Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Matematikaliq analiz oqiw qollanba

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

+	1
e−x2 dx e−x2 dx
a	0
bolıp, bul juwıq formulanıń qáteligi ushın
+
e−x2 dx 0,1839
1
boladı. Meyli a = 2 bolsın. Bunda
+	2
e−x2 dx e−x2 dx
a	0

bolıp, bul juwıq formulanıń qáteligi ushın

e−x2 dx 0,00458

boladı. Meyli a = 3 bolsın . Bul jaǵdayda

+	3
e−x2 dx e−x2 dx
a	0

bolıp, bul juwıq formulanıń qáteligi ushın

e−x2 dx 0,00002

boladı. ►

15.5. Ekinshi túr menshiksiz integrallar hám olardıń jiynaqlıǵı

Meyli f (x) funktsiya X R kóplikte berilgen bolsın. x0 R tochkanıń usı

U (x0 ) = {x R; x0 − x x0 + ; x x0 }

átirapında qaraymız, bunda qálegen oń san. 1-anıqlama. Eger f (x) funktsiya

X U (x0 )

kóplikte shegaralanbaǵan bolsa, onda x0 tochka f (x) funktsiyanıń ayrıqsha tochkası delinedi.

280

Máselen, [a, b)	da berilgen			f (x) =	1		funktsiya ushın x = b ayrıqsha
Máselen, [a, b)	da berilgen			f (x) =			funktsiya ushın x = b ayrıqsha
					b − x					0
					b − x
tochka; R \ {−1; 0;1}	kóplikte		berilgen					1		funktsiya ushın
					f (x) =
					f (x) =				x(x2 −1)
x0 = −1, x1 = 0, x2 =1 tochkalar ayrıqsha tochkalar boladı.
Meyli f (x) funktsiya [a, b)				da berilgen bolıp, b tochka usı funktsiyanıń
ayrıqsha tochkası bolsın. Bul funktsiya							qálegen [a, t]			da (a t b)
integrallanıwshı bolsın. Bunnan, bul integral t						ga baylanıslı boladı:
		t
		F(t) = f (x)dx					(a t b) .
		a
2-anıqlama. Eger t → b − 0 da F (t)					funktsiyanıń limiti bar bolsa, onda bul
limit shegaralanbaǵan	f (x) funktsiyanıń				[a, b)			boyınsha menshiksiz integralı
delinedi hám
				b
				f (x)dx
				a
kórinisinde belgilenedi
	b							t
		f (x)dx = lim F(x) =				lim		f (x)dx .		(1)
	a	t	→b−0			t→b−0		a
	a							a
3-anıqlama. Eger		t → b − 0		da F (t)		funktsiyanıń limiti bar bolıp hám

shekli bolsa, onda (1) menshiksiz integral jıynaqlı delinedi.

Eger t → b − 0 da F (t) funktsiyanıń limiti sheksiz yamasa limitke iye emes bolsa, onda (1) menshiksiz integral taralıwshı delinedi.

f (x) funktsiya (a, b] da berilgen bolıp, x0 = a tochka onıń ayrıqsha tochkası, f (x) funktsiya (a, b) da berilgen bolıp, x0 = a , x1 = b tochkalar onıń ayrıqsha tochkaları bolǵan jaǵdayda usı funktsiyanıń (a, b] hám (a, b) boynsha menshiksiz integralları, olardıń jıynaqlılıǵı hám taralıwshılıǵı joqarıdaǵıday anıqlanadı,

b			b
f (x)dx = lim F(t) =		lim	f (x)dx ;
a	t→а+0	t→а+0	t
a			t

281

	b
	f (x)dx =	lim F (t , t)
	a	t →a+0
	a	t→b−0
		t→b−0

	t
= lim	f (x)dx .
t →a+0	t
t→b−0	t

Meyli f (x) funktsiya (a, b) \ {c} kóplikte (a c b) berilgen bolıp,

x0 = a , x1 = b, x2 = c tochkalar onıń ayrıqsha tochkaları bolsın. Bul funktsiyanıń t

t
f (x)dx = (t , t) ,	(a t t c)
t
u
f (x)dx = (u ,u) ,	(c u u b)
u
integralları bar bolsın.
4-anıqlama. Eger t → a + 0 , t → c − 0	hám u → c + 0 , u → b − 0 da

