Matematikaliq analiz oqiw qollanba

boladı. ►

Teorema. (Koshi teoreması). Izbe-izliktiń jıynaqlı bolıwı ushın onıń

uchun

| xn − xm |=| xn − a + a − xm | | xn − a | + | xm − a | kelip shıǵadı. Demek, {xn } fundamental izbe-izlik.

Jetkilikligi. Meyli {xn } fundamental izbe-izlik bolsın:

0, n0 N, n n0 , m n0 : | xn − xm | .

Eger m n0 shártti qanaatlandırıwshı m fikserlengen bolsa, onda

| xn − xm | xm − xn xm +

boladı. Eger m = nk bolsa, onda

| xn − xnk |

boladı. Keyingi eki teńsizliklerden

| xn − a |=| xn − xnk + xnk − a | | xn − xnk | + | xnk − a | 2

kelip shıǵadı. Demek, lim xn = а. ►

n→

40

3-§. FUNKCIYA

3.1. Funkciya túsinigi

Meyli E kópligin F kóplikke sáwlelendiriw f : E →F

berilgen bolıp, E = F , F = R dep belgileymiz. Onda hár bir haqıyqıy x sanǵa bazı bir haqıyqıy sandı sáykes qoyıwshı

qarata Y ge tek bir y san sáykes qoyılǵan bolsa, onda X kóplikte funkciya berilgen (anıqlanǵan) delinedi hám

f : x → y yaǵnıy y = f (x)

kórinisinde belgilenedi. Bunda X - funkciyanıń anıqlanıw oblastı, Y - funkciyanıń mánisler kópligi (oblastı) delinedi. x - ǵárezli ózgeriwshi yamasa funkciyanıń argumenti.

Mısallar. 1. X = (− ,+ ) , Y = (0,+ ) bolıp, f qaǵıyda f : x → y = x2 +1

bolsın. Bul jaǵdayda hár bir x X ge bir x2 +1 Y sáykes qoyılıp, y = x2 +1

funkciyaǵa iye bolamız.

2. Hár bir racional sanǵa 1 di, hár bir irracional sanǵa 0 di sáykes qoyıw nátiyjesinde funkciya payda boladı. Ádette bul Dirixle funkciyası bolıp D(x) kóriniste belgilenedi:

41

hám f (x0 )= y0 kóriniste belgilenedi.

Tegislikte dekart koordinatalar sistemasın alamız. Tegisliktegi ( x, f (x))

noqatlardan ibarat

( x , f (x)) = ( x , f (x)) x X , f (x) Y

kóplik y = f (x) funkciyanıń grafigi delinedi. Máselen,

y = x2 −1 ( x X = − 2, 2 )

funkciyanıń grafigi 1-sızılmada suwretlengen.

1-sızılma.

Funkciya anıqlamasındaǵı f qaǵıyda hár túrli bolıwı múmkin.

a) Kóbinese x hám y ózgeriwshiler arasındaǵı baylanıs formulalar járdeminde belgilenedi. Bul funkciyanıń analitikalıq usılda beriliwshi delinedi.

Máselen,

y = 1 − x2

funkciya analitik usılda berilgen bolıp onın anıqlanıw kópligi

X = x R −1 x 1 = −1,1

boladı.

42

Meyli x hám y ózgeriwshiler arasındaǵı baylanıs tómendegi formulalar járdeminde berilgen bolsın:

1, eger x 0, y = f (x) =

−1, eger x 0.

Bul funkciyanıń anıqlanıw kópligi X = R \ 0 bolıp, mánisleri kópligine iye Y = −1,1 boladı. Ádette bul funkciya y = sign x kórinistegi belgilenedi.

b) Ayırım jaǵdaylarda x X , y Y ózgeriwshiler arasındaǵı baylanıs

tablicalar arqalı bolıwı múmkin. Máselen, kún dawamında hawa temperaturasın

Bul tablica t waqıt penen hawa temperaturası T arasındaǵı baylanıstı ańlatadı, bunda t -argument, T bolsa t nıń funkciyası boladı.

v) x hám y ózgeriwshiler arasındaǵı baylanıs tegislikte bazı bir iymek sızıq arqalı hám ańlatıw múmkin (2-sızılma).

2- sızılma.

Máselen, 2- sızılmada suwretlengen L iymek sızıq berilgen bolsın. segmenttegi hár bir noqatdan ótkizilgen perpendikulyar L sızıqtı tek bir noqatda kesilsin. x a,b noqatdan perpendikulyar shıǵarıp, onıń L sızıq penen kesilisiw noqatın tabamız. Alınǵan x noqatǵa kesilisiw noqatınıń ordinatası y ti sáykes qoyamız. Nátiyjede hár bir x a,b ǵa bir y sáykes qoyılıp, funkciya

43

payda boladı. Bunda x penen y arasındaǵı baylanıstı berilgen L iymek sızıq orınlaydı.

Meyli f1(x) funkciya X1 R kóplikte, f2 (x) funkciya bolsa X 2 R kóplikte anıqlanǵan bolsın.

Eger

1)X1 = X 2

2)x X1 da f1(x)= f2 (x)

bolsa, onda f1(x) hámde f2 (x) funkciyalar óz-ara teń delinedi hám f1(x)= f2 (x) kóriniste belgilenedi.

