15.3. Menshiksiz integraldıń absolyut jıynaqlılıǵı. Menshiksiz integraldıń jıynaqlılıq belgileri. Menshiksiz integraldıń bas mánisi
Meyli f (x) funktsiya [a,+ ) aralıqta berilgen bolsın. Bunda, x [a,+ ) ushın f (x) 0 bolıwı shárt emes.
Anıqlama. Eger
+
f (x) dx
a
+
integral jıynaqlı bolsa, onda f (x)dx integral absolyut jıynaqlı delinedi.
a |
|
|
|
|
+ |
+ |
+ |
Eger f (x)dx jıynaqlı bolıp, |
|
f (x) |
dx taralıwshı bolsa, onda |
f (x)dx |
a |
a |
a |
shártli jıynaqlı integral delinedi.
Teorema. Eger integral absolyut jıynaqlı bolsa, ol jıynaqlı boladı. Meyli
+
f (x) dx
a
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
integral jıynaqlı bolsın. Berilgen f (x) |
|
hám |
f (x) |
|
funktsiyalar járdeminde bul |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(x) = |
|
( f (x) + |
f (x) |
) , |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
(x) = |
(− f (x) + |
f (x) |
) |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
funktsiyalardı duzemiz. Bul funktsiyalar ushın, x [a,+ ) da
1)(x) 0 , (x) 0
2)(x) f (x) , (x) f (x)
3)(x) − (x) = f (x)
boladı. Joqarıda keltirilgen 2-teoremadan paydalanıp, tómendegi
+ |
+ |
(x)dx , |
(x)dx |
a |
a |
integral jıynaqlılıǵın tabamız. Onda |
|
+
( (x) − (x))dx
a
integral hám jıynaqlı boladı. Demek,
+
f (x)dx
a
jıynaqlı boladı.
İntegraldıń jıynaqlılıq belgileri. İntegraldıń bas mánisi
1. |
Dirixle belgisi. Meyli |
f (x) |
hám |
g (x) funktsiyalar [a,+ ) aralıqta |
berilgen bolsın. |
|
|
|
|
1-teorema (Dirixle belgisi). |
f (x) |
hám |
g (x) funktsiyalar tómendegi |
shártlerin qanaatlandırsın: |
|
|
|
|
1) |
f (x) funktsiya [a,+ ) da úzliksiz hám onıń usı aralıqtaǵı dáslepki |
F(x) (F (x) = f (x)) funktsiyası shegaralanǵan; |
|
2) |
g (x) funktsiya [a,+ ) |
da úzliksiz g (x) |
tuwındıǵa iye; |
3) |
g (x) funktsiya [a,+ ) |
da kemeyiwshi; |
|
4) |
lim g(x) = 0 . |
|
|
|
|
|
x→+ |
|
|
|
|
Bunda
+
f (x)g(x)dx
a
integral jıynaqlı boladı. |
|
|
|
|
|
◄ |
|
|
|
|
Bunnan, |
f (x) C([a,+ )) , g(x) C([a,+ )) f (x)g(x) C([a,+ )) boladı. |
Bunda |
f (x) g(x) funktsiya [a,t] (a t + ) |
aralıqta integrallanıwshı boladı. Bóleklep |
integrallaw formulasınan hám teoremanıń 1)- hám 2)- shártlerinen paydalanıp |
t |
t |
|
t |
t |
|
|
|
f (x)g(x)dx = g(x) dF(x) =g(x) F (x) |
a |
− f (x)g' (x)dx . |
(1) |
a |
a |
|
a |
|
Endi
|
g(t) F (t) |
|
Mg (t) |
(M = sup |
|
F (t) |
|
+ ) |
|
|
|
|
bolıwın itibarǵa alsaq, bunnan t → + da |
|
|
|
|
|
g(t) F (t) → 0 |
|
|
|
|
|
kelip shıǵadı. Beriliwine muwapıq, g (x) |
funktsiya [a,+ ) aralıqta úzliksiz |
differentsiallanıwshı hám usı aralıqta kemeyiwshi funktsiya. Demek, x [a,+ ) da