(t ,t) + (u ,u) funktsiyanıń limiti

		t
lim [ (t , t) + (u , u)] =	lim [
t →a+0	t →a+0	t
t→c−0	t→c−0	t
t→c−0	t→c−0
u →c+0	u →c+0
u→b−0	u→b−0

f (x)dx + f (x)dx]

bar bolsa, onda bul limit shegaralanbaǵan f (x) funktsiyanıń (a, b) boyınsha menshiksiz integralı delinedi hám

f (x)dx

kórinisinde belgilenedi. Demek,

b		t
f (x)dx =	lim [
a	t →a+0	t
a	t→c−0	t
	t→c−0
	u →c+0
	u→b−0

u
f (x)dx + f (x)dx]	(2)

5-anıqlama. Eger t → a + 0 , t → c − 0 hám u → c + 0 , u → b − 0 da

(t ,t) + (u ,u) funktsiyanıń limiti bar bolıp hám shekli bolsa, onda (2) integral

jıynaqlı delinedi.

1 dx

1-mısal. integral jıynaqlılıqqa tekseriń.

0 x

282

◄ Bunnan, x = 0 tochka f (x) =	1		funktsiyanıń ayrıqsha tochkası.
◄ Bunnan, x = 0 tochka f (x) =			funktsiyanıń ayrıqsha tochkası.
0		x
		x

Demek, qaralıp atırǵan integral shegaralanbaǵan funktsiyanıń menshiksiz integralı boladı. Anıqlamaǵa tiykarlanıp

= lim

= lim 2(1 −

t ) = 2

t→+0 t

t→+0

boladı. Demek, berilgen menshiksiz integral jıynaqlı hám ol 2 ge teń. ►

1 dx

menshiksiz integral taralıwshı boladı, sebebi

2-mısal.

lim

1 dx

= lim(ln x)1t = + .

t x

t→+0

3-mısal.

integraldı jıynaqlılıqqa tekseriń.

x( x −1)

◄ İntegral astındaǵı

f ( x) =

x( x −1)

funktsiya ushın

x0 = 0 , x1 =1 ayrıqsha tochkalar boladı. Menshiksiz integral

anıqlamasınan paydalanıp

== lim

= lim [2 arcsin(2x −1)]tt =

x(x −1)

t →+0

x(x −1)

t →+0

t→1−0 t

t→1−0

= 2 lim [arcsin(2t −1) − arcsin(2t −1)] = 2

= 2 .

t →+0

t→1−0

Demek, integral jıynaqlı. ►

Menshiksiz integraldıń ápiwayı qásiyetleri.

1) Eger f (x)dx integral jıynaqlı bolsa, onda

f (x)dx (a c b)

integral hám jıynaqlı boladı hám kerisinshe boladı. Bunda

283

	b	f (x)dx = с	f (x)dx +b	f (x)dx
	a	a	с
teńlik orınlı boladı.
b				b
2) Eger f (x)dx	integral jıynaqlı bolsa, onda cf (x)dx hám (с − const )
a				a
hám jıynaqlı bolıp,
	b	b
	c f (x)dx = c f (x)dx			(с − const )
	a	a
boladı.
b
3) Eger f (x)dx integral jıynaqlı bolıp, x [a,b) da					f (x) 0 bolsa, onda
a
		b
		f (x)dx 0
		a

boladı.

		b	b
4)	Eger	f (x)dx	va g(x)dx	integrallar jıynaqlı	bolsa, onda
		a	a
b
( f (x) g(x))dx integral ham jıynaqlı bolıp,
a
		b	b	b
		( f (x) g(x))dx = f (x)dx g(x)dx
		a	a	a
boladı.
		b	b
5)	Eger	f (x)dx va	g(x)dx integrallar jıynaqlı bolıp,		x [a,b) da
		a	a
f (x) g(x) bolsa, onda
			b	b
			f (x)dx g(x)dx
			a	a

boladı.

