Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Matematikaliq analiz oqiw qollanba

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

16-§. PARAMETRGE BAYLANÍSLÍ INTEGRALLAR

16.1. Gamma hám beta funkciyalar hám olardıń qáseytleri, olar arasındaǵı baylanıs

Beta funkciya. Meyli

xa−1 (1− x)b−1 dx

parametrge baylanıslı menshiksiz integral beta funkciya delinedi hám B(a, b) arqalı belgilenedi

B(a,b) = xa−1 (1− x)b−1 dx (a 0,b 0) .

				0
		Demek, beta funkciya {(a, b) R 2			: a (0,+ ), b (0,+ )}
kóplikte anıqlanǵan funkciya.
				1
		1-teorema. B(a,b) = xa−1 (1− x)b−1 dx integralı
				0
M	0	= {(a,b) R 2 : a [a	0	,+ ), b [b ,+ ), a		0	0, b 0}	kóplikte teń ólshewli
	0		0	0		0	0

jiynaqlı boladı.

Saldar. B(a, b) funkciya M ={(a, b) R 2 : a (0,+ ), b (0,+ )}

kóplikte úzliksiz boladı.

B(a, b) funkciyanıń qaseytleri.

1)	B(a, b) funkciya a hám b argumentlerge qarata simmetriyalı funkciya,
yaǵniy,
		B(a, b) = B(b, a) (a 0,b 0)
boladı.
◄ B(a, b) ańlatıwshı integralda x =1− t			ózgeriwshisin almastırsaq,
	1	0	1
B(a,b) = xa−1 (1− x)b−1 dx = − (1− t)a−1 t b−1dt = t b−1 (1− t)a−1 dt = B(b, a) . ►
	0	1	0
2)	B(a, b) funkciya

290

		+		t	a−1
	B(a, b) =			t			dt .	(1)
	B(a, b) =		(1	+ t)		a+b	dt .	(1)
		0	(1	+ t)
		0
orınlı boladı.
◄ B(a, b) integralda x =	t	ózgeriwshisin almastırsaq
◄ B(a, b) integralda x =	+ t	ózgeriwshisin almastırsaq
1	+ t

B(a,b) = xa−1 (1 −

x)b−1 dx =

t a−1

t b−1

+ t a−1

dt. ►

−

(1 + t)2

0 (1 + t)a+b

+ t

1 + t

Eger (1) da b =1− a (0 a 1) bolsa, onda

				+ t a−1
	B(a,1 − a) =				dt =
	B(a,1 − a) =				dt =
				0 1 + t		sin a
	1		1
boladı. Dara jaǵdayda B		,		= boladı.
boladı. Dara jaǵdayda B	2	,	2	= boladı.
	2		2

3) B(a, b) funkciya ushın

B(a +1,b) = a +a b B(a,b) (a 0,b 0)

formula orınlı boladı.

◄ Bóleklep integrallaymız:

B(a

= ba

		1
+1,b) = xa (1− x)b−1 dx = −
		0
1	a−1	(1− x)	b	=	a 1		a−1		−
x						x		(1
x						x		(1
0					b 0

Saldarda

1 1 xa d ((1− b 0

x)b−1 dx − x

x)b ) =−

xa (1− x)b

− x)

b−1

B(a,b)

B(a +1,b) = ba B(a,b) − ba B(a +1,b)

xa (1− x)b dx =

− ba B(a +1,b).

(2)

bolıp, onnan

B(a +1,b) = a +a b B(a,b)

kelip shıǵadı. ►

B(a, b) funkciya simmetriyalı bolǵanlıqtan

B(a,b +1) =	b	B(a,b)	(3)
	a + b

291

boladı.

Saldar. B(m, n) funkciyaǵa (m N , n N ) (2) hám (3) formulalardı tákrar qollansaq

B(m, n) = (m −1)!(n −1)! (m + n −1)!

kelip shıǵadı.

Gamma funkciya. Meyli

xa−1e−x dx

parametrge baylanıslı menshiksiz integral Gamma funkciya delinedi hám (a) arqalı belgilenedi,

(a) = xa−1e−x dx .

Demek, Gamma funkciya (0,+ ) да anıqlanǵan funkciya.

+
2-teorema. (a) = xa−1e−x dx integralı [a0 ,b0 ] da (0 a0	b0	+ ) teń
0
ólshewli jiynaqlı boladı.
Saldar. (a) funkciya (0,+ ) úzliksiz boladı.
(a) funkciyanıń qaseytleri.

1) Gamma funkciya (0,+ ) да barlıq tártiptegi úzliksiz tuwındılarǵa iye

hám

(n) (a) = xa−1e−x (ln x)n dx (n = 1,2,3....)

boladı.

2) (a) funkciya ushın

(a +1) = a (a)

(4)

formula orınlı boladı.

◄ (a) = xa−1e−x dx integraldı bóleklep integrallaymız. Sonда

292

−x

a−1 −x

(a +1) = x

dx = − x

d (e

) =− x

+ a x

dx = a (a)

boladı. ►

Saldar. (n) funkciyaǵa (n N )

(4) formulanı tákrar qollasaq ( (1) =1)

(n) = (n −1)!

kelip shıǵadı.

Beta hám Gamma funkciyalar arasındaǵı baylanıs. Beta hám Gamma funkciyalar arasındaǵı baylanıstı kelesi teoremada keltirilgen.

3-teorema. (a,b) {(a,b) R2	: a (0,+ ), b (0,+ )} ushın
B(a,b) =	(a) (b)	(5)
	(a + b)

formula orınlı boladı.

◄ (s) = xs−1e−x dx integralda x = (1+ u)t , (t 0) ózgeriwshisin

almastırırp, s ti a + b ǵa almastıramız. Saldarda

(a + b) = (1+ u)a+b−1 t a+b−1e−(1+u)t (1+ u)dt

bolıp,

	+
(a +ab+)b = t a+b−1e−(1+u )t dt
(1 + u)	0

boladı. Endi bul teńliktiń hár eki tárepin u a−1 ǵa kóbeytip, soń (0,+ ) aralıq boyınsha integrallap

ua−1

+ a+b−1 −(1+u)t

a−1

(a + b)

du =

dt u

(1+ u)

a+b

yaǵniy,

+ +

a+b−1

−(1+u)t

a−1

du .

(a + b) B(a,b) = t

dt u

Bunnan

+ +

a−1 −(1+u)t

a+b−1

(a + b) B(a,b) = u

du t

293

boladı. Integralda ut = y

ózgeriwshisin almastırıp

+ +

a−1 b−1 −t

−y

b−1 −t

a−1 −y

dy = (b) (a).

(a + b) B(a,b) = y

dy dt =

Demek,

B(a, b) =

(a) (b) . ►

(a + b)

Saldar. a (0,1)

ushın

(a) (1− a) =

(6)

sin a

boladı.

◄ (5) teńlikte b =1 − a (0 a 1) dep alınsa, onda

B(a,1− a) = (a) (1− a)

(1)

boladı. Bizge belgili

B(a,1− a) =

, (1) = 1.

sin a

Demek,

(a) (1− a) =

, (0 a 1) . ►

sin a

Eger (6) formulada a =

bolsa, onda

kelip shıǵadı.

1-mısal. e−x2 dx integralın esaplań.