g'(x) 0
boladı. Usını esapqa alıp tabamız
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
t |
|
F (x) g'(x) |
dx M |
g'(x) |
dx = −M g'(x)dx = |
a |
|
a |
a |
= M (g(a) − g(t)) M g(a) |
(g(t) 0). |
Onda
+
F(x) g'(x) dx
a
menshiksiz integralı jıynaqlı boladı. (1) teńlikte t → + da limitke ótip, usı
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x)g(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
t→+ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
limittiń bar bolıp hám shekli bolıwın tabamız. Bul bolsa |
f (x) g(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
integraldıń jıynaqlı bolıwın bildiredi.► |
|
|
|
|
|
|
|
|
Mısal. J = + |
sin x |
dx, ( 0) |
integraldı jıynaqlılıqqa tekseriń. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
◄ Berilgen |
integraldı |
J = sin x |
dx |
jazıp, f (x) = sin x, g(x) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
|
|
x |
|
bolsın. Bul funktsiyalar joqarıda |
keltirilgen |
teoremanıń |
barlıq shártlerin |
|
qanaatlandıradı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) f (x) = sin x |
funktsiya |
[1,+ ) |
aralıqta úzliksiz hám onıń dáslepki |
|
funktsiyası F (x) = −cos x funktsiya [1,+ ) |
da shegaralanǵan. |
|
|
|
2) |
g(x) = |
1 |
|
( 0) funktsiya [1,+ ) da g'(x) = − |
|
tuwındıǵa |
|
x |
x +1 |
|
|
|
|
|
|
|
iye hám ol úzliksiz; |
|
|
|
|
|
3) |
g(x) = |
1 |
|
( 0) funktsiya [1,+ ) da kemeyiwshi; |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
4) |
lim g(x) = lim |
1 |
= 0 . ( 0) |
|
|
|
|
|
|
x→+ |
|
|
|
x→+ x |
|
|
Onda Dirixle belgisine muwapıq
integralı jıynaqlı boladı. ►
2. Abel belgisi. Meyli f (x) hám g ( bolsın.
2-teorema (Abel belgisi). f (x) shártlerin qanaatlandırsın:
( 0)
x) funktsiyalar [a,+ ) aralıqta berilgen
hám g (x) funktsiyalar tómendegi
|
|
+ |
1) |
f (x) funktsiya [a,+ ) da úzliksiz bolıp, |
f (x) dx integral jıynaqlı; |
|
|
a |
2) |
g (x) funktsiya [a,+ ) da úzliksiz g'(x) |
tuwındıǵa iye hám bul tuwındı |
[a,+ ) da óz belgisin saqlasın, onda
+
f (x)g(x) dx
a
integralı jıynaqlı boladı.
Menshiksiz integraldıń bas mánisi.
Meyli f (x) funktsiya (−,+ ) da berilgen bolıp, bul aralıqtıń qálegen [t',t]
(− t' t + ) bóleginde integrallanıwshı bolsın,
t
F (t',t) = f (x) dx.
t '
Bizge belgili, bul
|
|
t |
lim |
F (t', t) = lim f (x) dx |
t '→− , |
|
t '→− |
t→+ |
|
t→+ t ' |
limit f (x) funktsiyanıń (− ,+ ) |
aralıq boyınsha menshiksiz integralı dep, ol |
shekli bolsa, |
|
|
|
t |
+ |
lim f (x)dx = f (x)dx |
t '→− |
− |
t→+ t ' |
menshiksiz integral jıynaqlı delinedi. Bunda t' hám t ózgeriwshilerdiń tárizde t'→ − , t → + ga umtılıwı kózde tutıladı.
