Matematikaliq analiz oqiw qollanba
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
Saldar. Eger an xn |
dárejeli qatar |
x |
= x1 |
tochkada taralıwshı, yaǵnıy |
||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an xn sanlı qatar taralıwshı bolsa, onda |
x |
|
|
x1 |
teńsizlikti qanaatlandırıwshı |
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
barlıq x larda an xn qatar taralıwshı boladı. |
|
|
|
|||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
Dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusi hám jıynaqlılıq intervalı. Meyli |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
an xn |
= a0 + a1 x + a2 x2 |
+ ... + an xn + ... |
||||
n=0
dárejeli qatar berilgen bolsın. Bul qatardıń jıynaqlılıq yamasa taralıwshı tochkaları haqqında tómendegishe úsh jaǵday bolıwı múmkin:
1)barlıq oń sanlar qatardıń jıynaqlılıq tochkaları boladı;
2)barlıq oń sanlar qatardıń taralıwshı tochkaları boladı;
3)sonday oń sanlar bar bolıp, olar qatardıń jıynaqlılıq tochkaları boladı, sonday oń sanlar bar bolıp, olar qatardıń taralıwshı tochkaları boladı.
Birinshi jaǵdayda, Abel teoremasına kóre dárejeli qatar barlıq x R da jıynaqlı bolıp, dárejeli qatardıń jıynaqlılıq kópligi E = (− ,+ ) boladı. Bunday
qatarǵa
|
1 |
|
xn = 1 |
|
1 |
|
x2 |
|
1 |
|
xn + .. |
|
|
|
+ x + |
|
|
+ .... + |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
n=0 n! |
|
|
2! |
|
|
n! |
|
||||
dárejeli qatar mısal boladı.
Ekinshi jaǵdayda, Abel teoremasınıń nátiyjesine kóre dárejeli qatar barlıq x R \ 0 da taralıwshı bolıp, onıń jıynaqlılıq kópligi E = 0 boladı. Bunday
qatarǵa
n! xn = x + 2! x2 + 3! x3 + ... + n! xn + ...
n=1
dárejeli qatar mısal boladı.
Endi úshinshi jaǵdaydı qaraymız. Bul jaǵdayda
xn = 1 + x + x2 + ... + xn + ...
n=0
250
dárejeli qatar mısal boladı. Bul dárejeli qatar barlıq x (0,1) da jıynaqlı hám Abel teoremasına kóre qatar (−1,1) da jıynaqlı boladı, barlıq x [1, + ) da qatar taralıwshı hám Abel teoremasınıń nátiyjesine kóre qatar (− , −1] [1, + ) da taralawshı. Demek, dárejeli qatardıń jıynaqlılıq kópligi E = (−1,1) boladı.
|
|
|
|
|
|
|
|
an xn dárejeli qatar ushın sonday oń |
r sanı bar bolıp, |
x |
r , yaǵnıy |
||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
x (− r, r) da qatar jıynaqlı, |
|
x |
|
r , yaǵnıy |
x (− ,−r) (r, + ) da qatar |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
taralıwshı boladı. x = r tochkalarda an xn |
dárejeli qatar jıynaqlı bolıwı da |
||||||
n=0
múmkin, taralıwshı da bolıwı múmkin.
1-anıqlama. Joqarıda keltirilgen r san an xn dárejeli qatardıń jıynaqlılıq
n=0
radiusi, al (− r, r) intervalı dárejeli qatardıń jıynaqlılıq intervalı delinedi.
|
|
|
|
|
|
|
|
Meyli |
an xn |
dárejeli |
qatarın qarayıq. Bul qatardıń koeffitsientlarinen |
||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
dúzilgen an (n = 0,1, 2,....) izbe-izlik ushın |
|
|
|||||
1) n 0 da an 0, |
|
|
|
||||
|
an |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|||
2) lim |
|
bar bolsın. Onda an x |
dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusı |
||||
a |
|
|
|||||
n→ |
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
|
|
|
r = lim an
n→ an+1
boladı.
nn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1-mısal. |
|
|
|
xn dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusın tabıń. |
|||||||||||
|
n |
|
|||||||||||||
n=0 e |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
◄ Bul qatar ushın a |
|
= |
nn |
|
, a |
= |
(n +1)n+1 |
boladı. Bunnan, |
|||||||
|
|
|
( |
) |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
enn! |
n+1 |
|
en+1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
n +1 ! |
|
||||||
251
lim |
|
a |
n |
|
= lim |
|
|
|
nn |
|
|
|
en+1 (n +1)! |
|
= lim |
|
e |
|
=1. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
an+1 |
en n! |
|
(n +1)n+1 |
|
|
|
|
n |
|||||||||||||||||||||||||||
n→ |
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
n→ |
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Demek, berilgen dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusi r =1 boladı. ► |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Koshi-Adamar. Berilgen an xn |
dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
limn |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eskertiw. Eger |
|
|
limn |
|
an |
= + |
bolsa, |
onda an xn |
|
dárejeli qatardıń |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jıynaqlılıq radiusi r = 0 dep, al limn |
|
|
an |
= 0 bolsa, onda |
an xn |
dárejeli qatardıń |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
jıynaqlılıq radiusi r = + dep alınadı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2-mısal. 2n x5n dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusın tabıń.
n=0
◄ Dáslep 2x5 = t dep alamız. Nátiyjede berilgen qatar
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t n = 1 + t + t 2 + ... + t n + ... |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
kóriniske keledi. Bul qatardıń jıynaqlılıq radiusı |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
boladı. Demek, |
|
t |
|
1 da qatar jıynaqlı, |
|
t |
|
|
|
|
1 da taralıwshı. Onda |
2x5 |
1, yaǵnıy |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1, yaǵnıy |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
da berilgen qatar jıynaqlı, |
2x5 |
|
|
x |
|
|
|
|
da taralıwshı boladı. |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
5 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Jıynaqlılıq radiusı r = |
|
|
boladı. ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Dárejeli qatardıń teń ólshewli jıynaqlılıǵı.
Meyli
252
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an xn = a0 + a1 x + a2 x2 |
+ ... + an xn + ... |
(1) |
|||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusi r 0 bolsın. |
|
||||||||
1-teorema. (1) dárejeli qatar [ , ] (− r, r ) da teń ólshewli jıynaqlı boladı, |
|||||||||
bunda R, R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ Meyli (1) dárejeli qatar (− r, r ) da absolyut jıynaqlı bolıp hám (0, r ) |
|||||||||
bolsın. Onda n 0 va x [− , ] da |
|
||||||||
|
a |
n |
xn |
|
|
|
a n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
bolǵanlıǵı, Veyershtrass belgisine qarata (1) qatar [− , ] da teń ólshewli jıynaqlı boladı. ►
|
|
Demek, an xn dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusi |
r 0 bolsa, onda |
n=0 |
|
joqarıda keltirilgen teoremaǵa qarata bul qatar [−c,c] (− r, r ) da (c 0) teń
ólshewli jıynaqlı boladı. Bunda c sannı r sanǵa hár qansha jaqın etip alıw múmkin bolsa, qatar (− r, r ) da teń ólshewli jıynaqlı bolmastan qalıwı múmkin.
Máselen
xn = 1 + x + x2 + ... + xn + ...
n=0
dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusı r =1, biraq qatar (−1,1) da teń ólshewli jıynaqlı emes.
14.2. Dárejeli qatarlardıń funktsionallıq qásiyetleri
Dárejeli qatarlar funktsional qatarlardıń dara jaǵdayı bolǵanlıqtan olar teń ólshewli jıynaqlı funktsional qatarlardıń qásiyetlerine uqsas qásiyetlerge iye boladı.
253
|
|
||||
1-teorema. Eger an xn dárejeli qatardıń |
jıynaqlılıq radiusi r 0 bolıp, |
||||
n=0 |
|
||||
qosındısı S(x)= an xn bolsa, onda S(x) funktsiya (− r, r) da úzliksiz boladı. |
|||||
n=0 |
|
||||
◄ Dárejeli qatar (− r, r) da jıynaqlı boladı. |
|
||||
Meyli x0 (− r, r) bolsın. Onda |
|
x0 |
|
c r |
teńsizlikti qanaatlandırıwshı c |
|
|
||||
sanın alayıq. Onda dárejeli qatar [−c, c] da teń ólshewli jıynaqlı boladı. Teń |
|||||
|
|
|
|
|
|
ólshewli jıynaqlı funktsional qatardıń qásiyetleri qarata an xn dárejeli qatardıń |
|||||
|
|
|
|
|
n=0 |
qosındısı S(x) funktsiya [−c, c] da úzliksiz, bolǵanlıqtan x0 tochkada úzliksiz. ► |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2-teorema. Meyli |
an xn dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusı r 0 bolıp, |
|||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
qosındısı S(x)= an xn |
bolsın. Bul qatardıń |
(− r, r ) ǵa tiyisli bolǵan qálegen |
||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
[a,b] boyınsha ([a,b] (− r, r)) aǵzama-aǵza integrallaw múmkin |
||||||
|
b |
|
|
b |
|
|
|
S (x)dx = |
|
an x |
n |
|
|
|
|
|
dx . |
|||
|
a |
n=0 |
a |
|
|
|
|
|
|
|
3-teorema. Meyli an xn dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusı r 0 , qosındı |
|||
|
n=0 |
|
|
|
= S(x) bolsın. Onda S(x) funktsiya |
(− r, r ) da úzliksiz S'(x) tuwındıǵa |
|
an xn |
|||
n=0 |
|
|
|
iye bolsın hám |
|
|
|
|
S'(x)= nan xn−1 |
(3) |
|
|
|
n=0 |
|
boladı, bunda (3) qatardıń jıynaqlılıq radiusı r ǵa teń.
|
|
|
4-teorema. Meyli an xn dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusi |
r 0 , |
|
n=0 |
|
|
qosındısı S(x) bolsın. |
|
|
|
= S(x) . |
|
an xn |
(4) |
|
n=0
254
Onda n 0 da an = |
|
S (n)(0) |
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1-mısal. Berilgen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nxn = x + 2x2 + 3x3 + ... + nxn + ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dárejeli qatar qosındısın tabıń. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
◄Meyli xn dárejeli qatar (−1,1) |
da jıynaqlı hám onıń qosındısı |
|
ǵa |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teń, xn = |
|
|
. Bul qatardı aǵza-aǵza differentsiallap, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
1 |
− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
n |
|
|
d x |
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
= |
, nx |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
− x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx n=1 |
|
|
|
dx 1− x |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Keyingi teńlikten hár eki tárepin x ǵa kóbeytirsek, onda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nxn = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1− x)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
kelip shıǵadı. ► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2-mısal. (−1)n xn+1 |
= ln(1 + x) teńlikti dálilleń. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1,1) da jıynaqlı bolıp, onıń qosındısı |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
◄ xn dárejeli qatar |
|
|
|
|
|
ǵa teń: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
− x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
= |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Bul teńlikte |
x |
ti |
|
− x ǵa almastırsaq, nátiyjede |
(−1)n xn = |
|
|
1 |
|
|
|
teńlik payda |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
boladı. Onı [0, x] |
|
boyınsha (0 x 1) integrallap (−1)n tndt = |
dt |
= ln (1 + t ) |
|
0x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 + t |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 n=0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Demek, |
(−1)n |
|
xn+1 |
|
= ln(1 + x).► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
n=0 |
|
|
|
n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
255
14.3. Teylor qatarı. Elementar funktsiyalardı dárejeli qatarlarǵa jayıw
Meyli f (x) funktsiya x0 R tochkanıń bazı bir dógereginde qálegen tártipli tuwındıǵa iye bolsın. Bul jaǵdayda f (x) funktsiyanıń Teylor formulası
|
f '(x |
0 |
) |
|
|
|
|
|
|
f ''(x |
) |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
f |
(n)(x ) |
|
|
n |
|
||||||||||||||
f (x)= f (x0 )+ |
|
|
(x − x0 )+ |
|
|
|
|
0 |
|
|
(x |
− x0 ) |
+ |
... + |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
(x − x0 ) + rn |
(x)(1) |
|||||||||||||||||
1! |
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
bolıp, bunda rn (x)-qaldıq aǵza. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(1) dárejeli qatardıń koeffitsientleri sanlar bolıp, olar |
f (x) funktsiya hám |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
onıń tuwındılarınıń x0 |
tochkadaǵı mánisleri arqalı ańlatılǵan. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1) dárejeli qatar f (x) funktsiyanıń Teylor qatari delinedi. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Dara jaǵdayda, x0 = 0 bolǵanda (1) dárejeli qatar |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f '(0) |
|
|
|
f ''(0) |
|
|
|
|
|
|
f |
(n) |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(n) |
(0) |
|
|
|
|
||||||||||||
f (0)+ |
x + |
x2 |
|
+... + |
|
|
|
xn |
+ rn (x) = |
|
|
xn |
(2) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1! |
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
n! |
|
|
|
|
|||||||||
kóriniste bolıp, onı Makloren qatarı dep ataymız. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1-teorema. (2) dárejeli qatar (− r, r) da |
f (x) ǵa jıynaqlı bolıwı ushın |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) |
= f (0)+ |
|
f '(0) |
x + |
f ''(0) |
x |
2 |
+ ... |
f (n) |
(0)n |
+ r |
|
(x) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Teylor formulasına, x (− r, r) ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim rn (x)= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
zárúrli hám jetkilikli. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
◄ Zárúrligi. (2) dárejeli qatar (− r, r) |
da jıynaqlı bolıp, qosındısı |
f (x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
bolsın. Anıqlamaǵa muwapıq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
lim Sn (x) |
= f (x), |
|
|
|
|
|
|
|
(x (− r, r)) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
boladı, bunda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn (x)= f (0)+ |
|
f '(0) |
x + |
f ''(0) |
x |
2 |
|
+ ... |
|
f |
(n)(0)n |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1! |
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x (− r, r) da lim Sn (x)= f (x) bolıwınan
n→
256
lim[ f (x)− Sn (x)] = lim rn (x)= 0 |
|
n→ |
n→ |
kelip shıǵadı.
Jetkilikligi. Meyli x (− r, r) da lim rn (x)= 0 bolsın. Onda
n→
lim[ f (x)− Sn (x)] = lim rn (x)= 0 |
|
n→ |
n→ |
bolıp, bunnan
lim Sn (x)= f (x)
n→
kelip shıǵadı. Demek,
f (x) = f (0)+ |
f ' (0) |
|
f ' ' (0) |
|
2 |
|
f |
(n)(0)n |
|||
|
|
x + |
|
|
x |
|
+ ... |
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1! |
|
|
2! |
|
|
|
|
|
n! |
|
boladı. ►
Elementar funktsiyalardı Teylor qatarına jayıw.
a) Kórsetkishli hám giperbolik funktsiyalardı Teylor qatarlarına jayamız.
Meyli
f (x)= e x
bolsın. f (0) =1, f (n) (0) =1 (n N ) boladı. Teylor qatarı
|
ex |
|
|
xn |
|
|
|
|
x |
|
|
|
x2 |
|
|
|
xn |
+ ... (0!=1). |
|
||||||||||||
|
= |
|
|
|
= 1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
(3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
n=0 |
n! |
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
n! |
|
|
||||||||||||||
Demek, (3) dárejeli qatarnıń jıynaqlılıq radiusı r = + boladı. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(3) de x tı − x ge almastıramız: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
(−x) |
n |
|
x |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n |
x |
n |
|
|
|||||||||
e−x = |
|
|
= 1 − |
+ |
|
|
− ... + |
|
|
|
+ ... |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
n=0 |
n! |
|
|
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
||||||||||
Giperbolik sinus hámde giperbolik kosinus funktsiyaları |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
shx = |
|
e x − e−x |
chx = |
e x |
+ e−x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Joqarıdaǵı |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex =1 + |
x |
+ |
x2 |
|
+ ... + |
xn |
+ ... , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
257
|
|
|
−x |
|
|
|
|
|
x |
|
x2 |
|
|
|
|
|
n |
xn |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
e |
|
|
|
=1 − |
|
|
+ |
|
|
|
− ... + (− |
1) |
|
|
+ ... |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
|
||||||
formulalardan paydalanıp: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2n+1 |
|
|
x |
2n+1 |
|
||||||||
shx = |
|
+ |
|
+ ... + |
|
|
|
|
+ ... = |
|
|
, |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1! 3! |
|
|
|
|
|
|
|
(2n +1)! |
|
n=0 |
(2n +1)! |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
x2n |
|
|
|
|
x2n |
|
||||||
chx =1 + |
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
+ ... = |
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n)! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
n=0 (2n)! |
|
|||||||||
Bul shx, chx |
funktsiyalardıń |
Teylor qatarları |
bolıp, onıń |
jıynaqlılıq |
||||||||||||||||||||||||||
radiusları r = + boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
b) Trigonometriyalıq |
funktsiyalardıń Teylor qatarlarına jayamız. |
f (x)= sin x |
||||||||||||||||||||||||||||
funktsiya Teylor qatarına jayıladı
|
(−1)n |
|
2n+1 |
|
1 |
|
|
3 |
|
1 |
|
|
5 |
|
|
sin x = |
|
|
x |
|
= x − |
|
|
x |
|
+ |
|
|
x |
|
− ... |
(2n +1)! |
|
3! |
|
5! |
|
||||||||||
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
boladı. Eger f (x)= cos x bolsın. Bul funktsiya ushın
f (0)=1, f '(0)= 0, f (2n)(0)= (−1)n , f (2n+1)(0)= 0 (n N )
boladı. Teylor qatarı
|
(−1)n |
2n |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
4 |
|
cos x = |
x |
|
=1 |
− |
|
|
x |
|
+ |
|
|
x |
|
− ... |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n=0 |
(2n)! |
|
|
|
2! |
|
|
|
4! |
|
|
|
||
boladı. (4) hám (5) dárejeli qatarlardıń jıynaqlılıq radiusı r = + boladı. v) Logarifmik funktsiyanı Teylor qatarına jayamız.
(4)
(5)
|
|
|
|
f (x)= ln(1 + x) |
|
|||
bolsın. |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(n )(x)= |
(−1)n−1 (n −1)! |
(n N ) |
|||||
|
|
|
|
(1 + x)n |
|
|
||
bolıp, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
(n)(0) |
= |
(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
n! |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
boladı. Bul funktsiyanıń Teylor formulası
258
|
|
|
|
|
|
(−1)n−1 |
|
n |
|
|
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
n−1 |
xn |
|
|||||||
|
|
|
ln(1 + x)= |
|
|
|
x |
|
= x |
− |
|
|
|
+ |
|
|
|
− ... + (−1) |
|
+ ... |
(6) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|||||
boladı. (6) dárejeli qatarnıń jıynaqlılıq radiusi r =1 ga teń. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Eger ln (1 + x) nıń jayılmasında x ti − x ge almastırsaq, onda |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|
x2 |
|
x3 |
xn |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
ln(1 − x)= − |
|
|
= −x − |
|
|
|
− |
|
|
|
|
− ... − |
|
− ... |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
n |
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
formula kelip shıǵadı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
g) |
|
1 |
= (−1)n xn = 1 − x + x2 − x3 + x4 − ... + (−1)n xn + ... |
|
|||||||||||||||||||||||
|
+ x |
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
formula payda boladı. Bul formulada x ti − x ge almastırsaq: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
= (−1)n xn |
= 1 + x + x2 + ... + xn + ... |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
1 − x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
n=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1-mısal. f (x)= ln11 +− xx funktsiyanı Teylor qatarına jayıń.
◄ ln11 +− xx = ln(1 + x)− ln(1 − x) boladı.
|
x2 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
n−1 xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ln(1 + x) = x − |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
− ... + (− |
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2 |
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ln(1 − x) = −x − |
x2 |
− |
x3 |
|
− ... |
xn |
|
− ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Bul qatnaslardan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
n−1 xn |
|
|
|
|
||||||||||
ln(1 + x)− ln(1 − x)= x − |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− ... + (−1) |
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
3 |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x3 |
|
|
|
2x5 |
|
|
2x2n−1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2x + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
− ... − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
+ ... + |
+ ... |
|||||||||||||||
− − x − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ... |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
2n −1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Demek, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
x |
2n−1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
= 2 x + |
|
|
|
+ |
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
+ ... . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 − x |
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
2n −1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
dárejeli qatardıń jıynaqlılıq radiusı r =1 boladı.► |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2-mısal. Berilgen |
|
f (x)= x |
sint |
dt |
funktsiyanı Teylor qatarına jayıń. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
259