Matematikaliq analiz oqiw qollanba

0 berilgen hám

ǵa kóre sonday n'

N

tabıladı, n n'

ushın

2М

0

0

xn

− a

2М

boladı. Sonday-aq,

ǵa kóre sonday n0' ' N

tabılıp, n n0' ' ushın

)

2(1

+

a

yn − b

2(1 +

a

)

boladı. Eger n

0

= max{n' , n '' } bolsa, onda n n

ushın bir waqıtta

0

0

0

xn − a

,

yn − b

(4)

boladı. (3) hám (4) qatnaslardan

2М

2(1

+

a

)

xn yn

− ab

M

+

a

2М

2(1

+

a

)

n =

1

ва n = qn , (

q

1)

n

izbe-izlikler sheksiz kishi shamalar boladı.

Meyli xn izbe-izlik jıynaqlı bolıp, onıń limiti a ǵa teń bolsın,

lim xn = а.

n→

xn = a + n . Bunnan tómendegi nátiyje kelip shıǵadı:

xn izbe-izliktiń a (a R) limitke iye bolıwı ushın n = xn − a

sheksiz

kishi shama bolıwı zárúrli hám jetkilikli.

Izbe-izliktiń limitiniń anıqlamasınan paydalanıp tómendegi eki

lemmanı

dálillew qıyın emes.

xn

M

teńsizlik orınlı bolsa, onda xn izbe-izliktiń limiti sheksizlik delinedi hám

lim xn =

n→

arqalı belgilenedi.

Eger xn izbe-izliktiń limiti sheksizlik bolsa, onda xn sheksiz úlken

shama delinedi.

Máselen xn

= (−1)n n izbe-izlik sheksiz úlken shama boladı.

Endi sheksiz kishi hám sheksiz úlken shamalar arasındaǵı baylanıslardı

keltiremiz:

1) Eger xn sheksiz kishi shama

( xn 0 ) bolsa, onda

1

sheksiz

xn

úlken shama boladı.

2) Eger xn

sheksiz úlken shama bolsa, onda

1

sheksiz kishi shama

xn

x1 , x2 ,..., xn , ...

(1)

izbe-izlikler berilgen bolsın.

1-anıqlama. Eger (1) izbe-izlikte n N ushın

xn xn+1 teńsizlik orınlı

xn =

n +1

:

2

,

3

,

4

, ...

1

2

3

n

izbe-izlikler qatań kemeyiwshi izbe-izlikler boladı.

◄Haqıyqatında da, berilgen izbe-izlikler ushın

xn =

n +1

, xn+1

=

n + 2

n

n +1

bolıp, n N ushın

xn+1

− xn =

n + 2

−

n +1

=

−1

0

n +1

n(n +

1)

n

boladı.

2) Eger {xn } izbe-izlikler kemeyiwshi bolsa,

onda ol joqarıdan

shegaralanǵan boladı.

delinedi.

2-mısal. x

=

n2

,

(n = 1, 2, 3,...)

izbe-izliktiń qatań ósiwshi ekenligin dálilleń.

n

n2 +1

◄ Bul izbe-izliktiń n −hám (n +1) −aǵzaları ushın

n2

1

x

=

=1 −

,

n

n2

+1

n2 +1

x

=

(n +1)2

=1−

1

n+1

(n +1)2 +1

(n +1)2 +1

boladı. Bunnan

1

1

.

(n +1)2

n2

teńsizlikti esapqa alıp,

x

=1−

1

1−

1

= x .

n+1

(n +1)2 +

1

n2 +1

n

Demek, n N

ushın

xn xn+1 . Bul bolsa qaralıp

atırǵan izbe-izliktiń qatań

ósiwshi bolıwın bildiredi. ►

2) хn

Е,

xn a −

0

0

boladı. Bunda

n n0

ushın

xn xn

tensizlik orınlanıp, xn a − boladı.

0

Nátijede n n0

ushın a − xn а +

yaǵnıy

a − xn

bolıwın tabamız.

3-mısal. xn

=

n!

izbe-izliktiń limitin tabıń.

nn

qatnas orınlı boladı. Demek, berilgen

izbe-izlikler shegaralanǵan.

1-

teoremadan {xn } izbe-izlikler shekli limitke iye. Onı

a menen belgileymiz:

lim

n!

= a .

(a 0)

n→ nn

Endi xn − xn+1 ayırmanı qaraymız. Bul ayırma ushın

nn

(n +1)n − nn

xn − xn+1 = xn − xn

= xn

(n +1)n

(n +1)n

2 nn − nn

nn

xn

= xn

= xn+1

(n +1)n

(n +1)n

kelip shıǵadı. Keyingi qatnaslardan

lim xn 2 lim xn+1 ,

a 2a. Bul jaǵdayda a = 0 boladı.

n→

n→

Demek,

lim

n!

= 0. ►

n→ nn

e sanı. Bul

1 n

(1)

xn = 1 +

,

(n =1, 2, 3,...)

n

izbe-izlikti qaraymız.

Tastıyıqlaw. (1) izbe-izlikler ósiwshi hám shegaralanǵan boladı.

3-anıqlama. (1) izbe-izliktiń limiti e sanı delinedi

1 n

lim 1 +

= e .

n→

n

Bul e sanı irracional san bolıp,

e = 2,7182818284 59045

boladı.