|
+ |
|
|
|
Tiykarınan, |
f (x)dx menshiksiz integral jıynaqlı bolsa, onda |
|
− |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
lim |
f (x) dx = |
f (x)dx |
|
t→+ |
−t |
|
− |
|
|
|
boladı. Biraq |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
F (t',t) = f (x)dx |
|
|
|
t ' |
|
|
|
|
|
+ |
funktsiya, t' = −t |
bolıp, t → + da |
shekli |
limitke iye bolıwdan f (x)dx |
|
|
|
|
− |
menshiksiz integraldıń jıynaqlı bolıwı kelip shıqpaydı. |
Máselen, bul |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
F (t',t) = sin x dx |
|
|
|
t ' |
|
integral ushın t' = −t bolsa, onda |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
sin x dx = 0 |
( t 0) |
|
−t |
|
|
|
bolıp, |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
lim |
sin x dx = 0 |
|
t→+ |
−t |
|
|
|
|
|
boladı. Biraq
+
sin x dx
−
menshiksiz integral jıynaqlı emes.
Anıqlama. Eger t' = −t bolıp, t → + da
t
F (t',t) = f (x)dx
−t '
+
funktsiyanıń limiti bar bolıp hám shekli bolsa, onda f (x)dx menshiksiz integral
|
|
|
|
− |
bas mánisinde jıynaqlı delinip, |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
lim |
f (x) dx |
|
|
t→+ |
−t |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
limit bolsa |
f (x) dx menshiksiz integraldıń bas mánisi dep ataladı. Ádette, |
|
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
f (x) dx menshiksiz integraldıń bas mánisi |
|
− |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
v.p. f (x) dx |
|
|
− |
|
kóriniste belgilenedi. Demek, |
|
|
|
|
|
+ |
|
t |
|
v.p. |
f (x) dx = lim |
f (x) dx. |
|
|
− |
t→+ |
−t |
|
|
|
Bunda v. p |
belgi frantsuzsha |
"valeur |
principiale"- "bas mánis" sózlerdiń |
baslanǵısh háriplerin belgileydi.
+
Solay etip, f (x) dx menshiksiz integral jıynaqlı bolsa, ol bas mánis hám
−
+
jıynaqlı boladı. Biraq, f (x) dx menshiksiz integraldıń bas mánis jıynaqlı
−
bolıwınan onıń jıynaqlı bolıwı hár waqıtta hám kelip shıqpaydı.
15.4.Menshiksiz integrallardı esaplaw
1.Nyuton-Leybnits formulası.
Meyli f (x) funktsiya [a,+ ) aralıqta dáslepki F (x) funktsiyaǵa iye hám
x → + da F (x) funktsiya shekli limiti bar bolsın
lim F (x) = F (+ ) .
x→+
Onda
t |
|
f (x)dx = lim |
f (x)dx = lim (F (t) − F (a)) = F(+ ) − F(a) = F(x) |
x→+ |
t→+ |
a |
|
boladı. (1) formula Nyuton-Leybnits formulası delinedi.
+ |
1 |
sin |
1 |
dx |
integraldı esaplań. |
|
|
|
|
|
|
1-mısal. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ Bunnan, |
|
F(x) = cos |
1 |
funktsiya [ |
2 |
,+ ) aralıqta |
f (x) = |
1 |
sin |
1 |
|
x |
|
x2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
funktsiyanıń dáslepki funktsiyası boladı.
(1) formuladan paydalanıp tabamız:
|
+ |
1 |
|
1 |
dx = cos |
1 |
+ |
= 1.► |
|
|
2 |
|
|
sin |
|
|
|
|
2 |
|
|
x2 |
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Bóleklep integrallaw. Meyli |
f (x) hám g (x) |
funktsiyalar [a,+ ) aralıqta |
úzliksiz hám úzliksiz, f (x) |
hám g (x) |
tuwındalarǵa iye bolsın. |
Eger |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) f (x) g (x)dx |
( f (x)g(x)dx) integral jıynaqlı, |
a |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) lim ( f (x)g(x)) |
limit bar hám shekli bolsa, onda |
x→+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
f (x) g(x)dx |
( f (x)g (x)dx) |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
integral jıynaqlı bolıp,
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
f |
(x) g(x)dx = |
lim ( f (x)g(x)) − f (a) g(a) − |
f (x)g (x)dx |
(2) |
a |
|
|
x→+ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
f (x)g (x)dx = lim ( f (x)g(x)) − |
f (a) g(a) − |
+ |
f (x)g(x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
x→+ |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
boladı.
