Matematikaliq analiz oqiw qollanba

f (x, y, z)dxdxydz = V ( (x, y, z) V : m f (x, y, z) M )

V

boladı.

Úsh eseli integrallardı esaplaw. Úsh eseli integrallardı esaplaw formulaları

integrallaw kópliktiń kórinisine qarap túrlishe boladı.

а) Meyli f (x, y, z) funkciya R3

keńisliktegi

V = {( x, y, z) R3 : a x b, c y d , p z q}

kóplikte úzliksiz bolsın. Onda

b

d

q

f (x, y, z)dxdydz = [ ( f (x, y, z) dz)dy]dx

(2)

V

a

c

p

boladı.

б)

Meyli R3

keńisliktegi V

kóplik

–

pásten

z =

1

(x, y) ,

joqarıdan

z =

2

(x, y)

betlik,

(bunda D R2 kóplik

V denenıń

X 0Y

tegisliktegi

proekciyası) penen shegaralanǵan kóplik bolsın. Eger

V da

f (x, y, z) úzliksiz,

1 (x, y)

2 ( x, y )

f (x, y, z)dz

(3)

f (x, y, z)dxdydz =

dxdy

V

D

1 ( x, y )

1

3 2

1

3

z

2

z=2

1 3

[ ( (x + y + z)dz)dy]dx = [ (xz + yz +

) dy]dx = [ 2(x + y +1)dy]dx =

2

0 0 0

0 0

z=0

0 0

1

y

2

1

= 2(xy +

+ y) yy==30 dx = (6x +15)dx =18 . ►

0

2

0

2-mısal. z 2 dxdydz

integraldı

esaplań,

bunda V – tómendegi

(V )

z =

x2 + y2 konus hám z = h tegislikler menen shegaralanǵan kóplik.

◄ V nıń XOY tegisliktegi proekciyası

D ={( x, y) R2 : x2 + y 2 h2 }

boladı. (3) formuladan paydalansaq

h

h

3

1

3

J =

z 2 dz dxdy =

−

(x2 + y

2 )2 dxdy .

D

3

3

2

+ y

2

D

x

D

D = (x, y) R2

.

bolıp,

bunda

: 0 x 2a, 2ax − x2

Integraldı

y

2ax

esaplap

2a

2ax

2a

8

16 − 3

2

2

2

2

D = (

dy)dx = ( 2ax −

2ax − x

)dx =

a

−

a

=

a

. ►

0

0

3

2

6

2ax−x

2

Denenıń kólemi. R3

keńislikte Dekart koordinatalar sistemasında jaylasqan

V deneni qaraymız. Bul

dene

joqarıdan

z = f (x, y)

betlik, qaptal tárepten

tómennen X 0Y

tegisliginde shegaralanǵan tuyıq

D kóplik penen shegaralanǵan dene bolsın.

Bunda

f (x, y) funkciyanı D da úzliksiz dep qaraymız.

D kópliktıń P = D1, D2 ,..Dn bólekleniwin alayıq. Onda

mk

= inf f (x, y) : (x, y) Dk , M k

= sup f (x, y) : (x, y) Dk

bar boladı boladı. Bunda

n

n

A = mk Dk , B = M k Dk

k =1

k =1

qosındılar sáykes túrde V deneniń ishine jaylasqan

A kópjaqlınıń kólemi, V

deneni óz ishine alǵan B kópjaqlınıń kólemi bolıp,

A B

n

n

inf B −Sup A B − A = M k Dk

− mk Dk =

= (M k − mk ) Dk

k =1

k =1

Dk = D = .

n

k =1

D

D

Demek,

0 inf B −sup A .

Keyingi qatnastan

inf B = sup A

V = inf B = sup A

(2)

−

D

D

hám (2) teńlikke kóre

−

(3)

−

D

D

D

boladı. (2) hám (3) den

V = f (x, y)dxdy

(4)

D

kelip shıǵadı.

2-mısal. Keńislikte

x 2 + y 2 + z − 4 = 0

betlik

hám z = 0 tegislik penen

shegaralanǵan denenıń kólemin tabıń.

4

dóńgelekten ibarat.

betin tabıń.

h

◄ Konus betlik

z =

x2 + y 2

teńleme menen ańlatıladı. (6) formulaǵa

r

kóre konustıń qaptal beti

S =

1 + (zx

2 (x, y))2

+ (zy

2 (x, y))2 dxdy

D

boladı, bunda

D = {( x, y) R 2 : x2 + y 2 r 2 } .

Eger

z =

h

x

, z

=

h

y

,

x

r

x2 + y 2

y

r

x2 + y 2