Matematikaliq analiz oqiw qollanba

kórinistegi funkciya bólshek racional funkciya

delinedi. Bunda a0 , a1 ,..., an

hám b0 , b1 , ...,bm ler turaqlı sanlar n N , m N .

Bul funkciya

y =

a

(х 0 а = const)

х

kóriniske iye. Bul funkciya

4-sızılma

b) Bólshek sızıqlı funkciya. Ol tómendegi

y =

aх + b

cх + d

kóriniske iye boladı. Bul funkciya

d

X = R \ −

(c 0)

c

y =

aх + b

=

bc − ad

1

+

a

.

cх + d

c 2

х +

d

c

c

Demek,

y =

+ ,

=

bc − ad

, =

d

,

=

a

.

c2

х +

c

c

Onıń grafigin y =

a

funkciya grafigi járdeminde sızıw múmkin.

x

3. Dárejeli funkciya. Bul

y = xa , (x 0)

bolǵanda (0, + ) de ósiwshi, a 0 bolǵanda kemeyiwshi boladı.

у = ха

funkciya grafigi tegisliktiń (0,0 ) hám (1,1) noqatlarınan ótedi.

4. Kórsetkishli funkciya. Bul

у = а х

kórinistegi funkciya kórsetkishli funkciya delinedi. Bunda a R ,

a 0 ,

a 1.

у = sin x,

y = cos x,

y = tgx,

y = ctgx,

y = sec x,

y = cos ecx

funkciyalar trigonometriyalıq funkciyalar delinedi

у = sin x, y = cos x funkciyalar

R = (− , + ) de anıqlanǵan,

2 periodlı

funkciyalar х R de

−1 sin x 1,

−1 cos x 1

boladı. y = tgx funkciya

;

k =

X = R \ x R | x = (2k +1)

2

0, 1, 2, ...

kóplikte anıqlanǵan periodlı funkciya,

ctgx,

secx, cosecx

funkciyalar

sin x, cosx, tgx lar arqalı tómendegishe ańlatıladı:

ctgx =

1

,

sec x =

1

,

cos ecx =

1

.

tgx

cos x

sin x

7. Giperbolikalıq funkciyalar. Kórsetkishli у = eх

funkciya járdeminde

dúzilgen bul

еx − е−x

еx + е−x

еx − е−x

еx + е−x

,

,

,

2

2

еx + е−x

еx − е−x

еx − е−x

еx + е−x

еx − е−x

еx + е−x

shx =

, chx =

, thx =

,

cthx =

2

2

еx + е−x

еx − е−x

belgilenedi.

8. Keri trigonometriyalık funkciyalar. Meyli y = sin x funkciya R de

anıqlanǵan hám onıń mánisleriniń kópligi

Y f

= [−1, 1]

boladı. Eger

,

bolsa, onda

,

hám Y f = [−1, 1]

x −

X = −

2

2

2

2

kóriniste belgilenedi.

Usıǵan uqsas y = cos x, y = tgx,

y = ctgx funkciyalarǵa salıstırǵanda keri

funkciyalar sáykes túrde

y = arccos x, y = arctgx,

y = arcctgx ,

kóriniste belgilenedi.

Bul у = аrc sin x , у = аrccos x ,

у = аrctgx ,

у = аrcctgx funkciyalar keri

trigonometriyalıq funkciyalar delinedi.

Meyli f (x) funkciya

X R kóplikte

berilgen bolıp, x0 noqatta X

kópliktiń limit noqatı bolsın. x0

noqatga umtılıwshı qálegen xn :

x1, x2 , ..., xn ,...

(xn X ,

xn x0 )

izbe-izlikti alıp, funkciya mánislerinen ibarat { f (xn )}:

f (x1 ),

f (x2 ), ...,

f (xn ), ...

izbe-izlikti payda etemiz.

1-anıqlama. (Geyne). Eger

n → de

xn

→ x0

(xn X ,

xn

x0 )

bolatuǵın qálegen

{ xn } izbe-izlik ushın n → de

f (xn ) →b bolsa, onda b ǵa

f (x) funkciyanıńg x0

noqatdaǵı limiti delinedi hám x → x0

de

f (x) → b

yaǵnıy

lim f (x) = b

x→x0

kóriniste belgilenedi.

Eskertiw.

Eger

n →

de

xn → x0

(xn X ,

xn

x0 )

hám

yn → x0

( yn X ,

yn x0 )

bolatuǵın

túrli

{xn }, {yn }

izbe-izlikler

ushın

n → de

f (xn ) →b1 , f ( yn ) →b2

bolıp,

b1 b2

bolsa, onda

f (x)

funkciya

x → x0 de limitke iye emes delinedi.