(2) formula bóleklep integrallaw formulası delinedi.
+
2-mısal . xe−x dx integraldı esaplań.
0 |
|
|
◄ Eger g(x) = x , f (x) = e− x |
dep alsaq, onda g (x) = 1, f ( x) = −e− x bolıp, (2) |
formulaǵa muwapıq |
|
|
+ |
|
+ |
xe−x dx = lim(−te−t ) − 0 + |
e−x dx =1 |
0 |
t + |
0 |
|
boladı. ►
3. Ózgeriwshilerdi almastırıp integrallaw.
Meyli
+
f (x)dx
a
menshiksiz integraldı qaraymız. Bul integralda x = (z) almastırıwdı orınlaymız. Bunda x = (z) funktsiya tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:
1) |
(z) funktsiya [ ,+ ) aralıqta úzliksiz hám úzliksiz |
(z) tuwındıǵa |
iye; |
|
|
2) |
(z) funktsiya [ ,+ ) da qatań ósiwshi; |
|
3) ( ) = a , (+ ) = lim (z) = + .
z→+
Eger
+
f ( (z)) (z)dz
menshiksiz integral jıynaqlı bolsa, onda
+
f (x)dx
a
integral hám jıynaqlı bolıp,
+ |
+ |
f (x)dx = f ( (z)) (z)dz |
a |
|
boladı.
+ dx
3-mısal. J = 0 1 + x4 integraldı esaplań.
◄ Bul integralda x = 1t almastırıwdı orınlaymız. Nátiyjede
0 |
1 |
|
|
1 |
|
+ |
t 2 dt |
J = |
|
|
|
(− |
|
|
)dt = |
|
|
|
|
1 |
|
t |
2 |
1 + t |
4 |
+ 1 + |
|
|
|
|
0 |
|
t 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bolıp,
1 + 1 + x2
J = 2 0 1 + x4 dx
kelip shıǵadı. Keyingi integralda x − 1x = z dep alamız,
J = |
1 |
+ |
dz |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
arctg |
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 + z |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
− |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Demek, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
. ► |
|
|
|
1 |
+ x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2
2 .
4.Menshiksiz integrallardı juwıq esaplaw.
Meyli f (x) funktsiya [a,+ ) aralıqta úzliksiz bolıp,
+
f (x)dx
a
menshiksiz integral jıynaqlı bolsın. Anıqlamaǵa tiykarlanıp
+ |
|
t |
|
f (x)dx = lim |
f (x)dx , |
a |
t→+ |
a |
|
|
|
yamasa |
|
|
|
0 , |
t0 a , |
t t0 : |
|
+ |
t |
|
|
|
|
|
|
f (x)dx − f (x)dx |
|
|
a |
a |
|
|
boladı. Bunnan, |
|
|
|
|
+ |
t |
+ |
f (x)dx − f (x) = f (x)dx . |
a |
a |
t |
Demek, |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
. |
|
|
t |
|
|
|
Nátiyjede |
|
|
|
|
+ |
t |
|
|
f (x)dx f (x)dx |
(5) |
a |
a |
|
|
juwıq formulaǵa kelemiz. Onıń qáteligi
+
f (x)dx
t
boladı.
+
4-mısal. e−x2 dx menshiksiz integral juwıq esaplań.
0
◄ (5) formulaǵa muwapıq, berilgen integraldı juwıq esaplaw ushın usı
|
|
+ |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x2 dx e−x2 dx |
|
(a 0) |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
formulanı payda etemiz. Onıń qáteligi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x2 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
teń boladı. Bul qátelikti joqarıdan bahalaymız: |
|
|
|
|
|
|
+ e−x2 dx |
1 |
+ xe−x2 dx = |
1 |
+ e−x2 d(x2 ) = |
1 |
|
(−e−x2 |
)a+ = |
1 |
e−a2 . |
a |
2a |
|
|
2a |
|
|
|
2a |
|
|
a |
|
a |
|
a |
|
|
|
|
|
|
Meyli a =1 bolsın. Onda
