Matematikaliq analiz oqiw qollanba

Meyli qálegen E kóplikti F kóplikke sáwlelendiriw f : E → F

berilgen

bolsın. Endi

E = N,

F = R

dep, hár

bir

natural n

sanǵa bazı bir

haqıyqıy

xn sanın sáykes qoyıwshı

f : n → xn ,

(n =1, 2, 3,...)

(1)

sáwlelendiriwin qaraymız.

1-anıqlama. (1) - sáwlelendiriwden ibarat

x1 , x2 , x3 , ..., xn , ...

(2)

kóplik sanlar izbe-izligi delinedi. Onı {xn } yamasa xn arqalı belgilenedi.

xn (n =1, 2, 3,...)

sanlar (2) izbe-izliktiń aǵzaları delinedi. Máselen,

1)

xn =

1

: 1,

1

,

1

, ...,

1

,...,

n

3

2

n

2)

xn = (−1)n : −1, 1, −1, ..., (−1)n ,...

3)

x

n

= n n : 1,

2, 3

3, ..., n n, ...

4)

xn =1: 1, 1, 1, ..., 1,...

5) 0,3; 0,33; 0,333;...; 0,333...3; ...

n

sanlar izbe-izlikler.

Bazı bir {xn } izbe-izlik berilgen bolsın.

2-anıqlama.

Eger

sonday

turaqlı

M

sanı

bar

bolıp,

qálegen

xn (n =1, 2, 3,...) ushın

xn

M

teńsizlik

orınlı

bolsa,

onda

{xn }

izbe-izlik

joqarıdan shegaralanǵan delinedi.

3-anıqlama.

Eger

sonday

turaqlı

m

sanı

bar

bolıp,

qálegen

xn (n =1, 2, 3,...) ushın

xn

m

teńsizlik

orınlı

bolsa,

onda

{xn }

izbe-izlik

tómennen shegaralanǵan delinedi.

xn =

n

(n

=1, 2, 3,...)

+ n2

4

izbe-izliktiń shegaralanǵanlıǵın dálilleń.

◄ n N ushın

xn =

n

0

+ n2

4

boladı. Demek, izbe-izlik tómennen shegaralanǵan eken. Bizge belgili ,

0 (n − 2)2 = n2 − 4n + 4

bolıp, bunnan 4n 4 + n2 yaǵnıy,

n

1

4 + n2

4

kelip shıǵadı. Bul izbe-izliktiń joqarıdan

shegaralanǵanlıǵın

bildiredi.

Demek, izbe-izlik shegaralanǵan. ►

xn − a

(3)

a = lim xn yamasa

n → da

xn → a

n→

arqalı belgilenedi. (3) teńsizlik ushın

| xn − a | a − xn a +

yaǵnıy, xn U (a),

(n n0 ) boladı.

8-anıqlama.

Eger a noqattıń qálegen U (a)

dógeregin alǵanda {xn }

izbe-izliktiń limiti c ǵa teń boladı.

◄Haqıyqatanda, bunda 0 ushın n0 =1 bolsa,

onda n n0 ushın

xn − c

= 0 boladı. Demek, lim xn = lim c = c ►

3-mısal. Berilgen

n→

n→

x =

1

(n =1,2,3,....)

n

n

1

− 0

=

1

n

n

bolıp,

1

( 0)

teńsizlik barlıq n

1

bolǵanda orınlı boladı. Onda

n

n0

1

=

+1

dálilleń.

a

= 1 +

a

−1 0 hám Bernulli teńsiz-liginen

◄ Meyli

bolsın. Onda =

(1+ )n 1+ n n

bolıp,

n N

da

1

1

boladı.

Demek,

1

1

a

n

n

− 0

=

teńsizlik barlıq

n

bolǵanda orınlı.

1

an

an

Eger n0 =

1

+1dep, n n

ushın

0

− 0

1

an

boladı. Demek,

lim

1

= 0 ►

n→ a n

5-mısal. Berilgen

xn =

n

(n =1, 2,3,...)

izbe-izliktiń limiti

1 ge teń

n +1

bolıwın dálilleń.

