Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5174 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Каракалпакский государственный университет им. Бердаха
Предмет:
Дискретная математика
Файл:

Matematikaliq analiz oqiw qollanba

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
10.08.2024
Размер:
7.89 Mб
Скачать
☆

S

kontur S betlikke

tiyisli eken,

onda S

nıń noqatları

z = z(x, y)

teńlemeni

qanaatlandıradı.

Demek,

S da

P = P(x, y, z)

funkciya

P = P(x, y, z(x, y)) bolıp, ol D da berilgen eki ózgeriwshili funkciya ǵa aylanadı.

Sonıń ushın

 

 

 

 

P(x, y, z)dx = P(x, y, z(x, y))dx

(2)

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı. Grin formulasın paydalanıp

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y, z)dx = −

 

(P(x, y, z(x, y))dxdy .

 

 

y

 

 

S

 

 

 

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bul teńliktıń oń tárepindegi integral astındaǵı dara tuwındı

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y, z(x, y)) + P(x, y, z(x, y))

z'y (x, y)

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

bolıp,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y, z(x, y))dx = − ( P(x, y, z(x, y)) +

P(x, y, z(x, y))

z'y (x, y))dxdy

 

S

 

D

y

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→

 

 

 

 

 

 

boladı. S

betliktıń ústki tárepi

qaralǵanda

onıń n normalınıń baǵıtlawshı

kosinusları

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos = −

 

zx' (x, y)

 

 

 

 

 

cos = −

 

 

z'y (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + z' 2

+ z

' 2 ,

1 + z' 2

+ z' 2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

cos =

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + z' 2 + z' 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı. Bul qatnaslardan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

= −z'y (x, y)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

kelip shıǵadı. Nátiyjede

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y, z(x, y))dx = − ( P(x, y, z(x, y)) −

P(x, y, z(x, y))

 

cos

)dxdy

(3)

 

 

z

 

S

 

D

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı. Endi keyingi teńliktegi eki eseli integral keltirilgen

350

 

f (x, y, z)dxdy = f (x, y, z(x, y))dxdy

S

D

formuladan paydalanıp ekinshi túr betlik integralı arqalı

( P(x, y, z(x, y))

−

P(x, y, z(x, y))

 

cos

)dxdy =

z

 

D

y

 

 

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

P(x, y, z)

 

P(x, y, z)

 

cos

 

= (

−

 

)dxdy

y

 

 

S

 

 

 

z

 

cos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jazıp alamız. Soń bul ekinshi túr betlik integralı ushın, birinshi hám ekinshi túr betlik integrallardı óz-ara baylanısı

f (x, y, z)dydz = f (x, y, z) cos dS

S S

f (x, y, z)dzdx = f (x, y, z) cos dS

S S

f (x, y, z)dxdy = f (x, y, z) cos dS

S S

Formulalarǵa kóre

( P(x, y, z)

−

P(x, y,

S

y

 

 

z

 

 

 

 

= (

P(x, y, z)

cos ds

y

 

 

S

 

 

 

 

 

 

 

z) coscos )cos dxdy =

−

P(x, y, z)

cos )dS

z

S

 

 

 

bolıp, bul teńliktegi birinshi túr betlik integralları jáne (5) formulalarǵa

 

P(x, y, z) cos dS

S

y

 

P(x, y, z) cos dS

S

z

=

( P(x, y, z) dxdy,

S

 

y

= (

P(x, y, z) dzdx

S

 

z

boladı. Joqarıdaǵı (2), (3), (4), (6) hám (7) qatnaslardan

(5)

(6)

(7)

P(x, y, z)dx =

P(x, y, z) dzdx −

P(x, y, z)

S

S

z

y

 

 

kelip shıǵadı. Usıǵan uqsas S betlik hám onda anıqlanǵan Q( funkciyalar ushın tiyisli shártlerde

dxdy

(8)

x, y, z) , R(x, y, z)

 

351

shegarası S

Q(x, y, z)dy =

Q(x, y, z) dxdy −

Q(x, y, z) dydz,

 

S

S

x

z

(9)

 

 

 

 

R(x, y, z) dydz − R(x, y, z) dzdx

R(x, y, z)dz =

 

S

S

y

x

 

 

 

 

kórsetiledi. (8) hám (9) teńlikler aǵzalap

S

P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz

 

 

Q(x, y, z)

 

P(x, y, z)

=

x

 

−

y

dxdy

S

 

 

 

 

R(x, y, z)

−

Q(x, y, z)

+

 

y

 

z

dydz +

 

 

 

 

 

=

+

(10)

 

P(x, y, z)

−

R(x, y, z)

+

z

x

dzdx .

 

 

 

(10) formula Stoks formulası delinedi.

Stoks formulası S betlik boyınsha alınǵan betlik integralınıń usı betliktıń tuyıq iymek sızıq boyınsha alınǵan iymek sızıqlı integral arasındaǵı

baylanısların ańlatadı.