Funkciyanıń shegaralanǵanlıǵı. f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolsın.

2-anıqlama. Eger sonday turaqlı M sanın tabılsa, x X ushın f (x) M teńsizlik orınlı bolsa, onda f (x) funkciya X kóplikte joqarıdan shegaralanǵan delinedi. Eger sonday turaqlı m sanı tabılsa, x X ushın f (x) m teńsizlik orınlı bolsa, onda f (x) funkciya X kóplikte tómennen shegaralanǵan delinedi.

3-anıqlama. Eger f (x) funkciya X kóplikte hám joqarıdan, hám tómennen shegaralanǵan bolsa, onda f (x) funkciya X kóplikte shegaralanǵan delinedi.

44

shegaralanǵanlıǵın bildiredi. Demek, berilgen funkciya R de shegaralanǵan. ► 4-anıqlama. Eger hár qanday M 0 san alınǵanda hám sonday x0 X

noqatı tabılsa,

f (x0 ) M

teńsizlik orınlı bolsa, onda f (x) funkciya X kóplikte joqarıdan shegaralanbaǵan delinedi.

Periodlı funkciyalar. Jup hám taq funkciyalar. f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolsın.

5-anıqlama. Eger sonday turaqlı T (T 0 ) san bar bolsa, onda x X

ushın

1)x − T X , x + T X

2)f ( x + T )= f (x)

bolsa, onda f (x) periodlı funkciya delinedi, T san bolsa f (x) funkciyanıń periodı delinedi.

Máselen, f (x)= sin x , f (x)= cos x funkciyalar periodlı funkciyalar bolıp, olardıń periodı 2 ga, f (x)= tgx , f (x)= ctgx funkciyalardıń periodı bolsa ǵa

45

funkciyalar hám periodlı funkciyalar bolıp, T san olardıń hám periodı boladı.

funkciya berilgen bolsın.

6-anıqlama. Eger x X ushın f (− x)= f (x) teńlik orınlı bolsa, onda f (x) jup funkciya delinedi. Eger x X ushın f (− x)= − f (x) teńlik orınlı bolsa, onda f (x) taq funkciya delinedi.

Máselen, f (x)= x2 +1 jup funkciya, f (x)= x3 + x bolsa taq funkciya boladı. Bul f (x)= x2 − x funkciya jup ta emes, taq ta emes.

funkciyanıń grafigi koordinatalar basına salıstırǵanda simmetrik jaylasqan boladı. Monoton funkciyalar. Meyli f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolsın.

f (x) funkciya X kóplikte qatań ósiwshi delinedi.

46

8-anıqlama. Eger x1 , x2 X ushın x1 x2 bolǵanda f (x1 ) f (x2 ) teńsizlik orınlı bolsa, onda f (x) funkciya X kóplikte kemeyiwshi delinedi. Eger

Meyli f (x) hám g(x) funkciyalar X R kóplikte ósiwshi (kemeyiwshi)

bolıp, C = const bolsın. Bul jaǵdayda

a)f (x)+ C funkciya ósiwshi (kemeyiwshi)boladı.

b)C 0 bolǵanda C f (x) ósiwshi, C 0 bolǵanda C f (x) kemeyiwshi

boladı.

v) f (x)+ g(x) funkciya ósiwshi (kemeyiwshi) boladı.

Keri funkciya. Quramalı funkciyalar. y = f (x) funkciya X R kóplikte berilgen bolıp, bul funkciyanıń mánislerinen ibarat kóplik

Y f ={ f (x) | x X }

bolsın.

47

Meyli bazı bir qaǵıydasına karap Y f , kóplikten alınǵan hár bir y ke X kópliktegi bir x sáykes qoyılǵan bolsın. Bunday sáykeslik nátiyjesinde funkciya payda boladı. Ádette, bul funkciya y = f (x) ge salıstırǵanda keri funkciya delinedi

hám III sherekler bissektrisası átirapında 1800 ǵa aylandırıw nátiyjesinde p ayda boladı.

Meyli Y f kóplikte u = F(y) funkciya berilgen bolsın. Nátiyjede X kóplikten alınǵan hár bir x ge Y f kóplikte bir y :

f : x → y ( y = f (x)), hám Y f kópliktegi bunday y sanǵa bir u :

F : y → u (u = F ( y))

san sáykes qoyıladı. Demek, X kóplikten alınǵan hár bir x sanǵa bir u san sáykes qoyılıp, jańa funkciya payda boladı: u = F( f (x)). Ádette bunday funkciyalar quramalı funkciya delinedi.

3.2. Elementar funkciyalar hám onıń qásiyetleri

Bul paragrafta elementar funkciyalar haqqında tiykarǵı maǵlıwmatlardı keltiremiz.

48

1. Pútin racional funkciyalar.

Bul

y = a0 + a1x + a2 x2 + ... + an−1xn−1 + an xn

kórinistegi funkciya pútin racional funkciya delinedi. Bunda a0 , a1,..., an – turaqlı sanlar, n N . Bul funkciya R = (−, + ) de anıqlanǵan.

Pútin racional funkciyanıń bazı dara jaǵdayları: a) Sızıqlı funkciya. Bul funkciya

3-sızılma.

49