284

Teris bolmaǵan funktsiyanıń menshiksiz integralları. Meyli f (x) funktsiya

[a, b) da berilgen (b tochka usı funktsiyanıń ayrıqsha tochkas ı) bolıp, x [a,b)

da f (x) 0 bolsın.

2-teorema. f (x)dx menshiksiz integral jıynaqlı bolıwı ushın t (a,b)

F (t) = f ( x)dx C, (C = const)

teńsizliktiń orınlanıwı zárúrli hám jetkilikli.

	t
Saldar. Eger F(t) = f (x)dx		( t (a, b)) joqarıdan			shegaralanbaǵan
	a
b
bolsa, onda f (x)dx menshiksiz integral taralıwshı boladı.
a
Salıstırıw teoremaları. Meyli f (x) hám g (x) funktsiyalar [a, b)						da berilgen
bolıp, b tochka usı funktsiyalardıń ayrıqsha tochkaları bolsın.
					b
3-teorema. Eger	x [a,b) da 0 f (x) g(x)			bolıp,	g(x)dx jıynaqlı
					a
b			b
bolsa, onda f (x)dx	hám jıynaqlı	boladı,	f (x)dx	taralıwshı bolsa, onda
a			a
b
g(x)dx taralıwshı boladı.
a
4-teorema. Meyli f (x) 0, g(x) 0)		x [a,b)	funktsiyaları ushın		lim	f (x)	= k
4-teorema. Meyli f (x) 0, g(x) 0)		x [a,b)	funktsiyaları ushın		lim		= k
					x→b−0	g(x)
	b		b
bolsın. Eger k + bolıp g(x)dx jıynaqlı bolsa, onda f (x)dx					jıynaqlı boladı.
	a		a
b			b
Eger k 0 bolıp g(x)dx taralıwshı bolsa, onda f (x)dx taralıwshı boladı.
a			a

285

Saldar. 4-teoremanıń shártinde

0 k + bolsa,

onda f (x)dx hám

g(x)dx integrallar bir waqıtta jıynaqlı

yamasa taralıwshı boladı.

Saldar. Eger x ózgeriwshiniń b ǵa jeterli jaqın mánislerinde

f ( x) =

( x)

, ( 0)

(b − x)

bolsa, onda

1) (x) C + hám 1 bolǵanda f (x)dx integral jıynaqlı boladı,

2) (x) C 0 hám 1 bolǵanda f (x)dx integral taralıwshı boladı.

1 cos2 x

dx integraldı jıynaqlılıqqa tekseriń.

5-mısal.

1− x

◄ İntegral astındaǵı funktsiya f (x) =

cos2 x

cos2

bolıp, x [0,1)

1 − x

(1 − x) 4

ushın ( x) = cos2 x 1, =

1 boladı. İntegral jıynaqlı boladı. ►

xdx

6-mısal.

integraldı jıynaqlılıkka tekseriń.

1 − x2

◄ Bunda

menshiksiz integralı jıynaqlı boladı.

1− x

lim

1 − x 2

x→1−0

1 − x

Limitti esaplaymız:

286

lim

1 − x 2

= lim x

1 − x

1 − x 2

x→1−0

1 − x

Onda joqarıdaǵı nátiyjege muwapıq berilgen menshiksiz integraldıń jıynaqlı ekeniligi kelip shıǵadı. ►

Menshiksiz integraldıń absolyut jıynaqlılıǵı. Meyli f (x) funktsiya [a, b) da

berilgen bolıp, b tochka	usı funktsiyanıń ayrıqsha tochkası bolsın. (Bunda
x [a,b) da f (x) 0 bolıwı shárt emes)
Bunnan, usı
			b
				f (x)	dx
			a
integralı teris bolmaǵan funktsiyanıń menshiksiz integralı boladı.
b					b
5-teorema. Eger	f (x)		dx integral jıynaqlı bolsa, onda f (x)dx integral
a					a
hám jıynaqlı boladı.
b					b
6-anıqlama. Eger	f (x)	dx integral jıynaqlı bolsa, onda f (x)dx absolyut
a					a

jıynaqlı integral delinedi.