2.4. Ishpe-ish jaylasqan segmentler principi

Meyli [a1, b1 ] va [a2 , b2 ] segmentler berilgen bolsın . Eger

[a1, b1 ] [a2 , b2 ]

bolsa, onda [a1, b1 ] segment [a2 , b2 ]

segmenttiń ishine jaylasqan delinedi. Bul

jaǵdayda a1 a2 b2

b1 boladı.

Anıqlama. Eger

[a1, b1 ], [a2 , b2 ],...., [an , bn ],...

(1)

cegmentler izbe-izligi ushın tómendegi

1) n N :

[an , bn ] [an+1 , bn+1 ],

2) 0,

n0 N , n n0 :

bn − an bolsın, onda sonday

с R

bar bolsa, onda с [an , bn ], (n =1, 2,3,...)

bolıp hám bunday can jalǵız boladı.

◄ Teoremada qaralıp atırǵan segmentler izbe-izligi ishpe-ish jaylasqan

segmentler izbe-izligi boladı hám bunnan

a1 a2 a3

... an

bn

bn−1

... b2 b1

qatnas orınlanadı. Endi a1, a2 ,..., an sanlarınan payda bolǵan

E = {a1 , a2 , ..., an }

kóplikti qaraymız. Bul kópliktiń joqarıdan shegaralanǵanlıǵın kórsetemiz.

Qálegen natural m sanın alamız hám onı turaqlı dep uyǵaramız

Eger

n m bolsa, onda

[am , bm ] [an , bn ]

bolıp, an am bm bn ,

yamasa an bm boladı.

Eger

n m bolsa, [an , bn ] [am , bm ] bolıp, am an bn bm , yamasa

an bm boladı.

Anıq joqarı shegara haqqındaǵı teoremaǵa muwapıq

sup E = c

(c R)

bar boladı. Kópliktiń anıq joqarı shegarası anıqlamasına tiykarlanıp

n N de an c hám m N de c bm boladı.

Demek,

n N da c [an , bn ].

Eger

usı

tochkadan

basqa

hám

barlıq segmentlerge

tiyisli

c ' (c ' [an , bn ], n N) bar dep uyǵarsaq bolsa, onda onda

{xn }: x1, x2 , x3 , ..., xn ,...

(1)

izbe-izlik berilgen bolsın. Bul (1) izbe-izliktiń bazı n1

nomerli xn 1

aǵzasın alamız.

Sońınan nomeri n1 den úlken bolǵan n2

nomerli xn2

aǵzasın alamız. Usınday usıl

menen xn ,

xn hám t.b. aǵzaların tańlap alamız. Nátiyjede nomerleri

3

4

n1 n2

n3 .. nk

...

tensizliklerdi qanaatlandırıwshı (1) izbe-izliktiń aǵzaları

xn ,

xn

, ... ,

xn

, ...

(2)

1

2

k

izbe-izlikti payda etedi.

(2) izbe-izlik (1) izbe-izliktiń úles izbe-izligi delinedi hám

{xn } kórniste

izliktiń barlıq aǵzaları a,b

da

jaylasqan

dep qaraw múmkin:

xn [a, b], n =1, 2, 3,... [a, b] segmentin

a + b

a + b

a,

,

,

b

2

2

deymiz. Meyli [a , b ] uzınlıǵı

b − a

ge teń boladı. Joqarıdaǵıǵa uqsas[a , b ]

1

1

2

1

1

segmentin

a ,

a1 + b1

,

a1 + b1

,

b

1

2

1

2

bolǵanın [a

, b ] dep belgileymiz. Bunda

[a

, b ] nıń uzınlıǵı

b − a

ge teń

2

2

2

2

22

boladı. Bul process dawam ettiriw nátiyjesinde bul

[a1 , b1 ], [a2 , b2 ],

... ,

[ak , bk ], ...

segmentler izbe-izligi payda boladı. Bul segmentler izbe-izligi ushın

[a1 , b1 ] [a2 , b2 ] ... [ak , bk ] ... bolıp,

k → de

b − a

=

b − a

→ 0

k

k

2k

lim ak = lim bk

= C

(C R)

k →

k →

boladı. Endi {xn } izbe-izliktiń

[a1 , b1 ] degi bazı bir xn 1 aǵzasın, [a2 , b2 ] degi

bazı bir xn2 aǵzasın h.t.b. [ak , bk ] degi bazı bir xnk

aǵzasın h.t.b. aǵzaların alamız.

Nátijede {xn } izbe-izliktiń aǵzalarınan tabılǵan bul

xn ,

xn

, ...,

xn

, ...

(n1 n2 ... nk ...)

1

2

k

úles izbe-izlik payda boladı. Bul izbe-izlik ushın

ak

xn

bk

(k =1, 2, ...)

k

bolıp, onnan k → de

xn

→ C

yaǵnıy

lim xn

= C kelip shıǵadı. ►

k

k →

k

xn =

n

(n =1,2,...)

n +1

fundamental izbe-izlik boladı.

◄Haqıyqatında, berilgen izbe-izlik ushın

| xn − xm |=

n

−

m

n + m

=

1

+

1

n +1

m +1

n

m

nm

bolıp,

0 sanı ushın

n

=

2

+1

dep belgilesek,

n n ,

m m

0

0

0