18.7. Ostrogradskiy formulası

Meyli V kóplik z = z1(x, y) , z = z2 (x, y) betlikler hám jasawshıları OZ kósherine parallel bolǵan cilindrlik betlik menen shegaralanǵan kóplik bolıp,

cilindrlik betliktıń

XOY tegislikten ajratǵan bólegi D kóplikti ańlatsın. Bunda

(x, y) D ushın

z1 (x, y) z2 (x, y) deymiz. Onda V deneni orap túrǵan S

betlik z = z1 (x, y) - teńleme menen anıqlanǵan S1 betlik, z = z2 (x, y)

teńleme menen anıqlanǵan S2 betlik hám jasawshıları OZ kósherine parallel, baǵıtlawshıları D bolǵan cilindrlik betlik S3 den ibarat boladı. (63-sızılma)

352

z

 

S2

 

S3

 

V

 

S1

D

y

0

 

 

D

D

 

x

 

63-sızılma

Meyli V da R(x, y, z) funkciya anıqlanǵan bolıp, ol V da úzliksiz hám úzliksiz

R(x, y, z)

dara tuwındıǵa iye bolsın. Bunda

R(x, y, z)

funkciyanıń V

kóplik

z

 

z

 

 

boyınsha úsh eseli integralı bar bolıp bolıp,

R(x, y,

z

V

z)

 

z2

( x, y)

 

 

 

 

 

dxdydz =

 

 

D z1

( x, y)

R(x, y, z) dz dxdy

z

boladı. Bunnan

 

z ( x, y)

R(x, y, z) dz = R(x, y, z2 (x, y)) − R(x, y, z1(x, y)).

 

2

 

z1( x, y)

z

 

 

 

 

Demek,

 

 

 

R(x, y, z) dxdydz = R(x, y, z2 (x, y))dxdy − R(x, y, z1 (x, y))dxdy. (11)

V

z

D

D

 

Bul teńliknıń oń tárepindegi eki eseli integrallardı betlik integralları arqalı jazamız

353

 

R(x, y, z2 (x, y))dxdy = R(x, y, z)dxdy ,

(12)

 

D

S2

 

 

 

 

R(x, y, z1 (x, y))dxdy = R(x, y, z)dxdy .

(13)

 

D

S1

 

 

 

(12) integral S2

betliktıń ústki tárepi boyınsha, (13) bolsa integral S1

betliktıń astınǵı tárepi boyınsha alınǵan. Meyli

 

 

 

 

 

R(x, y, z)dxdy = 0

 

 

(14)

 

 

S3

 

 

 

Joqarıdaǵı (11), (12), (13) hám (14) qatnaslardan

 

 

 

R(x, y, z) dxdydz = R(x, y, z)dxdy + R(x, y, z)dxdy +

V

z

S1

S2

 

(15)

 

 

 

 

 

 

 

+ R(x, y, z)dxdy = R(x, y, z)dxdy

 

 

 

S3

S

 

 

 

kelip shıǵadı. Bul teńliktegi tuyıq betlik boyınsha integral

S

nıń sırtqı tárepi

boyınsha alınǵan. Usıǵan uqsas keńislikte V kóplik, onı orap

turıwshı S betlik

hám V berilgen P(x, y, z), Q(x, y, z) funkciyalar ushın tiyisli shártlerde

 

P(x, y, z) dxdydz = P(x, y, z)dydz,

V

x

S

 

 

Q(x, y, z) dxdydz = Q(x, y, z)dxdz

V

y

S

 

boladı. (15) hám (16) teńliklerdi aǵzama-aǵza

 

P(x, y, z)

+

Q(x, y, z)

+

R(x, y, z)

 

 

 

 

 

 

x

y

z

dxdydz =

V

 

 

 

= P(x, y, z)dydz + Q(x, y, z)dzdx + R(x, y, z)dxdy.

S

(16)

(17)

(17) formula Ostrogradskiy formulası delinedi.

Eskertiw. Biz joqarıda Ostrogradskiy formulasın ayrıqsha kóplik V ushın keltirip shıǵardıq. Eger qaralatuǵın kóplik ulıwmalıraq bolıp, onı shekli sandaǵı joqarıdaǵı V arqalı kópliklerge ajratıw múmkin bolsa, bunday kóplik ushın

Ostrogradskiy formulası orınlı boladı.

2-mısal. Ostrogradskiy formulasınan paydalanıp

354

x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy

S

betlik integralı esaplań bunda S betlik

V = {( x, y, z) R3 : 0 x a,0 y a,0 z a}

kubtıń sırtqı tárepi.

◄Ostrogradskiy formulasına kóre

x2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy = (2x + 2 y + 2z)dxdydz

S V

boladı. Úsh eseli integraldı esaplap

a a a

(2x + 2 y + 2z)dxdydz = 2 (x + y + z)dxdydz =

V

0 0 0

a a

a

2

 

 

a

2

 

3

 

4

 

 

 

 

 

 

x + a

)dx = 3a

.

 

 

 

 

 

 

 

= 2 a(x + y) +

2

dy dx = 2 (a

 

 

 

0 0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

Demek,

x 2 dydz + y 2 dzdx + z 2 dxdy = 3a 4 . ►

S

355

ÁDEBIYATLAR

1.Азларов Т., Мансуров Ҳ. Математик анализ, 1 ва 2 томлар , Тошкент, «Ўзбекистон», 1994,1995.

2.Alimov SH., Ashurov R., Matematik analiz, 1,2 va 3 qismlari, Toshkent

«Mumtoz sóz», 2018.

3.Худойберганов Г., Варисов А., Мансуров Ҳ., Шоимкулов Б.А. Математик анализдан марузалар , 1 ва 2 қисмлар, Тошкент , «Vorisnashriyot», 2010.

4.Архипов Г., Садовничий В., Чубариков В. Лекции по математическому анализу, Москва, «Высшая школа», 1999.

5.Дороговцев А. Математический анализ, Киев, «Высшая школа», 1985.

6.Фихтенгольц Г. Курс дифференциального и интегрального исчисления, ТТ, I, II, Москва “физмат-лит”, 2001.

7.Саъдуллаев А., Мансуров Ҳ., Худойберганов Г., Варисов А., Ғуломов Р. Математик анализ курсидан мисол ва масалалар тўплами, 1 ва 2- томлар, Тошкент, «Ўзбекистон», 1993, 1996.

8.Демидович Б. Сборник задач и упражнений по математическому анализу, Москва, «Наука», 1990.

178

Соседние файлы в предмете Дискретная математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности