Matematikaliq analiz oqiw qollanba
.pdf
|
◄ |
|
|
|
|
|
t3 |
|
|
|
t5 |
|
|
|
|
|
n−1 t 2n−1 |
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sint = t − 3! |
+ 5! − ... + (−1) |
|
(2n −1)! + ... |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
sin t |
|
|
t 2 |
|
t 4 |
|
|
|
|
n−1 |
t 2n−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Onda |
|
|
= 1 − |
|
+ |
|
|
− ... + |
(−1) |
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
t |
|
3! |
5! |
(2n −1)! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
boladı. Bul dárejeli qatardı aǵzama-aǵza integrallap, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x sint |
|
|
|
|
x |
|
t 2 |
t 4 |
|
|
|
|
n−1 t 2n−2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dt = |
|
|
|
|
|
|
− ... + (−1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
t |
1 − |
5! |
|
(2n |
−1)! |
+ ... dt = |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
x5 |
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
|
x2n−1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= x − |
|
+ |
|
|
− ... + (−1) |
|
+ ... |
||||||||||||||||||||
|
|
|
3! 3 |
5! 5 |
(2n −1)!(2n −1) |
|||||||||||||||||||||||||
dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusi r = + boladı.►
260
15-§. MENSHIKSIZ INTEGRALLAR
15.1. Birinshi túr menshiksiz integrallar hám olardıń jiynaqlıǵı
Funktsiyanıń anıq integrali túsinigin kiritiwde integrallaw aralıǵınıń shekli bolsa, endi sheksiz aralıqta ([a,+ ); (−, a]; (−,+ ) aralıqlarda) berilgen funktsiyanıń integral túsinigin keltiremiz hám úyrenemiz.
Meyli f (x) funktsiya [a,+ ) aralıqta (a R) berilgen bolıp, qálegen [a, t] da (a t + ) integrallanıwshı bolsın: f (x) R([a, t]).
Sonda
t
F(t) = f (x)dx
a
belgilewin kiritemiz.
1-anıqlama. Eger t → + da F (t) funktsiyanıń limiti bolsa, onda bul limit
f (x) funktsiyanıń [a, + ) sheksiz aralıq boyınsha menshiksiz integralı delinedi
hám
+
f (x)dx
a
kórinisinde belgilenedi:
+ |
|
|
t |
|
|
f (x)dx = lim |
F(t) = lim |
f (x)dx. |
(1) |
a |
t→+ |
t→+ |
a |
|
|
|
|
(1) integraldı shegarası sheksiz menshiksiz integral dep te aytıladı.
Qolaylık ushın, bunnan keyin “shegarası sheksiz menshiksiz integral” dep aytıw ornına “integral” deymiz.
2-anıqlama. Eger t → + da F (t) funktsiyanıń limiti bar bolsa hám shekli bolsa, onda (1) integral jıynaqlı delinedi.
Eger t → + da F (t) funktsiyanıń limiti sheksiz yamasa bolmasa, (1) integral taralıwshı delinedi.
1-mısal.
261
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
å− x dx |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
integraldı alayıq. Bunda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(t) = e−x dx = −e−t +1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
bolıp, lim F (t) = 1 boladı. Demek, berilgen integral jıynaqlı boladı. |
|
|||||||||||||
t→+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
е−x dx = 1. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-mısal. |
|
(a 0, 0) |
integral ushın |
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
|
|
|
|||||||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln t − ln a , |
eger = 1 |
|
|||||||
|
|
|
t |
dx |
|
|
- +1 |
|
- +1 |
|
||||
|
|
F ( t ) = |
|
|
|
|
, |
|||||||
|
|
|
= |
t |
|
|
|
|
a |
|
|
|||
|
|
|
|
|
- |
|
|
, eger 1 |
||||||
|
|
|
a |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
− + 1 |
− + 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
bolıp, t → + da |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (t) → |
a1− |
|
|
( 1) , |
|
|||||
|
|
|
|
−1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
F (t) → + |
|
( 1) |
|
|||||||
boladı. Demek,
+ dx
a x
integral 1 bolǵanda jıynaqlı, 1 bolǵanda taralıwshı boladı.
+
3-mısal. cos xdx integral taralıwshı boladı, sebebi t → + da
0
t
F(t) = cos xdx = sint
0
funktsiyanıń limiti bolmaydı. Joqarıda kórsetilgendey,
a |
+ |
f (x)dx , |
f (x)dx |
− |
− |
262
menshiksiz integrallar hám olardıń jıynaqlılıǵı, taralıwshılıǵı anıqlanadı,
a |
|
|
a |
f (x)dx = lim |
|
f (x)dx , |
|
− |
t→− |
|
t |
|
|
||
+ |
|
|
u |
f (x)dx = lim |
|
f (x)dx . |
|
− |
u→+ |
|
|
v→− v |
|||
Menshiksiz integraldıń ápywayı qásiyetleri. Menshiksiz integraldıń túrli |
|||
qásiyetlerin f (x) funktsiyanıń [a,+ ) |
aralıq boyınsha alınǵan |
||
|
+ |
|
|
|
f (x)dx |
||
|
a |
|
|
integralı ushın bayan etemiz. Bul qásiyetlerdi |
|
|
|
a |
+ |
||
f (x)dx , |
f (x)dx |
||
− |
− |
||
integrallar ushın keltiriwdi oqıwshıǵa kórsetip ótemiz.
+ |
+ |
|
1-qásiyet. Eger f (x)dx |
integral jıynaqlı bolsa, onda |
f ( x)dx, (a b) |
a |
b |
|
integralı jıynaqlı boladı hám kerisinshe boladı. Bunda
+ |
|
b |
+ |
|
|
f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx |
(2) |
||
a |
|
a |
b |
|
teńlik orınlanadı. |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
2-qásiyet. Eger |
f (x)dx |
integral jıynaqlı bolsa, onda |
С f (x)dx |
|
|
a |
|
|
a |
(С = const) jıynaqlı bolıp, |
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
С f (x)dx = С f (x)dx |
|
|
|
|
a |
a |
|
boladı. |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
3-qásiyet. Eger |
f (x)dx |
integral jıynaqlı bolıp, x [a,+ ) |
da f (x) 0 |
|
a
bolsa, onda
263
+
f (x)dx 0
a
boladı.
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
4-qásiyet. Eger |
f (x)dx hám |
g(x)dx integrallar jıynaqlı bolsa, onda |
|||||
|
a |
|
|
a |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
( f (x) g(x))dx integralı da jıynaqlı bolıp, |
|
|
|
||||
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
|
( f (x) g(x))dx = f (x)dx g(x)dx |
|
|||||
|
a |
|
|
a |
a |
|
|
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
+ |
|
5-qásiyet. Eger x [a,+ ) |
da f (x) g(x) bolıp, |
f (x)dx |
va g(x)dx |
||||
|
|
|
|
|
|
a |
a |
integrallar jıynaqlı bolsa, onda |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ |
|
+ |
|
|
|
|
|
f (x)dx g(x)dx |
|
|
||
|
|
|
a |
|
a |
|
|
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
Meyli f (x) hám |
g (x) funktsiyalar |
[a,+ ) da berilgen |
bolıp, f (x) |
||||
funktsiya shegaralanǵan |
(m f (x) M , x [a,+ )) , g(x) funktsiya bolsa óz |
||||||
belgisin ózgertpesten ( x [a,+ ) |
da hár waqıtta g(x) 0 |
yamasa g(x) 0) . |
|||||
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
6-qásiyet. Eger |
f ( x) g ( x)dx |
hám |
g(x)dx integrallar jıynaqlı bolsa, |
||||
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
onda sonday turaqlı (m M ) |
tabıladı, |
|
|
|
|||
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
|
f (x) g(x)dx = g(x)dx |
|
(3) |
|||
|
|
a |
|
|
a |
|
|
boladı.
Ádette, bul qásiyet orta mánis haqqındaǵı teorema delinedi.
264
|
15.2. Teris bolmaǵan funktsiyanıń menshiksiz integralları |
|||
Meyli f (x) funktsiya [a,+ ) aralıqta berilgen |
bolıp, x [a,+ ) da |
|||
f (x) 0 |
bolsın. Bul funktsiyanı [a,t] da (a t + ) integrallan ıwshı bolsın. |
|||
Onda |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
F(t) = f (x)dx |
|
|
|
|
|
a |
|
funktsiya (a,+ ) aralıqta ósiwshi boladı. |
|
|
||
Haqıyqattan da, a t1 t2 |
+ |
da |
|
|
|
t2 |
t1 |
t2 |
t2 |
|
F(t2 ) = f (x)dx = |
f (x)dx + f (x)dx = F (t1 ) + f (x)dx |
||
|
a |
a |
t1 |
t1 |
bolıp,
t2 f (x)dx 0
t1
bolǵanlıǵı sebepli
F(t2 ) F(t1 ) boladı. Demek, t1,t2 (a,+ ) ushın
t1 t2 F(t1 ) F(t2 ).
1-teorema. Teris bolmaǵan f (x) funktsiya menshiksiz integralı
+ |
|
|
|
f (x)dx |
( f (x) 0, |
x a) |
(1) |
a
jıynaqlı bolıwı ushın F (t) funktsiyanıń joqarıdan shegaralanǵan bolıwı zárúrli hám jetkilikli.
Zárúrligi. Meyli (1) integral jıynaqlı bolsın. Anıqlamaǵa tiykarlanıp
lim F (t)
t→+
bar bolıp hám shekli boladı. Onda, С R , t a da F (t) C boladı.
265
Jetkilikligi. Meyli F (t) funktsiya (a,+ ) da joqarıdaǵı shegaralanǵan bolsın. Házirgi waqıtta, F (t) ósiwshi funktsiya boladı. Demek, t → + da F (t) funktsiya shekli limitke iye. Bul bolsa (1) integraldı jıynaqlı bolıwın bildiredi.
Bul teoremadan tómendegi saldar kelip shıǵadı.
Saldar. Eger F (t) funktsiya (t (a,+ )) joqarıdan shegaralanbaǵan bolsa,
onda
+
f (x)dx
a
integral taralıwshı boladı.
Salıstırıw teoremaları. Eki funktsiya belgili qatnasta bolǵanda biriniń menshiksiz integralı jıynaqlı (taralıwshı) bolıwınan ekinshisiniń de jıynaqlı (taralıwshı) bolıwın belgilewshi teoremalardı keltiremiz. Ádette, olar salıstırıw teoremaları delinedi.
2-teorema. Meyli f (x) hám g (x) funktsiyalar [a,+ ) aralıqta berilgen bolıp, x [a,+ ) da
|
|
0 f (x) g(x) |
(2) |
|
+ |
|
|
+ |
|
bolsın. Eger g(x)dx jıynaqlı bolsa, onda |
f (x)dx hám jıynaqlı boladı. Eger |
|
||
a |
|
|
a |
|
+ |
|
+ |
|
|
f (x)dx taralıwshı bolsa, onda |
g(x)dx hám taralıwshı boladı. |
|
||
a |
|
a |
|
|
|
|
|
+ |
|
Meyli (2) qatnas |
orınlı bolıp, |
g(x)dx jıynaqlı bolsın. Onda |
1- |
|
a
teoremaǵa muwapıq
t
G(t) = g(x)dx C
a
boladı. Bunda,
t
F(t) = f (x)dx G(t)
a
266
+
bolǵanlıǵı sebepli yamasa 1-teoremaǵa tiykarlanıp f (x)dx jıynaqlı boladı.
a
+
Meyli (2) qatnas orınlı bolıp, f (x)dx taralıwshı bolsın. Onda joqarıda
a
keltirilgen nátiyje hám
F (t) G(t)
+
teńsizlikten g(x)dx integraldıń taralıwshılıǵı kelip shıǵadı.
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3-teorema. Meyli |
f (x) |
va |
g (x) |
funktsiyalar |
[a,+ ) da |
||||
f (x) 0 g(x) 0 bolıp, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
= k |
(0 k + ) |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
x→+ g(x) |
|
|
|
|
|
||
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
bolsın. Eger k + bolıp, |
g(x)dx jıynaqlı bolsa, onda |
f (x)dx hám jıynaqlı |
|||||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
boladı. Eger k 0 bolıp, |
g(x)dx taralıwshı bolsa, onda |
f (x)dx hám taralıwshı |
|||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
a |
|
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Saldar. Eger |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
= k |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
x→+ g(x) |
|
|
|
|||
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
bolıp, 0 k + bolsa, |
onda |
f (x)dx va |
|
g(x)dx |
integrallar |
bir waqıtta |
|||
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
jıynaqlı, yamasa taralıwshı boladı.
Kóp jaǵdaylarda bazı menshiksiz integraldıń jıynaqlılıǵın yamasa taralıwshılıǵın anıqlawda birinshiden jıynaqlılıǵı yamasa taralıwshıligi málim bolǵan integral menen salıstırıp (joqarıda keltirilgen teoremalardan p aydalanıp) qaralıp atırǵan integraldıń jıynaqlı yamasa taralıwshı bolıwı tabıladı. Máselen,
+
f (x)dx
a
integraldı
267
+ dx |
(a 0 |
, 0) |
|||
|
|
||||
a x |
|||||
|
|
|
|||
integral menen salıstırıp, tómendegi nátiyjege kelemiz: |
|||||
Nátiyje. Meyli bazı С (0 C + ) hám 0 sanlar ushın x → + da |
|||||
|
|
f (x) ~ |
C |
, |
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
||
yamasa
lim x f (x) = C
x→+
bolsın. Onda
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
integral 1 bolǵanda jıynaqlı, 1 bolǵanda taralıwshı boladı. |
|||||||||
+ cos2 x |
|
|
|
|
|||||
1-mısal. |
|
|
|
dx integraldı jıynaqlılıqqa tekseriń. |
|
||||
1 + x |
2 |
|
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Eger f ( x) = |
cos2 x |
, g( x) = |
1 |
bolsa, onda x [0,+ ) |
0 f (x) g(x) |
||||
1 + x2 |
1 + x2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||
boladı. Bunnan
+ |
dx |
|
0 |
||
|
||
1 + x 2 |
integralı jıynaqlı. 2-teoremaǵa muwapıq berilgen menshiksiz integralıda jıynaqlı boladı.
+
2-mısal. e−x2 dx integraldı jıynaqlılıqqa tekseriń.
1
x 1 da f (x) = e−x2 , g(x) = e−x funktsiyaları ushın 0 f (x) g(x) boladı.
Onda
+
e−x dx
1
+
integralı jıynaqlı. Demek, e−x2 dx integralıda jıynaqlı boladı.
1
268
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3-mısal. |
e−x ln xdx integraldı jıynaqlılıqqa tekseriń. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 da ln x x bolıp, f (x) = e−x ln x, |
g(x) = xe−x |
funktsiyalar ushın |
||||||||||||||||||||||||||||
0 f (x) g(x) |
boladı. Endi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g(x)dx = xe−x dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
integraldıń jıynaqlılıǵın esapqa alıp, 2-teoremadan paydalanıp, berilgen |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
integral jıynaqlı boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
+ |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4-mısal. |
|
|
|
|
integral jıynaqlılıqqa |
tekseriń. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
1 x |
|
x |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
İntegral astındaǵı |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 x 2 +1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
funktsiya ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
5 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim x 3 |
f (x) = lim x 3 |
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
= 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x 3 x |
2 +1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x→+ |
|
|
|
|
|
|
|
x→+ |
|
|
x→+ |
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
1 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
boladı. Bunnan, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
integral jıynaqlı. Demek, berilgen integral jıynaqlı boladı.
269