b							b
Eger	f (x)	dx	integral	taralıwshı bolıp,			f (x)dx jıynaqlı	bolsa, onda
a							a
b
f (x)dx shártli jıynaqlı integral delinedi.
a
Menshiksiz integrallardı esaplaw. Meyli							f (x) funktsiya [a,b)	da úzliksiz
bolıp, onıń dáslepki funktsiyası F(x)						x → b −0 da shekli limitke iye bolsın
						lim F (x) = F (b) .
					x→b−0
Onda
	b			t					b
	b			t

		f ( x)dx = lim			f (x)dx = lim [F (t) − F (a)] =F (b) − F (a) = F ( x)
			x→b−0			x→b−0			a
	a			a					a
	a			a

287

boladı. Bul Nyuton-Leybnits formulası delinedi.

Meyli u(x) hám v(x) funktsiyaları [a,b) da berilgen hám usı aralıqta

úzliksiz	u (x) hám	v (x) tuwındılarǵa iye bolıp,	b	tochka v(x) u (x)	hám
u(x) v (x) funktsiyalardıń ayrıqsha tochkaları bolsın.
Eger
	b
1)	v(x)du(x) integral jıynaqlı;
	a
2)	Usı
		lim u(t) v(t)
		x→b−0
		b
limiti bar bolıp hám shekli bolsa, onda u(x)dv(x) integral jıynaqlı
		a
		b	b	b
		b	b	b
		u(x)dv(x) = u(x)v(x)	a	− v(x)du(x)	(3)
		a	a	a

boladı, bunda

1 (x +1)dx

7-mısal.

0 3 (x −1)2

◄ Bul integralda

u(b) v(b) = lim u(t) v(t) .

x→b−0

integraldı esaplań.

u(x) = x +1, dv(x) =	1	dx


	3 (x −1)2
	3 (x −1)2

					1
dep alınsa, onda du(x)= dx,			v(x)=		3(x −1)			hám
dep alınsa, onda du(x)= dx,			v(x)=		3(x −1)	3		hám
		1		1
	1	1		1
u(x) v(x)	= (x +1) 3(x −1) 3			= 3,
	0			0
	1				1		1		9		4		9
	1				1		1				4	1
	v(x)du(x) = 3(x −1)						3 dx =			(x −1) 3		= −
	v(x)du(x) = 3(x −1)						3 dx =		4	(x −1) 3		= −	4
	0				0				4			0	4
	0				0							0

bolıp, (3) formulaǵa muwapıq

288

(x +1)dx

u(x) dv(x) =

= 3 − (−

) =

−1)

boladı. Demek,

(x +1)dx

. ►

(x −1)

Tómendegi

f (x)dx

menshiksiz integralda (b -ayrıqsha

tochka)

x = (z)

almastırıwdı orınlaymız,

bunda (z) funktsiya [ , )

aralıqta úzliksiz (z) 0 tuwındıǵa iye

( ) = a ,

( ) =

lim (z) = b .

z→ −0

Eger

f ( (z)) (z)dz

integral jıynaqlı bolsa, onda

f (x)dx integral da jıynaqlı bolıp,

f (x)dx = f ( (z)) (z)dz

boladı.

8-mısal.

integraldı esaplań.

(1+ x)

◄ Bul integralda

x = (z) = z 2

almastırıwdı orınlaymız. Bunnan, x = z2

funktsiya (0,1]

aralıqta

x' = 2z 0

tuwındıǵa iye

hám

ol úzliksiz bolıp,

(0) = 0, (1) =1 boladı. Onda

2dz

= 2arctgz

1 + z

(1 + x) x

boladı. ►

289

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 2829 / 3629 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб5Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf
#
10.08.20246.32 Mб73Matematikani oqitiw metodikasi.pdf
#
10.08.20241.7 Mб4Tenlemeler ham tensizlikler.pdf
#
10.08.20241.65 Mб3Tensizliklerdi dalillew usillari.pdf