−

◄Integralda x2 = t

ózgeriwshisin almastırsaq, onda dx =

dt =

2 dt

bolıp,

−x2

−

−1

2 e

−t

dx =

dt =

boladı. ►

294

	+			dx							integraldı esaplań.
2-mısal.
2-mısal.			1+ x						3
	0		1+ x
◄Integralda 1 + x3 =														1	ózgeriwshisin almastırsaq, onda
◄Integralda 1 + x3 =														y	ózgeriwshisin almastırsaq, onda
														y
																	1											−	2
																																	dy
													1 − y 3								1		1 − y						3				dy
							x =											, dx =														−				,
							x =											, dx =														−		2		,
														y							3			y									y	2
														y							3			y									y
																			2
+			dx									1 0			1		1 − y		−				dy 1					1		−	1					−	2
					3															3											1						2
																				3
																								2						3 (1			− y) 3 dy =
0 1 + x								= −				3 1		y	3			y					y		=		3		y	3 (1			− y) 3 dy =
0 1 + x												3 1			3			y					y				3	0
																1			2
	1			2				1					1											1															2

=		B(				,				) =						3			3			=										=						=
																													1

	3			3 3									3					(1)						3		sin							3			3			3 3
																													3
																													3						2

boladı. ►

295

17-§. ESELI INTEGRALLAR

17.1. Eki eseli integral. Eseli integrallardı esaplaw

Funkciyanıń integral hám Darbu qosındıları. Meyli tekislikte maydanǵa iye bolǵan D figura (kóplik) berilgen bolsın. Bul kóplikte f (x, y) funkciya anıqlanǵan hám shegaralanǵan. D nıń bazı bir

P = D1, D2 ...Dn

бœлакланиши hám hár bir Dk da qálegen ( k , k ) Dk noqatın (k = 1,2,....n) alıp tómendegi

n f ( k , k ) Dk k =1

qosındını dúzemiz.

1-anıqlama. = n f ( k , k ) Dk qosındı f (x, y) funkciyanıń integral

k =1

qosındısı (Riman qosındısı) delinedi.

Keltirilgen anıqlamadan integral qosındı f (x, y) funkciyaǵa, D kóplik hám onı bólekleniwge usılına hám hár bir ( k , k ) Dk noqatlarǵa baylanıslı boladı:

= p ( f , k k ).

Meyli	f (x, y)	funkciya D	da	shegaralanǵan ekan, ol hár bir	Dk da
Meyli		funkciya D	da	shegaralanǵan ekan, ol hár bir	Dk da
(k = 1,2,..., n)	shegaralanǵan boladı. Demek,
mk	= inf f (x, y) : (x, y) Dk ,			M k = sup f (x, y) : (x, y) Dk
bar boladı. (x, y) Dk ushın
			mk f (x, y) M k		(1)
teńsizlikler orınlı boladı.
2-anıqlama. Qosındılar
		n		n
		s = mk Dk , S = M k Dk
		k =1		k =1

sáykes túrde Darbunıń tómengi hám joqarı qosındıları delinedi.

296

Funkciyanıń Darbu qosındıları					f (x, y)		funkciyaǵa, D kóplik hám onıń
bólekleniwge baylanıslı s = s p ( f ) ,				S = S p ( f )			bolıp, hár dayım s S teńsizlik
orınlı boladı. (1) teńsizlikten paydalanıp
	n		n					n
	mk Dk		f ( k , k ) Dk M k Dk .
	k =1		k =1					k =1
Demek,
			s S .
3-anıqlama. Eger 0			san alǵanda hám sonday 0 san tabılıp, D nıń
diametri p	bolǵan hár qanday			P bólekleniwge, hám hár bir Dk da alınǵan
qálegen ( k , k )	lar ushın
				− J
				− J
teńsizlik orınlı bolsa, onda J		san qosındınıń p → 0 daǵı limiti delinedi hám
			lim = J
			p →0
arqalı belginedi.
4-anıqlama. Eger p		→ 0 да f (x, y) funkciyanıń integral qosındısı limiti
bar boladı hám shekli J ǵa teń bolsa, onda f (x, y)								funkciya D da integrallanıwshı
delinedi. J sanı bolsa, onda			f (x, y) funkciyanıń					D boyınsha eki eseli integralı
delinedi. Onı tómendegishe
			f (x, y)dxdy
			D
belginedi. Demek,
							n
	f (x, y)dxdy = lim = lim						f ( k , k ) Dk .
	D		p →0			p →0	k =1
	D						k =1
Meyli maydanǵa iye bolǵan				D kóplikte				f (x, y) funkciya berilgen hám
shegaralanǵan bolsın.
1-teorema. f (x, y) funkciya				D kóplikда integrallanıwshı bolıwı ushın,
0 san alǵanda hám, sonday 0					sanı tabılıp, D nıń diametri p bolǵan

hár qanday P bólekleniwge qarata Darbu qosındıları

297

S p ( f ) − s p ( f )

(2)

teńsizliktiń orınlanıwı zárúrli hám jetkilikli.

