eger x → x0 de

f = o(g) bolsa, onda x → x0 de f = O(g) boladı.

2) Eger

x → x0

de

f = o(g), g = o(h) bolsa,

onda

x → x0

de

f = o(h)

boladı. Demek, o(o(h))= o(h).

3) Eger

x → x0

de

f1 = o(g),

f2 = o(g)

bolsa,

onda

x → x0

de

f1 + f2 = o(g) boladı.

4) Eger

x → x0

de

f1 = o(g1 ),

f2 = o(g2 )

bolsa,

onda

x → x0

de

f1 f2

= o(g1 g2 ) boladı. Demek, o(g1 ) o(g2 )= o(g1 g2 ).

Funkciyalardıń ekvivalentligi. Meyli f (x) hám g(x) funkciyaları X R

kóplikte berilgen bolıp, x0

noqat X kópliktiń limit noqatı bolsın.

3-anıqlama. x → x0 da

f (x) hám g(x)

funkciyalar ( x x0

de g(x) 0 )

ushın

lim

f (x)

=1

x→x0

g(x)

bolsa,

onda

x → x0 de

f (x)

hám g(x) ekvivalent funkciyalar delinedi hám

f (x)~ g(x)

( x → x0 ) kórinisinde belgilenedi.

Máselen, x → 0

de

f (x)= sin x

hám

g(x)= x funkciyalar ekvivalent

funkciyalar boladı sin x ~ x

(x →0).

Teorema. x → x0

de

f (x) hám g(x)

funkciyalar

( x x0

de

g(x) 0 )

ekvivalent bolıwı ushın

g(x)− f (x)= o( g(x))

lim

f (x)

=1

g(x)

x→x0

bolıp, onnan

f (x)

g(x) − f (x)

lim

1

−

= lim

= 0

x→x0

g(x)

x→x0

g(x)

1 −

f (x)

=

g(x) − f (x)

=

o(g(x))

g(x)

g(x)

g(x)

f (x)

g(x) − f (x)

lim

1

−

= lim

= 0

x→x0

g(x)

x→x0

g(x)

lim

f (x)

=1

x→x0

g(x)

yaǵnıy f (x)~ g(x) ekenin bildiredi. ►

« » nıń qásiyetleri:

1)

x → x

de f (x)~ g(x) lim

f (x)

=1,

0

x→x0

g(x)

2)

Hár qanday funkciya ushın x → x0 de f (x)~ f (x) boladı.

3)

Eger

x → x0

de

f (x)~ g(x),

g(x)~ h(x) bolsa,

onda

x → x0

de

f (x)~ h(x) boladı.

4)

Eger

x → x0

de

f1(x)~ g1(x),

f2 (x)~ g2 (x) bolsa,

onda

x → x0

de

f1(x) f2 (x)~ g1(x) g2 (x) boladı.

Meyli f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolıp, x0 X tochka X kóp liginiń

limit tochkası bolsın.

1-anıqlama. Eger

lim f (x) = f (x0 )

(1)

x→x0

bolsa, onda f (x) funkciya

x0 tochkada úzliksiz delinedi.

Demek, f (x) funkciyanıń x0 tochkada úzliksizligi bul

1)

lim f (x) = b nıń barlıǵı,

x→x0

2)

b = f (x0 ) shártleriniń orınlanıw menen ańlatıladı.

Mısallar 1. f (x) = x4 + x2 +1 funkciya x

0

R tochkada úzliksiz boladı, sebebi

lim f (x) = lim (x 4 + x 2 +1) = x04 + x02 +1 = f (x0 ).

x→x0

x→x0

2. Berilgen

2

x 0 болса,

1,

егер

f ( x ) = ( signx )

=

x = 0 болса,

0,

егер

funkciyanı qarayıq. Bizge málim, x0

R tochkada lim f (x) =1 boladı. Demek, qaralıp

x→x0

atırǵan funkciya x0 R ,

x0 0 tochkada úzliksiz boladı. Biraq f (0) = 0 bolǵanlıǵı

delinip, olar sáykes túrde x hám

f kóriniste belgilenedi:

x = x − x0 ,

f = f (x) − f (x0 ) = f (x0 + x) − f (x0 ).

Onda funkciya úzliksizliginiń 1-anıqlamasındaǵı (1) qatnastan

lim f

= 0

(2)

x→0

kóriniske keledi. Demek, (2) qatnastı funkciyanıń x0

tochkada úzliksizligi anıqlaması

sıpatında qaraw múmkin.

Meyli f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolıp, x0 X tochka X kópliktiń oń

(shep) limit tochkası bolsın.

4-anıqlama. Eger

lim

f (x) = f (x0 )

( lim

f (x) = f (x0 ))

x→x0 + 0

x→x0 −0

bolsa, onda f (x) funkciya x0

tochkada ońnan (shepten) úzliksiz delinedi.

Demek, f (x) funkciya x0 tochkada ońnan (sheptpn) úzliksiz bolǵanda funkciyanıń

oń (shep) limiti onıń x0 tochkadaǵı mánisine teń boladı

f (x0 + 0) = f (x0 )

( f (x0 − 0) = f (x0 ) ).

g)

f (x)

(g(x) 0)

funkciya x0 tochkada úzliksiz boladı.

g(x)

1-mısal. f (x) = с, с R bolsın. Onda

f (x) C(R) boladı.

◄ Haqqıyqattan da 0 ge muwapıq =

bolsa, onda

x, | x − x0 | :

| f (x) − f (x0 )| = |с − с| = 0

boladı. ►

2-mısal. Eger f (x) = x, x R bolsa, onda

f (x) C(R) boladı.

◄ Haqıyqattan da 0 ge muwapıq =

bolsa, onda

x,

| x − x0 | :

| f (x) − f (x0 )| = | x − x0 | =

boladı. ►

3-mısal.

f (x) = a

xm

+ a xm−1 +... + a

m−1

x + a

m

; m N, a , a ,...,a

m

R

0

1

0 1