◄ Qálegen

0 sanın alamız. Bunnan soń

xn −1

teńsizlikti qaraymız. Onda

xn −1

=

n

−1

=

n

,

n

n +

1

n +1

n +

1

n

1

−1

1

kelip shıǵadı. Demek, limittiń anıqlamasınan n0 N

arqalı n0

=

−1 +1 alınsa

( 0 ǵa kóre n0 N tabılıp), n n0 ushın

xn −1

boladı. Bunnan

lim

n

=1.►

n→ n

+1

Teorema. Eger xn izbe-izlik limitke iye

bolsa, onda jalǵız boladı.

◄Kerisinshe uyǵarayıq. xn izbe-izlik eki a hám b (a b) limitlerge iye

bolsın:

lim xn

= a,

lim xn = b

(a b)

n→

n→

limittiń anıqlamasına muwapıq

0,

n0 N,

n n0 :

| xn − a | ,

0,

n0'

N,

n n0' :

| xn − b |

boladı.

Eger

n

hám

n'

sanlarınıń

úlkenin

n

desek, onda

0

0

n n

xn − a

,

xn − b

bolıp

xn − a

+

xn − b

2

boladı.

a − b

=

a − xn + xn − b

xn − a

+

xn − b

.

Demek,

0 da

a − b

2

bolıp, bunnan a = b kelip shıǵadı. ►

2.2. Jıynaqlı izbe-izliklerdiń qásiyetleri

Meyli xn sanlar izbe-izligi berilgen bolsın.

1-anıqlama. Eger xn izbe-izlik shekli limitke iye bolsa,

onda jıynaqlı

lim xn

= a

(a R)

n→

bolsın. Limittiń anıqlamasınan

0,

n0 N ,

n n0 ;

| xn − a |

boladı. Demek, n n0 ushın

a − xn a +

boladı. Eger

max

a −

,

a +

,

x1

,

x2

, ...,

xn0

= M

xn p

(xn q)

boladı.

◄ Meyli

lim xn = a,

a p

( p R)

n→

bolsın. 0

sanınıń qálegen ekenligiden paydalanıp , a − p dep qaraymız.

Izbe-izliktiń limitiniń anıqlamasına muwapıq, 0

ushın, hám 0 a − p

ushın, sonday n0 N

tabıladı, n n0 bolǵanda

| xn − a |

− xn − a

1) lim xn = a ,

lim yn = b;

n→

n→

2) n N

ушын

xn yn (xn

yn )

bolsa, onda a b

(а b) boladı.

◄ Shártke muwapıq

lim xn = a ,

lim yn

= b .

n→

n→

Izbe-izliktiń limiti anıqlamaǵa muwapıq:

0 , n0' N,

n n0' :

xn − a

,

0 , n0' ' N ,

n n0' '

yn − b

boladı. Eger n0

= max{n0' , n0'' } bolsa, onda n n0

ushın bir waqıtta

xn − a

,

yn − b

teńsizlikler orınlanadı hám

xn − a

а − xn a + ,

yn − b

b − yn b + .

teńsizliklerden hám teoremanıń 2-shártinen paydalanıp tabamız:

а − xn yn b + .

Keyingi teńsizliklerden

а − b + ,

a − b 2

hám 0 ushın a − b 0 , yaǵnıy a b kelip shıǵadı.

Usıǵan uqsas

lim xn = a,

lim yn = b hám n N ushın

xn yn

n→

n→

1) lim xn = a,

lim zn = а

n→

n→

lim yn = а

n→

boladı.

◄ Shártke kóre

lim xn = a ,

lim zn = а.

n→

n→

Limittiń anıqlamasına muwapıq:

0 , n0'

N,

n n0' :

xn − a

,

0 , n0' ' N ,

n n0' '

zn − a

а − хn ,

zn a +

keyingi teńsizliklerden

а − yn a + ,

yaǵnıy

yn − a

kelip shıǵadı. Demek,

n

= (1 + n )2

(1)

n

n = (1 + n )n 1 + n n n n

(2)

1

1 2

(1) hám (2) qatnaslardan an

hám 1 n n 1

+

n

n

1

2

teńsizlikleri kelip shıǵadı. Eger lim 1 +

=1 esapqa alsaq, onda 4-teoremaǵa

n→

n

lim n 1 +

1

+

1

+ ... +

1

2

3

n

n→

limitti tabıń.

◄Bizge belgili,

1 +

1

+

1

+ ... +

1

1

+

1

+

1

+ ... +

1

= n

1

=1,

2

3

n

n

n

n

n

n

1 +