Eki eseli integraldıń qáseytleri.

1) Meyli f (x, y) funkciya D kóplikte integrallanıwshı bolsın. Eger D nol
maydanlı l sızıq penen ulıwma ishki noqatǵa iye bolmaǵan baylamlı			D1 hám D2
kópliklerge ajralǵan bolsa, onda		f (x, y) funkciya hár bir D1 hám D2 larǵa
integrallanıwshı hám
f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy			(2)
D	D1	D21
boladı. Keriside orınlı, yaǵniy	f (x, y) funkciyanıń hár bir D1 hám D2		kópliklerde

integrallanıwshı bolsa, onda D da integrallanıwshı bolıp (2) teńlik orınlı boladı.

2)	Eger	f (x, y) funkciya D	da integrallanıwshı bolsa, onda cf (x, y)
funkciya (c = const ) hám D da integrallanıwshı hám
		cf (x, y)dxdy =c f (x, y)dxdy
		D		D
boladı.
3)	Eger	f (x, y) hám g(x, y)	funkciyalar D integrallanıwshı bolsa, onda
f (x, y) g(x, y) funkciya hám D integrallanıwshı hám
	[ f (x, y) g(x, y)]dxdy =			f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy
	D		D	D
boladı.
4)	Eger	f (x, y) funkciya	D	integrallanıwshı bolıp (x, y) D
да f (x, y) 0 bolsa, onda
		f (x, y)dxdy 0
		D
boladı.
5)	Eger	f (x, y) hám g(x, y)	funkciyalar D da integrallanıwshı bolıp,
(x, y) D ushın f (x, y) g(x, y) bolsa, onda
		f (x, y)dxdy g(x, y)dxdy
		D		D

298

boladı.

6) Eger f (x, y) funkciya D integrallanıwshı bolsa, onda f (x, y) funkciya

hám D da integrallanıwshı hám


	f (x, y)dxdy		f (x, y)	dxdy
	D	D
boladı.
Orta mánis haqqında teoremalar. Meyli f (x, y) funkciya maydanǵa iye

bolǵan D kóplikte berilgen hám shegaralanǵan bolsın.

3-teorema. Eger f (x, y) funkciya D integrallanıwshı bolsa, onda san

(m M ) tabılıp,

				f (x, y)dxdy = D
				D
boladı.
◄ Joqarıда keltirilgen eki eseli integraldıń qáseytlerinen paydalanıp
m f (x, y) M				1	f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy = D
m f (x, y) M					f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy = D
			D			D	D
						D	D
						(m M ) . ►
Saldar. Eger	f (x, y)			funkciya baylamlı tuyıq D kóplikte úzliksiz bolsa,
onda sonday ( , ) D noqat tabılıp,
		f (x, y)dxdy = f ( , ) D
			D
boladı.
4-teorema.	Eger			f (x, y) hám g(x, y) funkciyalar D kóplikte
integrallanıwshı bolıp, (x, y) D ushın g(x, y) 0							(yamasa g(x, y) 0 ) bolsa,
onda san (m M ) tabılıp,
	f (x, y)g(x, y)dxdy = g(x, y)dxdy
	D					D

boladı.

299

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 2930 / 3630 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб5Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf
#
10.08.20246.32 Mб73Matematikani oqitiw metodikasi.pdf
#
10.08.20241.7 Mб4Tenlemeler ham tensizlikler.pdf
#
10.08.20241.65 Mб3Tensizliklerdi dalillew usillari.pdf