1-mısal. f (x) =

x 2

−16

funkciyanıń

x0 = 4 noqatdaǵı limitin tabıń.

x 2

− 4x

◄ Meyli lim xn

= 4,

( xn 4, n = 1, 2, ...)

izbe-izlikti alayıq. Onda

n→

f (xn ) =

xn2 −16

=

xn + 4

xn2

− 4xn

xn

bolıp, n → da

f (xn ) → 2 boladı. Demek,

lim

x 2

−16

= 2. ►

n→ x 2

−

4x

2-mısal. f (x) = sin

1

funkciyanıń x → 0 degi limitke iye emesligi kórsetiń.

x

◄ n → de

x'

=

2

→ 0,

x' '

=

2

→ 0 boladı. Bul izbe-

n

(4n

−1)

n

(4n

+1)

izlikler ushın f (xn' ) =

4n −1

= −1,

f (xn'' ) =

4n +1

=1

bolıp, n → de

2

2

f (xn' ) → −1,

f (xn'' ) →1

boladı. Demek, berilgen funkciya

x0

= 0 noqatda limitke iye emes. ►

2-anıqlama. (Koshi). Eger

0 san alınǵanda hám sonday = ( ) 0

tabılsa, x X (U (x0 ) \ {x0 }) ushın

| f (x) − b |

teńsizlik orınlı bolsa, onda b sanı f (x)

funkciyanıń x0 noqatdaǵı limiti delinedi:

lim f (x) = b .

x→x0

3-mısal. f (x) = C = const

(C R) bolsın. Bul funkciya ushın

lim f (x) = C

x→x0

boladı.

4-mısal. Bul

f (x) =

x 2 −1

funkciyanıń

x0 =1 noqatdaǵı limiti 2 ge teń

x −1

ekenligii kórsetiń.

◄ 0 sanına karap

=

dep alsaq,

onda

| x −1 |

(x 1)

teńsizlikti qanaatlandırıwshı qálegen

x te

x

2 −1

− 2

=| x +1 − 2 | =| x −1| =

x −1

boladı. Demek, lim

x 2

−1

= 2.►

x

−1

x→x0

3-anıqlama. Eger 0

san alınǵanda hám sonday 0 san tabılsa,

x X (U (x0 ) \ {x0 })

ushın

f (x)

teńsizlik

orınlı bolsa, onda

f (x)

funkciyanıń x0 noqatdaǵı limiti + dep ataladı hám

lim f (x) = +

x→x0

kóriniste belgilenedi.

Meyli f (x) funkciya

X R kóplikte berilgen bolıp, x0 = + noqat X

kópliktiń limit noqatı bolsın.

4-anıqlama. Eger 0

san alınǵanda da sonday 0 tabılsa x X ,

x ushın

| f (x) − b |

teńsizlik orınlı bolsa, onda b sanı f (x)

funkciyanıń x0 = + degi limiti delinedi

hám

lim f (x) = b

x→+

kórinisinde belgilenedi.

5-mısal. Meyli X = (0, + ) , x0

=+ ,

f (x) =

1

bolsın, onda

x

lim

1

= 0

x→+ x

boladı.

◄Haqıyqatında da 0 sanın alayıq. x 0

ushın

− 0

=

1

x

1

.

1

x

x

Demek, =

1

bolsa, onda

x ushın

1

− 0

=

1

1

=

x

x

Funkciyanıń oń hám shep limitleri. Meyli

f (x) funkciya X R kóplikte

berilgen, x0 noqat X tıń shep limit noqatı bolıp,

(x0 − , x0 ) X

( 0)

bolsın.

5-anıqlama. Eger

bolsa, onda b san f (x) funkciyanıń x0

noqatdaǵı shep limiti delinedi hám

b =

lim

f (x) = f (x0 − 0)

x→x0 −0

kóriniste belgilenedi.

Meyli f (x) funkciya X R kóplikte berilgen, x0 noqat X tıń oń limit

noqatı bolıp,

(x0 , x0 + ) X

( 0)

bolsın.

6-anıqlama. Eger

0, 0, x (x0 , x0 + ) : | f (x) −b |

bolsa, onda b san f (x) funkciyanıń x0

noqatdaǵı oń limiti delinedi hám

b =

lim

f (x) = f (x0 + 0)

x→x0 +0

kóriniste belgilenedi.

Máselen,

1, eger x 0

bolsa,

0, eger x = 0

bolsa,

f (x) =

bolsa

−1, eger x 0

limit noqatı bolsın.

1-qásiyet. Eger x → x0 da f (x) funkciya limitke iye bolsa,

onda ol jalǵız

boladı.

2-qásiyet. Eger

lim f (x) = b , (b − shekli san) bolsa, onda

f (x) funkciya

x→x0

shegaralanǵan boladı.

3-qásiyet. Eger

lim f (x) = b bolıp, b p bolsa, onda

f (x) p boladı.

x→x0

4-qásiyet. Eger lim f (x) = b1 ,

lim g(x) = b2 bolıp, x X

de f (x) g(x)

x→x0

x→x0

teńsizlik orınlı bolsa, onda b1 b2 , yaǵnıy

lim f (x) lim g(x)

x→x0

x→x0

boladı.

5- qásiyet. Meyli

lim f (x) = b1,

lim g(x) = b2 , (b1, b2 R)

x→x0

x→x0

a)

c R

da lim (c f (x)) = с lim f (x) ;

x→x0

x→x0

b)

lim ( f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x);

x→x0

x→x0

x→x0

v)

lim ( f (x) g(x)) = lim

f (x) lim g(x);

x→x0

x→x0

x→x0

1-mısal. lim

x + x 2

+ x3 + ... + x n − n

limitti esaplań.

x −1

x→1